Том 1 (1050341), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Этокомпонентамитребует-обстоятельствосущественноеSu;моментовпрактическойнаделениипри=тензоровзауравнениетого,ча-Suпредложения.другихсилссвязаннымимоментов,нихявно.отметитьТакимэнергииверхностяхтолькотензоравекторыАбрагамаприемлемойко-частьразвитыедругими,кE.33)S^),пондеромоторныхполучаютсядляпространственная+тензорапривестивводятS^,компонентамиПойнтингатрехмерныхдляпондеро-компонент("S4'37звекторомпоследовательнодругиеискоординатсимметрированием=симеютсяE.10'),дляавторыэлектромагнитногоимпульсаАбрагамасистемепростым?аCстейформуламиформулы—тензорсобственнойМинковскоготолькоМинков-импульсамногиеэнергиисимметричныйвдина-помощьюс—Минковскоготензоратензораторыхполучаетсяуслоописаниеданоопределеннымиустановленывышеполя,моментов.вместокачествеполясяэтимсвойствэнергиитензораSij,компонентамиоднимфундаментальномуполяэлектромагнитногонесимметричногоскогоВышеим-всегдадинамическихсогласнодляопериро-определятьполяпо-разному.свойстводногозначениеприсредамислучаевопределятьмическихихцелесообразноопределениявсехот-фиксированиесуммеэлектромагнитногоэтидляиполясогласнооднозначноматериальнымимоментидляпроизводитьопределеннойэтим,импуль-—отдельноопределяетПользуясьразличнымиэнергиюспособом.Темвию,средынаоборот.пульс,момен-электромагнитнуюможноговоря,Придляэнергииобщуютензорывообщепо-разному.иотноипондеромоторныхтензораимеющихсреды,величинполя,содержатьсуммарногосоответствующиенадляэтихтензоров,импульсовуравнениябудутнецеломобщегоусловиямЧГсреды,соответствующихчтомоментов,природу,+моментов.тензорадельнонаписатьУполякомпонентыпондеромоторныхРазделениесаИОчевидно,среде.электродинамикиможно1-f-—системыуравнениятензоровОГ'зиобразом,—импульсасеченияеслинепочетырехмерныхпользоватьсятензораопределениемМинковскому,тообъемовпо-трехмерныхнаилинадвумерных5.§Взаимодействиеповерхностях,ромагнитномэлектромагнитногоразделяющихвзаимодействия,ноствомскомусвязисвойствговформулыиполяМинковскоготензорромагнитногоруководствоватьсясвойствэлектромагнитноголейматериальныхМотивыдлякакявляетсясуммарныйполя;симметриявсехсимметрич-исредеобщейМ=энергии—тензораимеютполюполяризованной=О,либолибоМин-тензорсимметриченсредыдляимпульсаполучаетсяиавтомати-относительноститеории(напом-целомсредыислучаяхэтогодляввэлектромагнитномукРполу-энергии—внутриэтихкактензортолькоческиилинамагниченнойтакимпуль-—автоматическиполюлибоВосреды.именноэнергиитензорак—-со-относительностилибосимметричен,энергииследующимитеориимикроскопическогоотсутствииприматериальнойтолькоэлектромагнитно-взаимодействияиликовскогомоде-тензорТензорприроду),пустотедляображениями.общеймикроскопическиеэлектромагнитнуювнужнопостроениистимулируетсяотноситсяэточтоним,имдинамическихприсимметричныйпустоте,вполяоднакоиноввестипопяосредненияимпульсатоописаниядляСтремлениег0фигурирующийным,элект-импульса—сред.впутемможновыбратьусловие,этополя,™nHZ°Paчаемыйтакжемоментаусловияэнергиитольконеаэлектромагнитно-естественногоимпульсаса,длятензорпринятьЕслиполя.определе-поля,пондеромоторногоивведениядляэлектро-равноправнымиприусловиймоментовуниверсальногокачествесуществупоэлектромагнитногоуравненияанализомсвнутриразличныхдинамическихвсил).Минков-посечениямпотребуется.общими,выставлениянии(пармоментовнеуказаннымиссвязивозможностямисилыпосред-импульса—моментывводитьполяэлект-взаимодействиеэнергиираспределенныевповерхностныевводитьтензорамагнитногоВтолькоповерхностныхиспользовании321теламиобъемынеещераспределенныхПриспространственныевводитьнужнонужнополе,поляприиосред-нении.Стырехмернойтокдругойкогдадля—компонентамикомпонентимпульсасвзятьS***:добавочногоViQ13Л.любоговместо?укомпонентамитензораQf'ипри-другойтождественноравенствавыполняются11силаеслинеизменными,че-компонентзначения(трехмернаясилысохраняютсяэнергиисчтопондеромоторнойэнергии)тензоратензорочевидно,стороны,И.Седов=0.E.35)Гл.322VI.ОсновныеДобавлениенепонятиястензоравлияетформулуначтобытензорэнергиисохраненииприОднакосилы.всетребуетсяжечаегии—импульсатольковподробноиМагнитнаямикепринимается,газом,вещенеdq**обмениватьсяиобщемВ более—pgi3'.вязкостисредыПриводимаямеханикискалярногоуравнениямодельр[тиг+=-можетвнешнимиобъек-идеальнойсреды:магнитнойгидродинамикемагнитнойвизсостоитгидродинаньютонов-рамкахследующихуравне-неразрывностиgвекторного0.0, j*=j==рассматриваесредывэнергией.вкотораясистему,JP=другимиуравненийприближеннуюсобойпредставляеттепловойрассмотримслучаеучитываются.системанижеМсплошнойиилинамагниченность,чточастицадальшепростотыгидродинажидкостьюе.т.считать,механическойтолькопроводящеймагнитнойичастицамисоседнимиучитываютсямодельявляетсяток,будем=смикидостаточнокоторойвслужитьсредаполяризацияиндивидуальнаямоделяхсвойстваитеоретическиеВсплошнаяэлектрический0,течь=проявитьсяможетпроведенысреды,отсутствуеткоторыхможетскойний:средыкоторыхгидродинамике.чтоПолагаяр1'слу-энер-тензорадляможетмагнитнойвДляобщемвнесимметриясплошнойэффекты,жидкоститамисимметричным,свойствагидродинамикамоделиэлектромагнитныемых—широко.Примеромноэнергииполучаетсяисследованияполя0.тензорэтогоматериальнойусложненныхпондеромодля^kQ^H=j=моделяхмоделях,понде-симметризациимоментыоднакодлядажематериальное^тело,средыэкспериментальные§ 6.наестественным,кажетсяоперациейобъемногодлясохранениюквыбратьможноТакойтакойформулыматериальнойдлямногихвектораклассическихстремлениеВосимметризироватьвнутренниевсехвоимпульсапоэтомувввестиНаконец,можночетырехмерногорезультатеприемлемойдействующегомоментаE.35)симметричным.физическогополученияторногоS{iE.35)условииприсилы.условииприбылимпульса—ромоторнойдляпондеромоторнойЙ''«S*i3тензорй'->компонентамидлякомпонентыслучаяхтак,электродинамикиуравненияи0;F.1)импульсовуравнения<••*)gradр +Ре[Е+-L(vXЯ)]+-j"W*ХН)+Р1^,F-2)6.§гденапримерскалярноголем,притокаобозначензанепо-теплаdq^6,+притоктеплактеплопроводностисчетскалярногосил,электромагнитнымpd±=^(j.E)dt+dq$5извнемассовыхстяжести;силчерезкостижидкостиуравненияdUгдеобычныхплотностьвзаимодействиемс323гидродинамикаобозначена-РДОбчерезсвязанныхМагнитнаямассыединицеилисоотношения,F.3)излучениявторойвыражающегожидт.ип.;законтер-модинамики:Td8впринято,уравненииэтомЕслитоs,иdq'внутреннейещескалярныхдва—уравнениясостояния:эКдинамическимF.5)нужноименнор.F.1)уравнениямдобавитьеще—термодинамическимиUэнергиисоотношенияизpdполучаютсяF.4)0.=заданиемсредурdq$0;+чтоопределитьфункциикак-LQ.E)dt=электродинамическиеауравнения,Максвеллауравнения\иОма,законкоторыйвобычном(Системаdg^6бесконечнойсfF.7)—Рассмотримдлягидродинамшшуравнения)№F.7)замкнутой,получаетсяерепрово-Даважныйможнода,еслимагнитнойког-сре-проводящаячтоионизованныйимеетгаз,проводимостьгидродинамикислучай,частныйпринять,напримербесконечнуючаегидроди-^доб-имагнитнойУравнениядыдимостьюF.1)уравненийзаданымагнитнойвариантеF.6)видимеетнамики—а.сильноВэтомслу-упрощаются.11*324Гл.ДлячтоVI.ОсновныебесконечнопроводящейнапряженностьЁконечной.ПолеЕvчерезEплотностикактакпроизвольнойвопределяетсяДляизсистеметока,/бытьдолжнаинерциальнойНследует,собственнойплотностьсистемекоор-формулепоX-H".-~v=jтокаиОмазаконавполянулю,равнаэлектродинамикисредыэлектрическогокоординатдинатуравненияипонятиясогласноF.8)МаксвеллауравнениюможнонаписатьсВмагнитнойкомиF.9)вместо\пренебрегаютправило,какгидродинамике,смещения&Ьсто-пишут-±ПлотностьзарядовvчерезНиF.9')F.8)использованиемсопределяетсяр„формулепоPe=-7^a™(vXH).ИзВэтоймагнитнойнебрегаютДляреЕвэтомтепловтогаз,(iJp)j-EdtF.9)Н).ifdivH"средесразув0,=F.11)всясводитсяF.10)нулюравноЕсистемаЕслидавлениериF.1),F.11)замкнута.dq^Qтосредапредставляетплотностьр=беско-ссредыдля0.=адиабатический,частице.динамическихипре-МаксвеллауравненийкакрэлектродинамическихXнапряженностисуществу,послучае,такпроцессconstСистема(j*—уравнений.Еслиныйлой:сравнению(да ХЯ),rot=проводимостью,—смало.движенияуравнения:Джоулевонечнойусловияхуравненияхвизследующиекоторымэлектродинамическихобычныхвмагнитнойполя^sпопроводимостьюкреобычноопределениявытекаютF.10)чтовидно,гидродинамикечленомбесконечнойсформулы/*связаны=0,собойобычнойипоэтомусовершен-форму-Ср*.F.2),уравненийF.12)термодинамическогосучетомсоотношенийF.12)и§ 7.ЗаконывмороженностиЗаконы§ 7.магнитныхвмороженностиВыясниммагнитныхобщиетеперьудовлетворяющегосвойстваг)Выше(см.воряетконечнойАпоказано,процессовВсил.массовыхже<лидеальнойу,t),z,деле,условиямвудовлет-случаесредыбес-судовлетворяет-^-rotv=баротроп-случаевполеврассмотримнепроводящейG.1)условиямжидкостисамомидеальнойдляэтимНскоростив(х,0.=чтоЭтимвихряАвекторанапряженностипроводимостью.векторалинийвихревыхdivAбылоF.11))325видаiob(vXA),=магнитнойполеныхполялинийвихревыхисоотношениям-?-полеипотенциальныхимпульсауравнениежидкостиЛембаформев—Громеки:2dtПредположим,чтот.FсилыFе.функциюввестиможнослучаемассовыевнешниебаротропный,процессчторgrad=UипотенциальныВ(р).=/ярэтомдавленияdpР(Р)G.3)'Рокоторой,градиентУравнениекакимпульсовлегко-^Взявgrad5sG.2)в+2oX«=частейэтого=grad—p.предположенияхэтихпредставится+-^-gradтеперьотобеих-9grad+gradU.операциюуравненияро-получимтора,*Lпричем=divЭтисдействительноуравненияуравнениямипоствиеизА,удовлетворяющего<a=0.совпадаютсвоейсчтооноG.1)уравнениямиG.4)уравнениеноприроде,уравнениядинамическогообразом,ТакимG.4)rot(t>Xa>),Заметим,F.11).кинематическимполяравенвидевипроверить,являетсякакполучилосьимпульсов.общиеустановивусловиямсвойстваG.1),мывекторногоустановим,след-326вихряторав<асредыформулы,потокасолевоидальноговектораповерхностьчерезжидкуюотвременипоАноговектораруюнезамкнутую(х,ограниченнуюКакскоторомничныйdaповерхностиКакныесКвыводупроизводнойдляотпотокарачерез2,аввременивойповерхность.будемДокажем,вчтои,нулюАп (х>Действительно,верхностямиПорогоирассмотрим2,теоремеусловия2.положитель-Ссвяжемобходчтобытак,былСконтуравичасо-противвмомент2г(рис.Щ<foоб-ипнормалиtвремениэтаположениезанималагг.+40),опреде-пото\ Ап—G.1)уравненийсилудлятакого\Andaобозначимточекеди-элементук(х*У,г.d<s*)52At,У.следовательно,траекториямина-иметь|lim^¦=2раньше,ипположение—среды.нормалиповерхностьAt+tмомент2,по-черезе.обозначенпчерезсовершающимсястрелки.Есливекто-производнойлениюнадент.поверхностьвекторконцаформулыпосоленоидногожидкуюС,направленияконтураходанекото-черезповерхностьсплошнойв40.t)z,у,жидкуючерезинтегралзываетсяРис.соленоидаль-частицамивекторапотокомизвестно,производ-дляпотокаконтуромвместедвижущуюсяверхнозтьвек-жидкостиформулусначаланой—отполяидеальнойсил.Выведемпроиз-временинапряженивпроцессахмассовыхдля—помагнитнойполяпроводимостьюбаротропныхприэлектродинамикибесконечнойспотенциальныхполеуравнениясвойстваважныеслучаевипонятиявесьмаИностих.Основныечастности,вВыводводнойVI.Гл.=Сзамкнутую2г и 22.ГауссабудемG.1)—производнаяэтарав-вектораconst.22черезконтураG.5)¦приповерхность,образованнуюповерхность,заперемещенииеговремяобразованнуюОстроградскогосиспользованиемпо-вто-иметьix=0,G.6)§Vгде+2а22>+илениевмороженностиобъем,—бавляямагнитныхограниченныйап^пнормаликя2отношениюпоAn(x,y,z,t+At)daи2Хповерхностизаменяянаг/,sAt)da+tz,^направ-противополож-(х,)Ап\Ап(х,—daAt)+z,tу,t)d<sz,у,—в=^ Ап(х,t) daz,у,+An(x,ОтсюдаG.5)производнойдля\^Ап{х,у,z,t)daВекторный-l—элемент40).Поэтомупоt,или,воспользовавшисьпоvAtdl,XограничивающегоС:\А^аможно„перейти\ A-(dl—х»)Д(=\dl-(v-Стокса,—A)At,Xперейти2,поверхностиG.7)Выражение(см.интег-стеоремой=кС:контуру—And<32поверхность\интегралепервоначальной-г-\(уXдляискомойA)'dl=—производной\[rot(vкинтегриро-натянутойнакон-A)]nd<s.Xте-приводитсявиду4-[AndoLповерхностисваниюкв(A*ri)de-----С,контурарированиюперьбоковойndaплощадиG.7)равенnd<sтурвыражение:следующее-—<<•¦¦элементочевидно,получимt)da.z,у,='*¦рис.-+-При-получимАп(х,-^-V.кG.6)кэлементам327поверхностьювнешняя—линийвихревыхзамкнутойнормальвычитаялегконое,\Законы7.=[\-^--rot(vXA)]do.G.8)328VI.Гл.ЭтоОсновныеобщаятокапонятияформуладляделенностьЕсливекторноеполучаетсяо2.опреточкахвпо-С.G.1),условиямт.тое.сформулированноедоказалимытолькоvудовлетворяетнуль,образом,ТакимверждениеАпо-требуетсяконтураееполеG.8)вG.8)скоростиограничивающегоотповерхностьформулывектораипроизводнойдляжидкуючерезсправедливостизначения2верхностисправаАвекторачтоэлектродинамикианализавекторногосоленоидальногоЯсно,уравненияивышеут-чтотом,AndaG.9)const,=2где2нойсреды,условиямряетобласти,вИзG.1).ваемогополегдеАвектораАвытекаетсплош-частицами(х,у,t)z,G.9)свойствадоказанногополявекторногосвместедвижущаясяповерхность,—рассматриважныхоченьрядудовлетвослед-ствий.ПервоеследствиеВекторныевсегдаповерхностивремяводеле,момПповерхностьмоментвбудетопятьЛностьпоусловиючерезАвектораП,рейдетзапрерывностиАторсательнойлюбуюнулю.ПоАAtмоментвна=поверхностью.О,2,П,поверхностиаэтозначит,ичтоТактогдаповерхностьнекоторуюповерхностьповерх-как2',котораялежатьивовновьт.невек-е.ка-поверхностьгдеинепременнопе-силуплоскости,вследовательно,малойнулювП',П'потокпринадлежащуюравнымвкоторуюостанетсяугоднотавто2,будетаскольвзятьвэтапринадлежатьAt+поверхностьможноэтомжащейtе.движенияперейдетиса-лежитповерхность,2поверхностьт.АчтоG.9)будетА,векторAt-\-tусмотреть,поверхностью.векторнаяповерхностьВнекоторуюнепрерывностиповерхностьвременикП':силусвойствучерездвиженияприАп—векторавремяравенпотоквременинетрудноП',векторнойtполякоторойВплоскости.поверхностьДРУГУЮП'П'нойнейквекторноготочкепереходятповерхности.временимоменттакогокаждойвповерхность,касательной2'Пповерхностькуюполявекторноговекторныевнекоторыйврассмотримвекторнуюитакоготакжедвиженияле-угодновсякойбудетточкевектор-§В7.Законывмороженностибоковаячастности,ходитвоВтороетрубкилинийвихревыхпереходятпере-векторнойповерхностьвекторныев329трубкивекторнойбоковуювВекторныеиповерхностьдвижениявремятрубки.трубки.следствиеВекторныеG.1),торныелинии.ментвремяIибудетпрерывностиввкаждаяизвекторнойостанетсябудетЩ)иповерхностей.Щв1\не-Iпе-П2G.9)иследствияизVСледовательно,поверхностью.мо-каждуювЩповерхностипервогосилувлинияЩ,ивек-ПоAt-f-tповерхностейсоответственно(П^которыхповерхностивремениVперейдуткоторыхизмоментпересечениялиниюIлиниюэтихпересечениядвижениярейдетдвепровестиусвтакжевекторнуювекторныхчерезлиниейудовлетворяющегопереходятдвиженияДействительно,t можновремениП2,вовсегдаА,полявекторноголинииловиямимагнитныхисновалинией.векторнойТретьеследствиелюбойИнтенсивностьполяАвектораВсамомI,гл.переченоесечениепостояненвдоль§ 8),постоянной.трубки,потокомопределяется(в соленоидальномПоэтомуизве-черезДлябудемонсвойстваследствиемА.по-полесформулированноечтополяG.1),условиямкакАвекторавекторномтольконепосредственнымвекторногоявляетсярассматриваемогоG.9)удовлетворяющегорассматриваемогоостаетсядвижениявекторнойтрубкитрубки).утверждениетрубкивекторнойвремявсеинтенсивностьделе,(см.стновоА,вектораполяиметьAnd<s,SгдекиS'ивобразом,ТакимG.1),виямсявосвместелинииКакмагнитнойнойпроводимостьюслучаебаротропныхальныхвнешнихсмыслечастицамиНвихрявекторапроцессовивекторавморожены©вихрявсреду.иэтихvпотенци-магнитнойполяв—rot©=жидкостиПоэтомубесконеч-ссредыскоростиидеальнойвсил.„Векторныевекторныеудовлетворяютслучаеввперемещаютсясреды.среду.вG.1)условиямсохраняют-линиионивмороженымассовыхНженностичтонапряженностииисплошнойтрубкиивыше,сказанополясмысле,томусло-удовлетворяющемтрубкивдвижениявремяА,полетруб-векторнойf.ивекторномповерхности,ввекторныепространствеповерхности,вышеtвременимоментысечениепоперечноепроизвольное—случаяхнапрявуказанномв330Гл.нойТак,например,средойОсновныеVI.не3)',областимоментполеЕслиплазмойбудетегоневпроизвольныйизверже-облакогазараскаленногополеСолнцаввекторавихрявичастица-спроисходитмагнитноеизсплошмоментвместеСолнцесобойто3)движетсянавытягиваетсяитообластьМагнитноезанятойначальныйН,поляперейдетпроводимости,с25,впредставляющейбесконечнойтеобластимагнитногосреды.плазмы,ниеэлектродинамикипроводимостью,t.сплошнойуравнениянекоторойкоторуюввременимиивеслибесконечнойбылосt0временипонятиявмес-движетсямежпланетноепро-странство.ВвидуныхТеоремасвойствважностисилдляостановимсяжидкаянаG.9)1ю=rot—2~вба-случаепотенциаль-подробнее.нихдляполявекторногоv,.г»2еслизапишется,—образом:следующимповерхность,сополевжидкостиСвойствоТомсонагполяидеальнойдвиженийприложенийротропныхndaG.9')const,=sпотоке.т.S,ностьвектораскоростивихряwсвместедвижущуюсялюбуючерезповерх-сплошнойчастицамипо-среды,стоянен.ССтоксатеоремыпомощьюG.9')свойствозаписатьможновидев(v,dl)G.10)const=с(гдеСзамкнутыйпроизвольный—измяоднихтехиГеслие.т.ниеидеальнойстиГмядвиженияниеВозможностьзамкнутыхгфСледуетсвытекает„жидкостьциркуляциянаходиласьввциркудоказательстваимеетэтотмоментпокоеиздруг¦,деформацией.внекоторыйвременипотолькоместополучающимсянепрерывнойтовреназва-постоянствоизТомсона,контурам,vЕслимени,всевоноситчтопомнить,теоремыповерхностямискорости*скоро-циркуляцияконтуруутверждениекакляции,спотенциальномвЭтодвиже-иТомсона.теоремыпоявленияото«жидкому»изменяется.вре-всевидепотенциальныбаротропно,замкнутомунеконтуровпотокеразрываvлюбомувG.11)силыжидкостипоилиconst,=массовыевнешниесостоящийконтур,жидкости)частицжедруга„моментбыларавнавренулюЗаконыI 7.повсемвмороженаостиОднакоконтурам.разрывовличиимагнитаыхскор(замкнутыеконтурыотличатьсяотВсамомщетоотМNиразрывакакнапо-X,замкнутый41.Рис.С равнамоментстановитсяЦиркуляцияконтурамSBконтуруотличатьсяотможетнуля.моментибыли,вчастности,Кнезамкнутымпокоилась.попонулю,разомк-следующийвбудетциркуляцияразличны;контурвремени,которымвооб-такнуля,точекнутымвременивременипона-припоявитьсямогутцир-Xрассматриваемыйв?,движениивообщекон-контуруотличнаскоростиверхностипоэтомупотоке331линиюскоростей,пов41).пересекаетразрывакуляцияаеслиделе,Xтурви,(рис.нулядальнейшемпристилинийвихревыхивообщенеприменима,начальныймомент,Томсонатеореманеконтурамтакимпожидкостькогдаконтурамжидкимциркуляцияимоментыпредыдущиевнезамкнутвсохра-няется.НепосредственнымсяЛагранжа.теоремаТеоремаЕслиТомсонаЛагранжаданныйнекоторыйчастичеркнем,обопределеннойt0ласти©и,0.=ПолюбомуПоТогдаверхностиПод-t0.неидетречьмассеобластивкаждой3D^Г2sприоб-этойточке=этой]ыпс1в]цир-принадлежащемуконтуру,нулю:равна§(vdl)кому^>вопределеннойСтоксазамкнутомуtприусловиювтеоремепообихтобудетЛагранжанеследовательно,Поэтомупокуляция3),вихрей,иаЛагранжа.теоремунетt0пространства,непрерывно.движущейсяДокажем=<^вжидкостивихрей,неттеоремычастижидкости,tформулировкевчтоtтеоремычастиt0времениприявляет-условийнекоторойвбылонежидкостисоблюдениипримоментТомсонатеоремыследствиемТомсонатеореме2,равнатеоремыизвновьГциркуляциябудетконтуруцеликомнулюлюбомуповоиСтоксалежащей0.=всечтовытекает,областив=0.жид-замкнутомукокентыдругие3)времени.дляжидкости,любойпо-332Гл.АбогоэтовлюбойОсновныеVI.понятиябытьможеттолькотогда,направленияпмоментсформулировать<»как0.будетидлясуществоваможно^движениеилижидкостиусловийпотенциальнымлю-жидкостиЛагранжасоблюденииприичастицеравносильнотеоремувременито25точкеобразом.моментбылооно=любойлюбойвве.известно,потенциальным,Томсонат.следующимнекоторыйвбыло0,ПоэтомутакжеЕслигазаи>пвихрей,скоростей.потенциалаэлектродинамикикогда=времениОтсутствиениюуравненияоивовсетеоремымоментыдругиевремени.образом,Такимростей(х,фву,t)z,этомИзТомсонатеоремыско-потенциалt).z,физическоеидеальнойоблегчаетсильноу,большоевиднодвиженийностисуществует=grad(p(a;,vциальныхслучаеизначениеобзадачрешениепотен-Наличиежидкости.потенциаль-определенииско-поляростей.Можновообщеисчезать,быхотянескоростей.ДоказанныебоксвойстваидеальнойгазаилижидкостиГельмгольца,мамисонанекоторыйтрубкуповерхность,вуюВтораятеоремаТомсонаинтенсивностьСгдетрубку.гл.МыVII ,—замкнутыйиспользуемпосвященной—фсэтисоответственновтеоремызадачамвихре-предположенияхтрубкитеоремывовсевремядвиже-е.(v -dl)==const,охватывающийконтур,вилилинию.Гельмгольца:вихревойГобразующиетрубкуповерхность,образуютт.Том-теоремыжидкости,илиГельм-теоремавихревуюпостоянной,остаетсяниятеоре-образом.следующимпредположенияхдвижениявремявсеволинию,тру-динамическимичастицывременимоментповер-движенийдинамическаяВГ0ЛЬца:\баротропныхформулируютсяПерваянепрерыв-векторныхназываютсякоторыелибое.внешниевекторныхскоростивихрят.либонарушаетсянапряженностейвектораинарушаетсябаротропно,сохраняемоститакжеаполядлякогдаТомсона,либопотенциальны,линий,ислучае,недвижениевозникатьмогуттомвтеоремылибосилыполяностьжидкостивтолькопредположенийизвязкая,массовыевихриговоря,одножидкостьхностейчтосказать,оданнуювекторегидродинамики.вихрявихревуюскоростивГЛАВАVIIОПОСТАНОВКЕЗАДАЧСПЛОШНОЙ§ 1.МоделиСРЕДЫОбщиеиМЕХАНИКЕВосновыпостановкаПриот-системысчетавыборомсистемвлюбые«неподвижные»буетсявсегдатольколахинерции.Вкачествесистемнанужныхваниеволяетдыпои,рактеристиквсегдаВмоделейопределеннойвыше,ипределенийуравненийсчастнымиформулировкатакже(A.2),—*) Дляусловиягл.формулироватьислу-отдельныхКакфизическихформаэнергииуравнения((8.2),VI).отчетливостимоделейвсехбыловыясненогладкихнепрерывныхимпульсовтермодинамики(E.5),конкретныхрас-дифференциальныхвидеибылауравнениямижеуравнениятермодинамикиконасоотноше-любыхдлявинтегральнаяI I),гл.электродина-производными.техвиде:ральномунивер-описаныидлядифференциальнымиситеориянаписаныха-среды.процессов.уравнениябытьмогутНарядуифизическихуниверсальныесре-определениявсевозможныхдляпоз-сплошнойфундаментальнымимоделиси-существо-фактическиустановленыстроитсяОнипринимаютсятаковидувтермодинамикиявляютсядвиженийчаевбыликоторыхсред.сплошныхрамкахчастицмеханики,уравненияЭтиуравненияврамкахниями,состоянияглавахпредыдущихмики.лаидвижениясальныеиметькотораяконтинуумавосновукладетсятре-даннымитакжеточкииндивидуализироватьсуществу,ОднакопользоватьсяЛагранжа,выбиратьотсчета,системутребуетсякоординатме-системы.движущиесяможнослучаяхсистемыописываютсяможноинерциальнуюосновесре-пользоватьсякоторыхВ ныотонианскойсреды.наблюдателяилиуказыватьэтой*)неявновотсчетакон-сплошноймеханикеилинаблюдателя,изучаемойсостояниеханикекакявноотсчетаивзадачобязательнодвижениеисследованиитеоретическомкретныхнеобходимодызадачконкретныхвясностивV)гл.явномпостановкевиде.иуказанаположенийнеразрывности1-гоуравнения(B.2),((8.1),общихгл.гл.уравненийзадачвлучшеI I),V),законаза-второгоМаксвел-всеинтег-допущенияв334VII.Гл.ДляОпостановкегладкихОднакоэквивалентны.Привремени.родаэтомсвоевналичииформулировок,ДифференциальныезначениевобластиусловияКакний,набылоразрывахужесплошнойнительныесвойствафизическуювыбратьиобходимослужитьвомногихПроблемаинеобходимылений,сВыбордлявможетсвязаннаяродаразличногомоделейновыхпостроениеэффектовновыхизвестнаужекоторыхпроявлятьсяфизики,введениемиНе-модели.открываемыхописаниясущностьчинаетихарактеристик.частныемоделейисследований;проблемаосновнаяэтодопол-вводитьвыбораобширныхисхематизациейпонятийвсегдарассматриваемойспециальныхидеализацией,суравнедвиже-изучениюфиксирующиемодель.предметомслучаяхсо-системполученияподробномутребуетсяпредположения,природу—со-ужесоответствую-ксреды,гипотезынихвинтегральныхдляобратитьсяданнойниявыше,указанопозволяющихинтегральнойусловиявыведемуниверсальныхизнуждаютсяноПримывисохраняютразрывах.параграфахпри-смыслявлений,дополнительныевоиобщаясохраняющихнаследующихразрыв-пространствеболеенепрерывныхтакиеВтакжевформулировкиусловияхформулировкедержатся.щиеотношений.ха-формулировкипроявляетсяинтегральныхслучае.дополнительныхсредыприменяемыхинтегральныерассматриватьявленийиприходитсяхарактеристикразрывовраспределениясплошноймеханикераспределенийнепрерывныхдифференциальныерактеристикныевзадачобластяхразвивающихсяяв-ина-толькоилитех-инаукиники.Впредыдущихкостигаза,ииЭтотдр.иззиснихмыстьюке,оченьрот,существуетбольшихявленийпроблемамоделейразвиваетсявфизикенаоборот,или,сорганизмахинаобо-рассмотрениемид.т.т.Теорияактуальна.имехани-вили,механикеп.по-настоящеевинтенсивно.Предположениямассовыхнеобходимо-эффектовсвязимоделейновыхновыхвремянихживыхвдиапазоновивсвя-ввремявакууматемпературсверхнизкихтемператур,некоторы-снастоящеерасширениемматериалов,большогопостроениястроениямоделей,Всвойствбольшихсложныхдругихряджиджидко-гидродинамисовокупностьисчерпываетупотребляемыхусловийдавлений,оченьвязкойматериалов,ужеэлектромагнитныхучетаприменениеммодельюмагнитнойдальше.новыхиспользованиятела,непознакомимсяприменениемидеальнойвдалекомоделей;известныхмимодельюжидкостисписокважныхрядомсред:упругогопроводящейспознакомилисьужесплошныхмодельюмодельюсти,кемыглавахмоделейклассическихосилахвоздействиях,внешнихF^e\элементарныхонапримерпритокахэнергиивнеш-d^Общие§ 1-dq**,иосновыВмодели.обзадачуномуилиусловий,ляющихотдельныепоженияВмойсамомидеальнойможнодвиженийдажеинебречь,вводыкающихизнах;движениеныхлодокшеннонедостаточнополейопределенииобщиеизвестно,ниясодержатопределятьнужноскоростирешенияпроизвольныезанятаянымсплош-телом,интервалнным,водитьсяt 5=stt0=илюбыхдляПоОбластьчаяхможетмер,областьжетсявкогдажидкостьданномпредста-задачопределенныхrв^>t0сосудезанимает<^tилиt0возможнывконеч-произ-вообщеилирас-нему;кможетсредывсехдлятребованияотысканиясредой,известной,полностьювседви-«начальный»неизвестнадругихсчитатьиин-ивремени.движущейсязанятаязадана,можноможетхарактерныймоментов3),средой,которогобытьтечение«привязанным»сплошнойсостоянияt„занятоговременибытьилизадачисмыслуобъемабыть3)дополнительныефункций,XJвидеИнтервалнекоторыйхарактерныхразличныхусловий.времени,вдвиженияVдвиже-которыепостоянные,-временисмотрениеуравненийиобъема,точкахвначинатьсямоментобКакжидкости.математическихврассматривается.можетобъеметипичныетервалажениесоверзадачидвижения.вляютсядвижениявремениобъема,точкесистему,вдавленияРешенияОбласть,каждойматематическойразличныеотдельныевыделяющиедиффедифферен-системойвдифференциальныхфункциитеперьусловия,случаяхзамкнутуюивеликоеид.т.системыспециальныхизРассмотримдвижениемзамкнутойжерешениядляподвод-перечисленныхобразующихиплоти-вивыполняющихсяжидкостью,занятоговыте-ивызванноеСледовательно,уравнений,циальныхдви-струях,кораблейвсехтойиуравнений.волновыевскоростях,Вопре-водосливычерезвоздуха,однойпользоватьсяренциальныхидвижениемдозвуковыхиможноводыводыпроблем.разно-жидкостейтеченияморях;оче-великоедвижениедвижениемалыхпридругихЭтонесжимае-сжимаемостьювызванноеморе;вмножествокогдадвижениеводы,дирижаблейможноиокеанахсосудов;выставлятьдругихразнообразнейшиенапример:женияопявле-моделимногихгазов,другихклассарассматриватьнефти,воды,воздухаилитеоретическойжидкостиобразиевыделенияусловия.рамкахопытах.вдлятребуетсядополнительныевделе,ста-задан-наблюдениймоделидвижений—такжедвижению,явленияещевидно!повеличинвыбораределенногонийвыдедви-фикси-каждойможнорезультатамп°следополни-гельныхрамкахмоделиэтихопределении335задачвзаданнойрамкахгипотетически,Необходимостьконкретныхдополнительновводитьможнорованнойвитьпостановкикогдаэтотзаполняетпространствовпридвижениислу-однихНапри-заранее.жидкостьдвиилисосудоколо336VII.Гл.ОпостановкефиксированныхразличныхВожидкости.еедеформацииниисосудовит.руемогонечнотелоиливнешностьсяВПрисхематизациидавлениеностьхарактер,разнымвключа-предполодополнитель-пожидкостит.аналогичноавможноиимогутимеетместот.п.внекоторыйнапра-заданнуюноситьудаленииприбесконеч-любомвсвойства:температуруилигазавслучаяхбесконечностикогдапотокомудалениизаданныеимеетвп.принекоторыхвпред-находитсятелчтодавлениенапримерт.неподвижныхпотоккдополнительны-ид.чтоэлектромагнитноеопределяетсяидвижениистремитсябесконечностивпринимать,условиянаправлениямможноскоростьсвойства;условиями,движениедвижениязначению,обтеканиивозмущеиирипринимать,размеров,телопотоку,предполагаетместногоабсолютногокотороезаданноеОднакоимеют-3).состояниезаданномукнабегающийскорость,когдавозникающегозаданныеобвверхилислучаяхизучениипринеобходимовлениипространствоосновехарактержидкости,состоянии,задачедеформируе-всезадаватьбесконечностьдеформируемоефизическимидлямногихвовзаранеечтоестественномзадачбесконечность.областивнаноситконечных—имеетдеформибеско-содержащейтелзадачбесконечностьвжидкостиуходящиеусловийтелатвердогоВленты,Например,удаленииполезаданныхнеобходимообъемаполагать,илидляп.«твердое»илибесконечность,удалениипризаданы.нем25,системыявлениенеограниченногопринулю,т.занимаетрешенииконечной,жидкостипостановкижидкоехарактератакихчтоиполе—бытьдляобластьюскогдаисследуемоесредысосудаизбесконечности.качествеиниявнутринужноповерхностиможетмашиныделоЮщеивчтося,потела.Приусловияныеныйбалки,полосыфизическогожениймитрубыесконечностивв25илинекоторойилиструиУсловиясредой,точку,электромагнитноеилимоенапримерсосудадеталииметьприходитсяудаленнуючастотелкоторыеистекающейсплошнойзанятаявнутренностьюстержня,«твердого»объемомзадачи,границыизстенокп.Область,напримерсостоятьдна,заранее,илиморяможетповерхностейподвижныхрешенияволнующегосяпроизучесисте-морскогонеизвестныхпроцессев25поверхностивообщевпризаданнойобластиграницачастей,идействиемподнапримерилинапример,сосуда,изп.случаяхчастей,струит.инекоторыхизвестныхжидкости,найтиводывнутризаранее;неизвестнаосуществлено,теланагрузокпреград3)выливанииупругоговнешнихВосредызаранееобластьбытьзадачисплошноймеханикезаданныхслучаяхдолжнорешениямыимногихопределениецессевзадачиболеебесконечностьрегулярныйслож-Общие§ 1.быть,можети,основыивпроблемаНередковийнаправленияхбываетбесконечностивволныформулированияго-типазаданногобесконечностипе* ы6вводитьилитипаопределенногодлясилвнешнихванныхбенностиобластизадачиобразом,Такимможнодано;присутствиетакженаличиембольшоеобластивоздействий,точки,за-некоторыедифференциальныхтеорииуравнений—виимеетзначениеособыефункцийобусловливатьсяможетточекобыкновенныхпроизводныхчастныхКопта,задача-например,второгокоторая,дифференциальногообыкновенного3)некоторыхвнешнихусловиядляподвижения.ВНачальныеосо-другихсмыслусреды.вособыхнекоторыхуравненияхвт.насповедениеэтихучитываютсяиинтересующейвводитьасимптотическоекоторыхноконцентрироп.Такиеприсутствиеидвиженияилимульти-различного,энергииотполяидиполидействиерасстоянияхдалекихнаможнодиполидействияисточниковиНапример,точкиэффектаучетавводитьжидкости,заряды,моделироватьмогут3).особыеполе,Дляможномассыстокивточке.полеилирасходу,электромагнитномвтелчастимассовомупомультиполиполиудаленнойсредуобластинаисточникирассматусловиябесконечноконечнойвиточечныеизможнодополнительныекаквоздействийточкиобуэнергииизлучениями.особойособыепритокабесконечностивриватьразличныхусло-эффектами,тонкиминаличиемкакими-либоУсловияВНУТРИучетасилиилиточкидополнительныхсвязанаотсутствиемсловленнымиввообщеимеются,процесс,разных337аадачп.т.иконкретныхпериодическийразличныеворя,постановкиуравненияпо-рядкаформулируетсядляt0,х0уравненийимеетназываютсяАналогичнымференциальныхствех'одополнительных=Изчисла.чтоначальнымиводанныхмногихиливвестиможносA.2)дифференциальныхтеорииданнымиобразомуравненийусловияважныхслу-Дополнительныерешение.единственноевыполняются=х'о,Кошизадачаx(t)решениетакоеt0=(~)ихозаданные—известно,чаяхA.2)иtприкоторого(х)ЫогдеНайтиобразом.следующимA.1),уравнениячастнымидлязадачупроизводныминестационарныхусловияКоши.даннымиКошидиф-дляивдвижений,каче-338Гл.взависимостиинекоторыеОVII.перемещенияиПриидеальнойниеЕслиство,вто3)зависятданныхиниидляЭтифизическихидляВотSiсохранениясредыточексредытипичныеиграничнойлибоееважныекасательнойS1поверхностиподходесосторонысредойиточек"средыиндивидуальныхбытьдолжныкакои-илиПримеждусвязаныусловиемпроскальзыванияSx векторыотсутствииповерхностиповерхноститочекисредыизвестны.контактимеемЯгкwStчастидвижениеиоSповерхностиграничнойПриположениечтоперемещенияконтакта.поразнообраздополнительных«мыпоэтомуповерхностисамойиграничнымивесьманекоторые„кнанаусловиямиоснованииПредположим,всеиопределениюSltначальныхнеобходимоусловий.перемещенийграницейбесконечна,кромеиликраевымибытьнанапото,решениймогутсоображений.средыкон-каждомилиS,специальнымивыставляютсякраевыхскоростейсуществова-вконечнаГрашщуусловия„границах3)называютсяусловияОнивида.прилипаниядляОднакоорешатьобластьимеетпользоватьсяКраевыеусловиями.УсловияначальныхвидвопросыиопределенныхиS.примерыиуравнений.КошинужнополучениявыставлятьногодлядостаточноЧислосистемыЕслиhqграницемоментбезграничноеусловийрешенияусловияещеначальныйвпорядкаданных(сираспределевремени.простран-особо.случаеусловий,тела.жидкостирешения.отточекзадатьсобойединственностикретном$сначаль-неустановившегосяначальныхформулировкеовсехдостаточнопредставляетрядеслучаевопределенноговыделениявопрособластивсейвообластьIV)гл.телазадатьнужноНа-t0.=упругогонесжимаемойоднороднойA.10),уравненийскоростейстемаIV)скоростиопределенииобзадачиtпридлягл.начальныерешениидвижениявременизадачи(B.26),функцииискомыепонихдинамическойЛамесредызадаватьотуравненийныесплошноймеханикевуравнений,производныерешенииприпомощьюрасвыезадачвидаотпример,„постановкеточекперемещенийStбудут««границы—одинаковыми.Например,гоготелапредметовввязкойжидкостьюгихдругихслучаях.дующиенаформыi?xповерхностивнешнихилисредузаданнойтелаупру-внедренииимеютобтека-прииместовомно-сле-условия:««средыЕслиэтомпризакрепленииприпридеформируемуютвердогочтоделотипа,заданного«твердую»нииОчевидно,обстоятьможеттакопорахнадвижение=границыЧереды««границы!Stзадано,то=приA-2')«'границыотсутствиипроскаль-ееОбщие§ 1.зыванияStвдольA.2)',лагранжевыхтеорииформацийВнияиосновнуючтоA.2')SxКаждоескоростейУсловиеничноеобоихОднаконостьмиДляизаменяетсяпоряд-отиихраз-числоижидкжидкприлипанияЭйлера,уравненийнеобходимонапоэтомувозмож-допускатьграницесвнешни-телами.условиеодним^пгра-идеальнойдляполногожидкостижидкоститолькоско-компонентрассматриватьA.2')деформируемымиидеальнойудобноусловиигазасодержатжидкостиотичастициливязкойкоординатамприлипанияжидкостипервогопроизводныедлярешенияжидкостиидеальнойтолькоПридви-уравнениядляскоростей.существуетпроскальзываниятвердымизависитДинамическиеЭйлерадлясильны.идеальнойдляилиравенствам.условияестественноусловиятринесме-послеперемещенийдляусловийпоA.2')чересчурстенкамA.2')—производныеслучаяхусловиекостипервоначальтоскалярнымсодержатскорости.СтоксаНавьечастныеВ0;еслинулю.граничныежениякомпонентУравнениявторыерости.по-начального1,3)фграничныхНгшРимеР-дляотдляусловиеудовлетво-моделей.жидкостипорядканекоторогоравнатремпоэтомуразныхобтеканияидеальнойскоростей.неподвижной,будетусловийиуравнения,гидродинамикедляеслиI2,(?',векторныхравносильноивA.2')движенияхостается«границыиздляде-движения,поэтому««границыначальныхличныпе-перемеще-уравненияусловиеизStскоростьтелвсместиласьтоданное,газообразныхавтоматически,границаЧислокадлятензорперемещений.длясмещенная6Г1условиеимеетивыполняетсяусловиеграницащениядляиграетОчевидно,вжидкостиопределяютсянепосредственноскорости,граничноепринепрерывныхкомпонентыложенияУсловиетел.значениежидкихвходятрольЕслиноглавноедвижениявходятряетсячастоусловиявязкойперемещениямикакнескоростейфунк-родадвиженияинапряжения.теориичастицнихвТакогоt)прилипания.упругоститакI3,известные—.теорииусловияI2,деформируемыхвтакжеусловияместо(i1,i*=const'?2,?3.?',иметь«'границы\rp.«твердых»названиеремещений,d339задачбудутI4—^—I—механикепринимаетсяноситВ/_координатвконкретныхграницеперемещения'"границывстречаютсяA.2')этойвекторскоростициипостановкинакоторыхввекториосновыскалярным==УпграницыA.2')условиемнаS±ослабляетсяобтеканияA.О)340VII.Гл.гдеОиупЖидкчастицжидкостиражаетнойсобойvnнеконтактаSx;НаSvповерхностиприкасающиесяместоижидкостьвы-заданможетненейповерхностипоSt.поверхностиограничивающейсо-тела,некоторыежидкостью,какимеетправило,неравенствоУтгдеиндексомжидкостиgradф,Следовательно,Sxможноvn=Sxгранице0наSx0наS,.задаютсяЕслиф.принимает=виде:потенциалаA.3)шидкvследующемвотусловиетонеподвижна,движущей-потенциальнонапроизводнойпроскаль-Sx,написатьобтеканияусловиюпонормальнойзначенияместожидкостиA.3)условиетоимеетповерхностиидеальнойдвижениеницавдольспособом.Если=скоростейсоставляющиеA.4)неравенствасилуидеальнойзаданнымA »4)тепа;касательныеВзываниесяV-c=?=жидкотмеченытповерхности^.кA.3)жидкостьюсидеальнойсскоростейУсловиеусловиюототрыватьсясредысоставляющиемеждупоэтомусоприкасающихсятел,можетStповерхности.сохранениевнутрьсплошйоймеханикекграничнойповерхностьюив—нормальныеграницыипротекатьSvйадачпостановкегра-видили?Намоделей^ПриназадаватьналичииПриобщиенасмотримОднакопространенныхлировать"*ивестнадачи.Наусловий°ттдолжнанеизвестнойграницаS2частьсплошнойопределенаграницеобычнорас-весьмасформуSнеко-илинепрерывногонеиз-заранеерешениясредыв52областирас-мыразрыва.задачахееусопирать-наповерхностяхназадаютсяможнокоторыемногихтораядвижениябытьподробноусловиях,ВоStследуеткоторыеразрыва,остановимсямыпомощьюСВ°условийграничныхповерхностяхкоторыевJ.ипараграфах.здесьтепла.наН.раз-дляНапример,уравнений,Е,граничныхспритокилисистемевекторовнаусловияследующихужеусловий.характеристики,дляA.3),илидругихтемпературуформулированииврядзамкнутойвэлектромагнитныенапример,ловия,A.2')условияставитьможноможновходятсякромеграницах,заданныхличных=результатезадаютсяза-внешние§ 1.ОбщиеВнагрузки.кахосновытеорииконкретныхупругостиS2поверхностистныхпостановкаитеорияхизвестныплощад-наплотностиповерхно-силРпМгдеiS'2.шениянатикеинженерныхТакоговолномогутщемуки.этимгдер0взадачахоповерхностьповерхностиодвиженииPnVсреде0;=A.6)условиясвободныегдер0торая,ностиНаможетсвободнойнасвободныхбаки,рытыеПримыетакжеиметьвскоростейвиду,чтодлятолькоскорости,таккаккакскоростьнормальныескоростьзаполняющейформыперемещенийA.2').поверхностейпотребуетсяэтомнадоA.2')равенствакS2компонентыобычнограницыэтойиско-черезПриS2отношениюсвободнойперемещениязак-S2границвидасвободныхнанапример,любым.илиравенствамисвязываютляетсяидавлению.давлениеатмосферного,бытьможетповерх-заданноечастичножидкости,пограницыопреденормалиней.Вграничнымиобщемслучаеусловиями,требуетсякогдарешатьобъемко-среде,атмосферномуотдвиженияпользоватьсявнешнейвозмущеннойкогдаотличаетсяполяравенству:воравнойслучаи,определениикомпонентыозна-идеальнойвA-7)заранеер0Условиевсегда=Ро.приниматьсядавлениелтодномукдавлениявстречаютсяповерхностиграницахрассматри-границетольконеизвестнойнапрактикесвободнойнавеличиназаданнаянапример,водыхаракжидко-частоповерхности.определениюпоР—такжеепоэтомусводятсявсеидеальныхгазовилиидеальностичтовязкойдругойсизвестными.задачахваютсяитакжесвободнаяеекоторойвсчитатьстеижидкостичает,встречаютсякогдаконтактаможноидеальнойвA.6)жидкости,соответственно,свободнойнаA.6)илиповерхностьюВУсловияусловиядавления.вязкойдвижениядействуюполучимРпт-=0,A.5)жидкостьютеристикисво-напряженияслучаеРо,видаявляетсяидеальнойилиПрисейсмичес-давлению,этомпрак-называемыеатмосферномуатмосферноговилиповерхности,поверхностныеВсоотно-тримашин.упругих,кусловиядвижениидаеттипичныдеталейкоторыхвеличинаГраничныеA.5)распространении/>пп=——A.5)условияразличныхпростоплощадкам.сводитьсяпоУсловиеграничныеплощадкахнаt),/ (ДУ,¦=рассматриватьможнободными,РпгS%.родарасчетоввопросовких+Рпп=поверхноститочка—изучениикдругихбытьмогут341задачзадачидвижущейсясмешаннымисосредычастично342VII.Гл.ограниченпостановкезадачвнешнимистенкамино,илими,представляющиминые,конечныезаданныетого,когдаграницасобойвиличастичнобытьграницытолькосложнымичастич-краевымилинейныенекоторыеусловия,нелиней-илисоотношениянекоторымимеждупараграфахследующихис-условийусложненныхизсво-—частизадаетсядифференциальныеСпознакомимсяамогутболеесфункциями.комымиКромеграницыилистенкамизакрепления,условий,видамисредызаданнымиусловиямиповерхностями.инымисплошноймеханикевнеподвижнымиданнымисбоднымисОивомывторомтомекниги.Здеськраевыхбудутниягостиформулировкиусловий.толькоМатематическаяЭйлера,четырехтемпературы,ностейЭтапеременныхсводитсяxl,т.точкифункцийотдавления,скорости,магнитнойнапряжен-вводитьпостановкойсвупрощениядопустимыеоченьслучаяхдополнительнуюконкретныхмногихвотребуетсярешениясвязаннуювноситьинапримеризадачаеедляматизацию,задач,сд.математическаяиt,электрическойплотности,ипроцессынеизвестныхх3,х2,уравнений,решенийфизическиеотысканиюкзадач,переменныхопределениидругиеидвижениезрениянекоторыхнезависимыхобзадачаописывающихпостановкахвреше-упру-теорииI ).т.числауменьшениемвидовихизадачгидродинамике,(см.упрощениясна,впластичностиТипичныенекоторыхконкретныхдальшенеобходи-насмыслаФормулировкатеориисвязанныеуказаниемразъяснениемирассмотреныи§ 2.ограничиваемсямымостьтрудсхе-физическихматематическуюихпостановку.большогоНаличиесимыхВленнойзависимостименных,взятыхслосистемеприточкинезависимыхсявремявияпоt.временипеременныхустановившихсяДляtнеизпере-выбраннойси-таккакЭтоЭйлеравсехпозчи-сократитькакначальныевосо-вдвижениядвиженийнужны,некоторыхслучаяхтакединицу,навновсегда,приемлемыхрассматриваемыеустановившимися.зрениясчитатьможноиспользованиинечтокоординатпроцессымногиеволяетнекоторыхотвида.практическиответствующейчислаопреде-вполнеспециальноОчевидно,движенияобеспе-одопущениямифункцийискомыхчастногоУстановившиесяссоответствующейвкоординатстемеилинезави-предположения,суменьшениемсвязаныпеременныхчетырех)случаезадачу.упрощающиерешения,успехнезависимыхданномосложняетважныезадачрядечивающиеи(йчисласильнопеременныхуравненияхисключает-услодляТипичные§ 2.упрощениядвиженияустановившегосяматематическихвсех(х,у),всебыть,ВэтомПредположениебалки,ствиемпроизвольновстатическивсехнезави-параллельноплоскостях,параллельныхприемлемоввзадачеобразующейбесконечноговкоторойуп-цилиндри-находитсяввнешнихнагрузкикогдадей-подплоскостиегонезави-перемещенияавол-теориидлиннойрасположенныхнулюнагрузок,#координаты,запрещенынаправленииозадачравновесиисечениепоперечноецилиндри-рядеводвижениизадачахнекоторыхжидкости,задачетолькооаэродинамикижидкости,тяжелойпродольнойдольномпро-вусловиямизакрепления,д.т.Математическаякопараллельньтхновузадач,методовполейя*Плоскопараллельныетешшальнысдвиженияне-жидкостидвиженийсвязансДляплоскопараллель-теориинесжимаемойчтотем,жидкостипотенциальныхдляпотенциалфункциигармоническойгармоническуюКошиРимана:—di|>~fa_~~~~ду~удфос-схе-дви-скорости(х,<рфункцией:гармоническойявляетсяуспехныхженийвпространст-недействительно.целомБольшойпо-шгос-плоскопараллельнойовположенарешениядляпредположениекогдаискомыхиразвитаозадачрешениясильноприближенныхмногихдлясжимаемойэффективноготеориядвиженияхвенныхсопряженнуюуравнениямвоилиравныхотмо-и,усредыпроисходитплоскопараллельностигазенапримерсятпредх,частицсредынапримерсвоейкругости,ческойсостоянияикоординатсостояниеиокрылаповерхностинаско-одинаковы.перпендикулярнонахвыбратьчтобытак,плоскостидвухдвижениедвиженияизадачах,ческогоzдвижениятолькодвижение(х, у),(х, у),частныху,х,t.z,плоскостиназываетсяможнопараллельнымифункциикоординатыплоскостисредысистемухарактеристикисобойвременислучаеотсятмерешениееслиоказалисьсредыпричембысплошнойплоскопараллельным,декартовучастицставлялижетДвижениедви-,ростиипоупрощаетправило,задач.Плоскопараллельныевпроизводныечастныекак343задачнекоторыхвыпадаютобстоятельство,Этовремени.постановкахвффункцию(х,&ф~%~~~д^'t)у,_дфопределитьможног|з '(х,t)у,у,t)согласноB.2)344Гл.т.ОVII.постановкезадачвсплошноймеханикесредые.y,t)=-^dx+^dy.Условиея|з (х,t)у,я|зтока,уравнениемфункциейназываетсялинийуравнениямиобеспечиваетсяB.3)интегрируемостиФункцияB.1).B.3)B.3)const=Согласнотока.любойвдольлиниитока.Какизвестно,B.2)переменнойz+х=iy,w(z)ФункцияобсвестиДля1:t) +ЩРимана—комтекснойи>(х,характеристическойB.4)t).у,скоростейфункцией.(х, у) можнофункциифхарактеристическойком-z.этойпотенциальныхаппаратЭтопеременной.комплекснойизадачтрудныхплоскопараллельныхмногомощныйпривлекаетсязадачифункцийрешать]/—потенциаларешениямикуу,определениятеорииляет=называетсяпеременнойметоды(х,ф=t)iгдеотысканиизадачекплекснойи(z,wЗадачуфункциюаналитическуюввестиКошиуравненийоснованиинаможноразвитьгидродина-движенийнесжимае-далекопозво-жидкостей.мыхДляетсяzвсейнезависимаяоднаменная+х=движенийплоскопараллельныхустановившихсятольковеличинаЭтоiy.добавочноеоста-пере-комплексная—оченьдопущениесильноетеории.ВI,т.дви-чтоторойсущественнымитолькокоординатыВсевенна.склассомупру-теориивВсимметрии.задачахповоротовотносительнобудутфункцийкоординатадающиефнесущест-будутрешение,любойнако-вкоординат,искомыхугловаяосесим-предполагается,системуазадачиявляютсязадачосевойформулы,иуравненияинвариантныосиразвитыналичиемметрическихцилиндрическуюаргументамиzиг,(,выбратьможнотеорииXI).гл.ВажнымОсссимметрическисре-методыприложенияхнапеременной,комплексной(см.гостианалогичныеоснованныезадач,плоскихфункцийвидеусложненномнесколькошенияуголвокругz.Влочкахжидкостейвращениирассматриваютсясосевойпроблемымногиечастности,вращения,ит.газовосивтрубах,рамкахосисимметрииидвижениятелобо-специальныхдвижениивдольтеориидвиженияибаках,поступательномвращениятелотносительносимметрией.озадачиилид.ипрочностиозадачинапримервнутримногоихилисимметриидругихсплошныхзадач,сред§ 2.ТипичныеупрощенияПлоскопараллельныемеры,рическиеДвиженияшиНесяеРдвиже™яСТаН0ВИВ"вг|поверхностямслучаях.направленыconst,=координататолькодутхг)=ивсее.т.волны)поДвшкенисслучаехарактеристикиотzиу2.всеДвижениеи3>ниег=центра(поверхностиженияпо9Многиеважныевширотеирамках*)См.также132,LГ.i pА.движенийОборонгиз,всетеориисsЛhюравныпроизводныенулю.волнами,систе-существеннымирасстоя-тольконаслучаехарактеристикиотсферахдвивеличинискомыхнулю.задачинапримерволн,теории100,1887,стр.неуста-звуковыхирас-задачипрактическиеидвижений,световыхволн,этомпроизводныеф равнытеоретическиеодномерныхфбудутВt.волны)всераспространенияновившихсястр.е.т.долготеифазыодинаковы,смотренытеориивзрывныхСм.гвсечтотак,аргументамивремяе.ци-наволны)фазысферическимисферическуювыбратькоординатсимметриитолькослучаеэтомуглусопеременнымидоconstВт.полярномуможносущест-(поверхностиconst=чтобудуттак,t.времяиДвижениемунезависимымицилиндричес-координатаргументамипостоянны,zкогдаволнамииволна-выбратьсистемупеременнымигпосфериче-соснимиодинаковы,мцилиндрическимиJ^rсгвеличин(плос-const=движенияможнодвиженияискомыххплоскостихарактеристиккогдаповерхностяххарактеристикиотбуобозначениедвижениясимметрииосидочтотак,аргументаминаДвижениенезависимымирасстояниелиндрическихе.*выбратьприменять^куювеннымит.волнами,можнонулю.ми>волнамитрехкоординатискомыхравныкоординатнымкоторомможноэтомцилиндриче-с(дальшечтокото-следующихплоскимисистемувсепроизводныепроцессовснимисприпеременнымиВt.времяфазыкостьвтолькоДвижениех1),вкортогональнонезависимымисущественными«неустано-показатьдвижения,движение,декартовудамико-дви-словоещевозможны1.вол-плоскимиссуще-которыхМожносущественно.неустановившиесяперемещениярыхДвижениеtвремяодномерныежидкостиназываютсядобавляетсяназваниюэтомукогдагеомет-геометрическаяодномернымиоднаг),при-—двевпроцессы,толькоордината,Кжениями.иственнавившиеся»,движениятолькоимеютзначение_345задачосесимметричныеисущественноекоординаты.когданекоторыхпостановкахвдетонации.i t z,б ивязкого1956.f.Z.мов,reineundОгаза,Math.,т.angew.возможныхсб.видах№19«Теор.одномерныхгидромех.»,вып.89.7,346ОVII.Гл.постановкеобразом,Такимодной,одномерныхнуль-мерномдвиженияхАвтомодельныеуменьшениезаявляютсячетырехДляу,однупеременнуючастнымисновенныеКакстей.ДляэтогометрыИмеяранеезом,чтобывсоображения,явлениеописанныеАвтомодельностьсточкизренияводнымикстижение,простыми§ 3.Линеаризациясплошнойсплошнойсплошнойуравненийэто—кактакрешения,спроиз-частнымибольшоеужедозадачирешениечисленноеиОсновныепроблейсредыHOgсвязанасредыиуравненияНапример,и,применитьавтомодельным.методами.механикизадачвообще,среды,—Нелинейностьвграничныеуравнениястем,Эйлерауравмеханикифункцииискомыев(внелинейныезадаччтоусловиясплош-механикиуравнениянения.вбылосвойствоза-обра-такимбылоуравненийуравнениямполучитьможносредыНелинейностьмеханикиобыкновеннымпозволяющееболеезадачуценноесведениеусловия.ипоставитьрешениевесьматеориипара-уравненияможноискомое—этислучаяхупрощениячтобычастности,тольконекоторыхидви-уравнениязнатьвизразмерно-теориивыписыватьвиско-длядостаточновходящиеэтиX.исходясоображенийдажеобык-внепосредственно,условия;характеристики,видусхематизироватьслучаеэтомперейдутпеременнойавтомодельностиналичиеивдвухввестивчтопоси^независимойтребуетсяневместоможноОчевидно,установитьпомощьюсграничныеису-триzг/?а.=дальше,можнозадачи,жениятолькодвиженийдвиженийоднойсрешенияпостановкивме-когдаввестипроизводнымиуравненияувидиммымогоможноУнеустановившихсяавтомодельныхК?дляигуравненияПримеромдвижения,tне-толькопостоянная.переменныхтолькоиско-переменных.z,кото-варгумента:некотораяодномерных—решения,аргументовсущественностисчетхаимеютавтомодельныех,независимыхгдеаг,толь-—числанезависимыхизпеременныхщественныхпеременнаяпеременных.достигаетсярешенийтакихстокустановившихсядвиженийзначениерыхкомбинацийсводятся(воднанезависимыхВажноефункцийкоторыхсредыупрощениятрехнеустановившихсядляt)движениямыхдажесущественнапеременнаяоднаиливышедвухслучаевковуказанныеисключениюсплошноймеханикезадачобщемвыражениеслучаедлявходятнелинейно.ускорения)§ 3.входятмыхЛинеаризациясильныхсредойполясоныхзаконов1дляв.дхкОмазаконаэти~впустоте;электромагнитногополяусложненногоэлектрическойдавлениядрвзаимодействиясчетучетепридляиРзасжимае-движениячленылинейнывозникает347средыплотностиМаксвелланейностьслучаевнелинейныеещеУравненияаизмененияхвходятуравнениясплошноймеханикиui{duh]dxi),произведенияприсредуравненийнели-усложнен-иполяризациинамагничи-ивания.С нелинейностьюособыхдабольшоебольшиеэффектов,трудностивСвойствоВнекоторыхимеютпронес-возмущениймалыххарактерсостоянийравновесияилиот-поэ-процента;которойбес-теориядеформаций,малыхвпроизведениямималыхпренебрегают.величинчастожидкостирассматриваютдвиженияотВтелмал,(рис.этоскоростинаправлениюп.)вмалы.тон-различныхвоздухеввозмущения,намалыескоростикввызываетдвижениевекторат.полетаскоростиполетадвижениеихнаправлении42).наклонаскоростималыеиснарядовабсолютнойводычастицизучаетсячасторазмерауголКогдатонкихвращения.телвеличиныслучаеперемещенийсоответствующих(крыльев,основногоиспо-этомваэродинамикетелДвижениегори—воды;уровня42.крыльевплоскостииРис.поверхностьотличаетсямалозонтальнойкойногоко-приводы,свободнаяводытяжелойвволнтеорииторыхде-тензорараспространениеконечнотакиеимашинкомпонентыимеютлинейнаяполучилаВиде-вдолейбольшоетомуразличныхмалыкоординатчислами,порядок(деталяхтелахчастоявляющиесясистемевлеченнымикупругихвдеформациикартовойниюсплошнойидвижениядвижения.Например,сооружений)формации,стиимеханикизадачахLнекоторыхкихвноситисследованияисследуемыесыосновногоскоростинелинейностиметодысРеДыилидвиженияосновногоряимеютслучаезадач.со-равновесиястоянияобщемвматематическиерассматриваемыхвозмущенияналичиесвязанокоторыезначение.практическоеразрешенияМалыеуравненийисходныхфизическихпропорциональныенаклонауглыполета.основнойэлементаммассеповерхностиповерхновоздухапроизведетела348ОVII.Гл.Примеров,поляобластяхперемещений,вообщеп.,случаяхэтиглавной,Конечно,ме-сплошнойханшситехвеннымЛинеаризацияпауравненийныеиЛинеаризацияусловий*'ДлявкачествеПоSo.функциикакуравненийвризованнымигранице;поности,такжеавзадачуодеформацияхмалыхоснованиемусловияSo брусаего(рис.43).смалыевидопределитьврассматривая,брусараспределенныхналинеа-вычислитьупругогописатьопре-линейныхнедеформированнойможнодействиемвточексостояниянаНапример,сприближениирешенияприближенииподможноS.границыперемещениямпервомграницы.нижнимпервомнедеформированногонайденным3Hповерхностидвижениявусловиямиреше-какобластивозмущенногоперемещенияпутемтелаграничнымидеформации,деформированнойграничныеверхностидлякнормалиневозму-поопределяютсяизвестнойизвестнойзадачикоординатобластиграничповерх-основномунаупругогодлясносятсядеформациималыеопределитьделяются3),вкраевойгра-поэтомудеформированнойнафункциифункциямнайденнымпорядкадеформациямалой,условиямиграничнымиНапример,малымиуравненийрешенияможноSo.нали-видевзаписываютсясоответствующейсистемырезультатеным®0,образом,линейнымипредположениюпринимаетсяусловияискомыелинейнойнияп.т.областьобластити-началь-выражающиеиПоперво-соотношенияпренебрежения2'состоянию,ТакимпринимаемыхмалыхучитываемыхпослеНИЧSoщенномуследующимФункций,искомыхусловия,ограничивающейграницепроизсущест-можнозадачксоотношения,ныеS,постановкемало-о^приемле-являетсячдополнительныеграничны*ноститре-идопущениекогдасводитсяуравнения,состояния,уравненийпервый.чемвыше,вдопущения*граничныенейныхкогдаэффекты.функцийTJкотораявсепорядка,вонеприемлемыслучаях,мым,уравненийггоОднакослучаи,искомыхлинеаризацию,упрощениям:ма-отдельныхоправдываютсясовершеннонелинейныестисредывестиважныесущественныезадачвобласти.такиеВЛинеарнзацияплот-неверны.хорошофункцийучитыватьастрогие,простоважнойиискомыхвеличинэлектромагнит-предположенияимеютсямалостиневсегдапрактическибуетсяскоростей,говоря,ониуказатьвозмущенийхарактеристикпотокамногихот.можномалостиотемпературы,иногосредывыше,заключениядлядавления,лыхсплошноймеханикеперечисленнымфункцийискомыхвУказанныемного.ности,взадачподобныхоченьещепостановкенедеформированнойсчаст-заделансил,по-г§ 3.ВуравненийЛинеаризациямалойволнтеориижидкостиSo,плоскость(рис.44).ПосленасноситсяссовпадающуюнаS(ус-горизонтальнуюжидкостискоростейполягоризонтальномнаскоростямтяжелойпокоящейсяуровнемлинеаризованногоотысканияопределенным319средыповерхностиповерхностисвободнойнадавления)постоянствеоловиеамплитудыусловиеграничноесплошноймеханикипоSoуровнеможно'/ / / / / / / / / / / / /АРис.43.брусУпругийРис.действиемподраспределенныхНижнееК44.новкипоста-линеаризациитеориизадачсил.малойволнвамплитуды.основаниебрусажесткозаде-лано.вычислитьперемещенияточностьюнайтисвзволнованнойпутембоднойВповерхностьтонкогопорядкаплоскойпластинки.костикаяпластинкаиилидействуютсилыскоростейлу,необходимоЗаменупостановкенарассмотрениивомрывовверхностиПослебесконечномиэтогопредставляетсяразрывраспределеннымигазсостороныскорости;внешнимикостьвгазадавленийповерхностивводитьвнутренностивнешнихкрыла,задачи.Встороныразныежид-движениеаплос-граничнаядавле-разрываприближеннойгазприэтомнажид-внешниесопостановкестороныпластинки.жидкостисразры-соответствующейразрыва,жидкостьюкрысилы.распределенныепутемсил,производитьнамалыхдействующимибесконечнойкрыламожнонаилиповерхностныхблизкатолькорассматриваетсяпространстве,какповерхностьуравновешиваетсякрыла.жидкостьвнешно-обтеканияудержаниемсилами,движениянассоответственнопереносятсяилиниякрыласовпа-заменяетсяГраничныекрыла.3),областьпредположениюусловияпосво-границами,скрыла,которойобтекаемогоповерхностипервогоПритонкогокпластинки,такимиформусложнаягаза,поверхностьюсповерхностипорядкапервогодвижениемплоскойстьюмалыхповерхности.аэродинамикевозмущеннымдающимиэтидолинеаризованнойзанятаясвободнойточекраспределенныхивточнойвведенияразпонелинейнойпо-350Гл.ОVII.постановкезадачЛинеаризованныеположенарамкахвническихвеликоготеориитеорияосновуЭтадеформаций.малыхтеорииосновусредысоставляютпостановкивупругостисплошноймеханикевметодовмножестваврасчетатех-задачах.Ваэродинамике,получиливонарядуразвитиевозмущенияширокоеслучаяхмногихтеориями,линеаризованныминелинейныестеории,кактакнельзяпотокевсчитатьма-лыми.Теорияволнпроблемывэлектродинамикилинеаризованныхрамкахтяжелойверхностинейныи„жеявляетсячтосуммарешением.шенийможносплошнойсреды,купностипостоянных,ВгСтоячиедальнейшемСреди^посово-иудо-можнопостаэтополо-линей-систем«уравнении,tвременизависящимиследующегоотчастныесодержащихфункций,искомыхбольшоеt,отсзначениекоэффициенрешенияимеютвида:Fгдеiноечисло,Y—=1»Fю=Reel[g(z,=-f-©j.величиныпоЭтиarg(g)(x,gу,to)z,точкамгооафункцииC.1)вообще,постоянное,—ФормулаFотхарактеризуютзависятотфазовыминазываются!=|g\g0,называютсяC.1)времени,распределениевобласти«частоты»комплекс-определяеткомплексныеамплитудповерхностиколебанияхстоячих25имеютсяПоверхностиповерхности,максиму-Колебанияпучностями.Присо.поверхностями;узлами,называютсястоячими.чтоа)еш],z,пространства.=constкоторыхмодуляу,функции.функцийискомые—зависимостьфункцииифазмевается,ремеханикирешенийчастныхныхнепомощьюпримерах.волныпроизводныетами,Сусловиямдругимпроиллюстрируеммыто-частныхкоторыхиграничнымзадачи.нажениесу-функциивыборапомощьюуравненияуравненийпроизвольныес„'гочевидно,решением.интеграловилилинейныхсодержащиепо-решенийуравненийявляетсярешенияначальным,влетворятьвленнойсвойствомчастныхрядовсумм,строить-<гнелинейныхнеконечных¦*-¦*-несколькихрешенийчастныхобразованиясвободнойзамечательнымСуммаДлярешений.перпозициипо-нели-*задач.дифференциальные/л.-обладаютма-наусловиячислоЛинейные„решенийrназватьнебольшоерамкахамплитудыграничныеискомойнаудовлетворятьсярассмотреноСуперпозиция47rмакогдажидкости,должныверхности,конечнойразвитыВзадач.волнмногиефизикипостановоктеорииижидкостиобластейдругихитруднойтематическинатяжелойповерхностинаузлы.обычноC.1)можноподразу-§ 3.ВсуравненийЛинеаризацияобычноприложенияхфазой,одинаковойВбованиюсовпадениявияграницахучастковвообщеC.1)искомыхсоотвеличинколебанияническиеПрифункцийвеличин.определениюпроисходитниялинейныхсуравненийметодапомощьюколебанийчихвидазадачах„ПрогрессивныеДругим(х,созначенийотраспределениямфункцийискомыхФиксированныеростьюхсоаскоростью(к)соссо.причемРешениепосинусоидамнекоторая—мно-некотороеквеличинаC.2)соответствуетразличнымисихFможетt.временираспространяютсяВеличинааско-называетсявволны,слу-данномавеличинаразличнойпрогрессивнойт.различна,Волныволн.е.различ-скоростью.распро-волны,х=щ1+%3к,+х^'видаFстраненияк,иC.2)gчисла,векторанаправлениив—вида:со) *•№»-'>,к,дисперсиясинусоидальнойформулаАрешенияимеетсяслучаекилираспространяютсяплоскойстраняющейсягде=местоимееттодлиныверна*¦волны.const,Длярешений*¦>следующегоz,прогрессивнойразличныхдляф(у,gфункцийа>/к.значениясинусоидальнойЕсливаявляютсякоординатепо—распространениячаенойсозависимостивосивидомчастнымReel=действительныеобщемВфункция.вдольстоя-однихвзначения,волныt)со,постоянные—определятьсяпериодическимаА,z,у,допустимыхфазамиреше-суперпозициисо,которыеуравнениипрогрессивнойкомплекснаяжествообщие„линейныхFиОзатухание.—дискретныеважнымnrJнезатухающейкО<Ссо2множество.непрерывноеволнытипаразличнымикПриболеевразличсводится^>со2состоящегосдлясо.пристроитьнекоторыеобразовыватьдругихФурье,C.1)ипроблемачастотиможноприниматьмогутсо)z,у,гармо-вообщес,иточкахамплитуд,нарастаниеДлягде(х,зависимостьсобойC.1)равенстваgзна-допустимыеторазличныхвналичиисов-условияпредставляетамплитудамивременифазамисдвинутымиговоря,ныхнаразличнымистребованиюкГраничныедействительно,сох=треусло-случаяхдругихпучностями.ограниченияговоря,Еслисо.частотксводятсясводитьсямогутсграницнакладывают,ченияузлами;взакрепле-жесткихприусловиясграницсвободныхналадениянапримерграничныеS,границыколебанияпространства.точкахслучаях,точкахввсех351средыстоячиерассматриваютвонекоторыхнияхсплошноймеханикиапостоянная,волнывэтомReel=гслучае—Ле**"—'),радиус-вектор.определенаC.3)Скоростьформулойраспроа=со/|х|.352VII.Гл.ВОобщемформыпостановкеплоскимирешениясплошноймеханикепрогрессивнойслучаесвзадачволнеЕслиихвдольютопостоянные,—состоянияютсятофункциилинеаризациисВбезпо-специальных/пе-отОповерхностяхвмеханикеволны—графи-надеформироваться.частныхслучаяхможноприближенийпреобразо„нелинейныекуравнениякпереходатакогоновымлинейнымвыб-специальноввстречаетсятипасильныхповерхностяхнаДоразрывасплошнойсихти^средысредой,ответствующиеПрИичтообластив2),выполнятьсядолжнысо-функцииискомыеичислонужноеуравнесплошныхмоделямизадаваемыеимеютпоня-системскоторойуравнения,непрерывныосновныхпредполагалось,точкахдви-разрывовсвязанныхсред,вустановив-введенииприустановлениипориний,теорипотенциальныхплоскопараллельныхУсловиязанятойсоипеременным.Линеаризациябаротропныхгаза1).§ 4.координатираспространя-формабудетпоэтомукаких-либопутемженийесли«независимымшихсяраспространяетсятело;состояниянекоторыхватьременныхраннымволнатвердоеразныеискоростью,зависимостиC.4)плоскаячастиц,различнойсмощьюсоответствуютat).какхвекторанаправленияфункцииОфазвида—кесинусоидальнойнеравныхповерхностямисредынепрерывныхпроиз-водных.Такоепредположениеявляетсянеприемлемымнием,вДействительно,циивнапример,тел,необходимосредысупругихнеесплошныещиерактеристикамискорость,функциямиВСобр.т.взаимодействуюсвойствамисредэтихплотность,какбытьмогутха-иразделадвижений,ип.,вибра-погруженныхвообщеразрывнымикоординат.этомпримереупругихижидкостиГостехиздат,ииповерхностяхсостоянийхарактеристикиперемещениятакиеGrundeНадвижения.озадачжидкостирассматриватьразличающимисярезкоограничепрактике.нарассмотренииидеальнойизсильнымприложенийприсостоящейсистемы,оченьважныхрядеl)PиамHoppe,соч.,н,1948.серият.I,изучениипрителРаспространениеMolenbrock,2, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
