Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Леви- Чивиты. Отметим, что+ '1/J"\1 ж· v,'1/J"\1 ж Х v + ("'V ж'Ф) Х v,"'У ж· (1/Jv) =("'У ж'Ф) · v"'У ж х"'У ж·('1/Jv) =("'У ж Х V)=О,\7 ж Х (\7 ж'Ф) =О,а также(П1.19)П1.4. Основные формулы векторного и тензорного анализа82где \7~ = дхiдхi -471.дuфферен.цuа.л.ьн.ый оnератор Лап.л,аса. От-метим, что выражение для \7~ инвариантно относительно поворотапрямоугольной системы координат.Приняв в (П1.2) Ь= 'V'ж, запишем 'V'ж(а·с) =(а· 'V'ж)с+а х (\i'ж х с)в случае перемениого вектора с и\7 ж(с ·а)=(с·\7 ж)а +сх(\7 жха) вслучае переменнаго вектора а. Когда переменны и а, и с, объединивдва последних равенства, получим\7 ж(а ·с) = (а· \7 ж)с +(с· \7 ж)а +ах (\7 ж х с)+ с Х (\7 ж х а), (П1.20)причем а·\7 жf.
\7 ж· а.Из (П1.20) в частном случае а= с=v следует(П1.21)Полагая в (П1.2) а=\7 жи считая сначала переменным вектор Ь, а затемвектор с и объединяя полученные равенства, находим'V'ж Х (Ь Х с)= (с· 'V'ж)Ь- с(\i'ж · Ь)- (Ь· 'V'ж)с+ Ь(\i'ж ·с).(П1.22)Рассмотренные дифференциальные операции можно обобщить. Так,градuен.m вепторн.ого nол.н---W(x , t) ="'.о- v =vж'OI-д(е·~(v·е·))дv·3 3~.о- е·3-= - 3 е·~'018 Xi8 Xiявляется тензором второго ранга, образованным диаднъш произведе\7 ж и v. Для mеизорн.ого nол.н, заданного тензоромТ(х, t) второго ранга с компонентами Tij(x, t), дuверген.цu.н являетние.м ве""торовся вектором (тензором первого ранга), вычисляемым как внутреннеепроизведение тензоровЕсли в областиV,ограниченной поверхностьюдифференцируемая функцияS, непрерывноv(x, t) задает векторное поле, то для негосправедлива теорема Осmроградспого -jvdivvdV =Гаусса в видеj ::: dV j щnidS = j v · ndS,=vss(П1.23)ПРИЛОЖЕНИВ472гдеn-1.ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫединичный вектор внешней нормали кS.Эту теорему можнообобщить на поля тензоров любого ранга.
Так, для тензорного поля,заданного тензором Т(х, t) второго ранга с непрерывно дифференцируемыми компонентамиTij(x,t),=вместо (П1.23) получим1nkek · Tijei 1:?.9 ejdS =s1n · TdS.(П1.24)sОтметим, что (П1.23) или (П1.24) обычно называют фор.м.у.л.ой Осmроградспого-Гаусса. Из теоре.м.ы Стопса для векторного поляследуетlrotvdV= leijm~::eidV= leijmnjVmeidS= lпxvdS,vvsЕсли же поверхностьS*m=1,2,3.sс единичным векторомn*нормали опираетсяна замкнутый контур Г с единичным вектором п' внешней нормали, тос учетом теоремы Остроградского-Гаусса получим1п*1· rotvdS =s·1s·ггдеdS =s·eijkninjvkdr ==1niбimemjk ~~;1 (п* х п')dГ 1 =1щdxi,niei · emjk ~~; emdS =v·v · dx=гdx- вектор,гкасательный к контуруL,(П1.25)гпричем векторыn', dx и п*образуют nравую трой~у ве~торов, что в данном случае соответствуетобходу контурапротив хода часовой стрелки, если наблюдательLнаходится со стороны вектора п*.
Интеграл в правой части (П1.25)носит название цuрпу.л..вцuu вenmopavпо замкнутому контуру Г.П1.5. Ортогональные криволинейные координатыОбозначим черезf3iпараметры трех независимых семейств поверхностей, которые заданы уравнениями Д(х) =const, i = 1, 2, 3,где храдиус-ве~тор точки с координатами Xj в nрл.м.оуго.л.ьной систе.м.е ~оординат Ох1х2хз. Если через каждую точку пространства проходитодна поверхность из каждого семейства, то при условии, что л~обианdet(8f3i/8xj)#О,j= 1, 2, 3,положение этой точки можно однозначно определить тремя значениями параметровf3i,соответствующимиП1.5. Ортогональные криволинейные коорлинаты473трем проходящим через нее поверхностям и называемыми ее приволинейньши поординаmа.ми. Три линии пересечения nоверzносmей,называемых поординаmны.ми, которые проходят через эту точку,также называют поординаmны.ми.
Например, пересечение поверхностей /З2= constи /Зз= constобразует координатную линию fЗ1, вдолькоторой изменяется l!ишь координата fЗt.Выполнение условияdet( дfЗi/ дхj)f:. О позволяетрадиус-вектор любой точки представить в виде функции криволинейных координат, т. е.= дх/д/Зi параллелен касательной в этойточке к координатной линии /k В дальнейшем будем полагать, что расх = х(/Зt,/32,/Зз).
ВекторXiсматриваемые три семейства поверхностей всюду пересекаются междусобой под прямыми углами, т. е. три нормали к этим поверхностям влюбой точке взаимно перпендикулярны, а каждая нормаль касательнак соответствующей координатной линии, т. е. параллельна соответствующему векторуXi·С каждой точкой свяжем реперкриволинейных координат, ортыXi,ei{ei} систе.м.ыкоторого параллельны векторамнаправлены в сторону возрастания /Зi и образуют nравую тройкувекторов.
В этом случае криволинейные координаты называют орmогональньши, а модулиHj= lxjlвекторовXj-поэффициенmа.миЛаме.Отметим, что при переходе от точки к точке репер{ej} изменяетсвое положение, а его орты в общем случае изменяют направления в отличие от репера{ek}неподвижной прямоугольной системы координатОх1х2хз с ортами ek, k = 1, 2, 3. Так как Xi = ek ~~:, то(П1.26)где символlозначает <<не суммировать по i». Для функции 'Ф(/ЗI,/32,/Зз)iимеем dф = :: d/Зj = ;: dxi = dx ·'Уф= (xid/Зi) ·'Уф. Отсюда с учетом(П1.26) для градиента скалярного поля, заданного функцией ф, полуЧИМа дифференциадьный оператор Га.мuдьтона в ортогональных криволинейных координатах примет вид3'""' eiд'У= LН·t д/3··i=lt(П1.27)474ПРИЛОЖЕНИЕ1.ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫДифференцированием скалярного квадрата любого орта= 1, 2, 3) по f3i можно показать, что векторы дem/дf3i иem (т =em ортогональны.
Поэтому дem/дf3i = a)~ej + ai~ek, где j =/= k =/=т=/= j. Умножаяскаля:рно равенство дet/дf3t =а~i)е2+а~?ез на е2 и учитывая ортогональность векторов х 1 и х 2 , получаемпоскольку xi = Н[. Аналогично можно найти и все остальные коэффициенты а)~. В итоге, используя: двоiJ:н.ое векторное nроизведениеве-кторов, можно записать[79](П1.28)ДифференциалdSidsiдлины дуги координатной линииf3i,площадьэлемента координатной поверхности и элементарный объемвdVкриволинейных ортогональных координатах равны соответственноdV =гдеJ* =dSi = lHjHkdf3jd{3k, i =1= ji,j,kНtН2Нз df3t df32dfЗз = J* df3t df32 df3з,НtН2Нзv=i =/= j =/= k =/= iимеет вид [79] divv = '\1 · v=1=i,}(П1.29)щеi криволинейных координат, с учетом (П1.28) приже векторного поля:vik.нх:обиан. Дивергенция: векторного поля:, заданно-го функциейви- Чивиты,=1=-rot v= H,v, и= nvei =совпадающему с индексомi,анх= ].д(H~~kVi), а ротор тогоv = eijk 8~д{Jj ei,гдеeijk -си.мвоJtН,е,/ J*, причем по индексу с:;=Ле-1, 2, 3,суммирование не производится:.
Лаn.л.асu( дифференциа.~tьиый оnераторусловии i =1= j =/= v =/= i имеет видЛan.~taca) скалярной функции'ljJпри(П1.30)Орты е 1= erи е2= е'Рцtмuндричеспой систе.мы поордuкатимеют соответственно направления радиусов концентрических окружностей и касательных к ним, в то время: как орт ез= ezпараллеленП1.5. Ортогональные криволинейвые координаты475оси концентрических цилиндров. При совпадении начала этой системыс началом прямоугоJIЬной системы координат Ох1х2хз и выборе fЗ1= r,fЗ2 =ер и fЗз=z =хз, гдеr-=расстояние от оси Охз, а ер- угол,обычно отсчитываемый в плоскости х 1 Ох2 от оси Ох1, коэффициентыЛаме принимают вид Н1 =Hr = 1,Н2 = Н"' =r и Нз = Hz = 1.
Со1/J(r,ep,z) в этой системегласно (П1.30) лапласиан скалярной функциикоординат(П1.31)гдеr,ерnо.л.11рные поординаты проекции точки на поорди-натную n.лоспость х 1 Ох 2 , определяющие положение точки на этойплоскости в nо.~&.~Срной системе поординат;z=хз-аппликата,т. е. расстояние точки до этой плоскости.Орты е1= er,е2= ее и ез = er,pсфери-ч.еспой системы поординат имеют направления радиуса, касательной к меридиану сферы (наюг) и нормали к плоскости меридиана (на восток). При выборе fЗ1= r,(32 =(}и fЗз =ер (здесь r - расстояние от начала координат,(} Е [О, 1r]-полярное расстояние, т.
е. угол, отсчитываемый вдоль меридиана отсеверного полюса, и ер Е[-1r, 1r]-долгота) для коэффициентов Ламеимеем Н1 =лапласианHr = 1, Н2 =Не= r и Нз= Н"'= rsinO. В силу (П1.30)скалярной функции 1/J(r,O,ep) в этой системе координат\1 2 -ф = _!_2 ~ (r 2 д'lj;) +сr дrдr1~ (sinO д-ф)r 2sin (} д(}д(}21д-ф.r2 sin2 (} дер 2+(П1.32)Функцию, удовлетворяющую уравнению Лаnласа \7 2 -ф =О, называют гар.иони-ч.еспой. Леоднородное уравнение \1 2 -ф + f =О с заданнойфункциейfназывают уравнением Пуассона.Система ортогона.льныz поордuнат может быть образована совокупностью попарно пересекающихся координатных линий fЗ1== const и /З2 = const, принадлежащих векоторой поверхности S, задан0ной векторной функцией Х (/З1,/З2), и координатой /Зз, отсчитываемой внаправлении нормали к этой поверхности. ПоверzностьSназываютг.ладпой, если эта функция дважды непрерывно дифференцируема посвоим аргументам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
