Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 80
Текст из файла (страница 80)
е.n =nп* xt*. Принормали кh----+SLвекторы п*,t*иобразуют nравую тройку векторов,О интегралы поSLв(12.31) также стремятсяL 0 в точку М* дляк нулю, и при последующем стягивании контурапроизвольного направления касательного вектораt*при отсутствииповерхностных токов получаем[E·t*] =0,[Н·t*] =0.(12.34)12. МОдЕЛИ ЭЛЕКТРОдИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ442t•Рис.Условия{12.33)и{12.34)12.6справедливы в случае неподвижной относительно сопутствующей для точки М* ЕS*системы координат. Присравнительно медленном относительно этой системы координат движении среды векторы, входящие в(12.33) и (12.34), можно иреобразоватьв соответствии с (12.25). Из {12.25) следует, что если векторЫ скоростисреды на обеих сторонах поверхности S* перпендикулярны S* в точкеМ* Е S*, то не изменятся два последних условия {12.33), а если этивекторы касательны к S* в этой точке, то не изменятся первое условие{12.33) и условия (12.34).У становленные условия на поверхности разрыва дают полезнуюинформацию для корректной формулировки граничных условий припостроении ММ электродинамики в областях непрерывного измененияискомых функций и их производных.
В частности, изследует, что для уравнений Максвелла(12.10)(12.33)ив сочетании с(12.34)(12.11)на границе области можно задать проекции векторов D, В, j(e) нанормаль к этой границе и проекции векторов Е и Н на направлениекасательной к ней.12.4.Модели магнитной гидродинамикиПри построении .мате.м;ати'Ческих .моделей (ММ) .магнитной гидродина.м;ики обычно не учитывают электрическую поляризацию и намагниченность движущейся электропроводящей сnлошной среды[70],т. е.для векторов э.л.ектри'Ческого с.м;ещенu.н и .магнитной индукции принимаютD = t:oEи В= роН, где Е и Н- векторы наnрлженностиэ.л.ектри'Ческого и .магнитного nо.л.ей, а е 0 и р 0 -э.л.ектри'Ческал и.м;агнитнал nостолнные.
Кроме того, закон О.м;а представляют в га.л.и.л.еево.м; nриближении в виде третьего равенства(12.26).Тогда при12.4. Модели магнитной гидродинамикиподстановке этого равенства в третье уравнение443(12.28)получим1 дЕ'VxB =с? Тt + а(е) !Lo(E + vxB) + /LoPeV,где(12.35)диффере'Н:циа.л,ьный оператор Га.м.и.л.ьтона; Е'- вектор наV -пряженности электрического поля в сопутствующей систе.м.е х:оординат;время; с.= 1/ JfOiiOt --элех:три-ч.есх:ан проводи.м.ость; Ресх:ого зар.нда;сх:орость света в вах:уу.м.е; аСе) --объе.м.на.а плотность элех:три-ч.евектор скорости среды относительно инерциальнойv -систе.м.ы х:оординат.В случае сильно ионизированных газов электрическая проводимостьвелика и сопоставима с электрической проводимостью металлов.
Поэтому первым слагаемым в правой частипосравнениюсовторым,апристимо пренебречь и третьим слагаемым.Е'\lxB= _<_>_ - v х Ви енениеJJ,o(12.10)Тогда изсредыдопуследует(12.35)получим уравнение магнитной индупциидt =Vmможно пренебречъдвижениии после подстановки этого выражения в первое уравдВгде(12.35)медленном= 1/ (аСе) !Lo)-(12.36)Vx(vxB)- Vx(vm VxB),магнитная в.взпость, размерность которойсовnадает с размерностью х:ине.м.ати-ч.есх:ой в.нзх:ости среды.
Безразмерный nараметрRem = voLo/vm,гдеvoихарактерные дляLo -рассматриваемого процесса значения скорости и линейного размера,называют магнитным числом Рейнольдса. Причасти(12.36)Rem»1в nравойможно пренебречь вторым слагаемым.В случае внзх:ой сжи.м.ае.м.ой жидх:ости в nравую частьследует добавить слагаемое V · o-CD), где o-CD) nряжений,а вектор объемной плотности(12.27)тензор в.нзх:их насилы Лоренца в соответствии с принятым выше приближением j(e) = VxH представить ввиде Ь(L) = j(e)xB = (VxB)xB/J.Lo· Таким образом, с учетом равенства(VxB)xB=(В·1V)B- 2v(B·В)(86] зах:он сохранения х:оли-ч.ествадвижени.н примет форму1pdv = -Vp+ V. aCD) +Ь+ _!_(В· V)B- - -V(B ·В),dtJ.Lo2рогде р-плотность; р-давление; Ь-(12.37)вектор плотности объе.м.ныхсил (за исключением пондеро.м.оторных сил).Рассмотрим установившееся движение электропроводятей вязкой'Н.есжи.мае.м.ой жидх:ости плотностью р= const с прямолинейными .л,инин.м.и тох:а, что соответствует течению в трубах и каналах.12.
МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ444Положим, что векторыи В не изменяются вдоль линий тока,vдv1о х1, т. е. v = VJ е 1 ,которые считаем параллельными оси;:;-- =О,дВ1"-- =ОUXlи v2 = vз =О, где щ и Bi проекции этих векторов на оси Oxiпря.м.оуго.л.ьной систе.м.ы 't'>оординат Ох 1 х2 х3 с реперо.м. {ei}, i = 1, 2, 3.Тогда из (12.37) при Ь =О, учитывая (8.7), для несжимаемой жидкостиUX!получимдр*_1 (в2--+ав1 Вз-ав1) +f.LD (av 1+д- v-1 )-2дхtдх2f..Loдхз2дх~дх~'др* = 2._ (в 2 дВ2 + Вз ав2),дх2др*дхзгде р*дх2f.Lo(12.38)дхз2._ (в2 авз + Вз авз),=дх2f.Lo= р+В2+В2+В21232J.toдхз;J.LD -дина.м.ичеспая вяэ't'>ость жидкости.дВ2ав3Учитывая второе уравнение (12.28) в виде '\1 ·В= -дХ2+ -дХ3стваи равен-[86] '\1 х (v1 е1 х В)= '\1 х (VJ (В2ез- Взе2)) = ( В2 :~: + Вз :~:) е1'\1 х (vm '\1 х В) = -vт '\1 2В при Vm = const, из (12.36) получаеми(12.39)Функция 'Фт (х2, хз), определяемая соотношениямив2 = - д'Фт' Вз =дхзa'lj;m,(12.40)дх2тождественно удовлетворяет второму уравнениюи третьего уравненийа(12.39)д 2 1/Jтдх2 ( дх~+(12.28),а из второгоследуетд2 'Фтах~д) =д2 1/Jтахз ( дх~+а 2 'Фтах~ ) =О,т.
е.8 2 1/Jm-а2х228 1/Jm дВз дВ2+- =8 - -8- =ei·("VxB)=CmJ.to=const.8 2х3х2х3(12.41)Константа Cm в соответствии с припятым приближением j(e) / J.to == \lxB пропорциональна проекции j(e) = j(e) · е1 вектора j(e) на ось12.4.Модели магнитной гидродинамики445Ох 1 и должна быть задана с учетом граи.и-ч:н.ых условий при х1--t±оо.При течении жидкости в трубе или канале на контуре их поперечиого сечеи.и.н могут быть заданы значения проекциина направлениенормаликконтуру,черезкоторыеBnвектора Вможновыразитьграничные значения функции Фт и затем решить относительно Фтурав'Uеи.ие Пуассо'Uа, следующее из равенства(12.40)(12.41),что позволит изнайти В2 и Вз.Второе и третье уравнения(12.38)можно привести к видудр*= _1_(д(В~+В~) _ 2 в3 (дВз _ дВ2)),дх22J-Loдр* =_1_дхз2J-LoОтсюда с учетом=дх2дх2дхз(д(В~ +В§)+ 2 в2 (дВз _ дВ2)).(12.40)дхзидх2(12.41)дхзполучим ~:: = -Ст ( ~~:)-ст(~~7 ), илидр*и-=дхз(12.42)д*Так как В1, Фт и _дР (в силу первого уравнения (12.38)) не зависят отХ1д2р.д2рд2р*Xt, то -д2 =-д2 =-д2d2f= dx2=о.
Следовательно, f(xt)= CtXl + с2,xlxlxlIпричем константы С1 , С2 могут быть найдены из заданных граничныхусловий для давления р.Чтобы использовать(12.42)для нахождения давления, необходимопри известных В2 и Вз предварительно найти функции В1(х2,хз) иv 1 (x 2 ,x3 ) из совместного решения первого уравнения (12.38), положивд*_дР= С1,Х!и первого уравнения (12.39). Введя новые переменные Yl= vt + Bt/f3* и У2= v1- Bt/f3*' где {3*можно привести к видуду1= VJ-LoJ-Lv/vm, эти уравнения(70Jду1+ Вз-д+ {J*vmх2хзВ2-д2(д У1д у1)2-д2 +-д2х22ду2ду2(д у2х2хзх2х3Ylх3Ct*= J-Lo-{3 ,д2 у2)-В2-д -Вз-д +{J*vm -д2 +-д2т. е. функции=С1=J-Lo-{3,*и У2 можно найти независимо, если для каждой из нихзаданы свои граничные условия.Рассмотрим простейший случай течения с прямолинейными линиямитока между двумя параллельными плоскостями,которое может12.
МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ446быть вызвано или перепадом давления вдоль оси Ох1, или движениемсамих плоскостей (те-чение Куэтта). Ось Ох2 направим перпендикулярно плоскостям, расстояние между которыми2h.Пусть все входящиев последние уравнения функции не зависят от хз, В3=Во= const.=О и задано В2=Тогда эти уравнения принимают вид(12.43)Все остальные функции, характеризующие течение жидкости, можнои1+и2В{3.(yl-Y2)1 (дВ1)Jv1 = - 2- , 1 =' 1 = 1-'о2= {3.
д(уl- У2) И Ез = 1/m дВl + V1B2 = p,ovm ~+(С"+С")Во.12 21-'одх2дх2Во дх1выразить через У1 и У2:дх2=Для течения, вызванного перепадом давления, примем В1 =О при= ±h. Так как v1 = О при х2 = ±h, то и У1 = У2 = О. Тогда в (12.43)-,k2 hс1= С-'2=-k shkh' С-"1= С-"2=- С-'1сh(k1h) ивитоге11х2(12.44)э тоVlg~D и ввl' где G* = k1h =1~h,'ЧUСЛО Гарm.м.апа, характеризу-решение можно представить через безразмерные параметрыо{3Boh .vmющее соотношение между магнитными силами и силами вязкости.др1При k2 =---д/-'Dследует v]'(x2)--+= const и k1--+ О из первого равенства (12.44)Х!k 2 (h 22х 22 ),что соответствует частному случаю (8.42),а при достаточно большом значенииk1изменение скорости происходитв основном в узком слое, прилегающем к плоскостям х2=±h, ноприэтом v1(x2) < v]'(x2) (70]. В таком случае из первого уравнения (12.38)дрВо дВ1д 2 v1•~следует -д =--дJ.tv-д2 • Первое слагаемое в правои части этогоХ1/-'0Х2+Х2равенства, согласно второму соотношениюх2 --+ О и отрицательно при х2 --+±h,(12.44),положительно причто приводит к замедлению12.4.движенияжидкостиМодели магвитвой гидродинамикивцентральнойизменению скорости при х2--tчасти канала и447более резкому±h.Для течения, вызванного движением с постоянной скоростьюстенки канала при х2vo= h, примем на другой, неподвижной, стенке (приХ2 =О) в1 =В]_' адвl =о и V1 =о.
КР<>ме того, положим ддр = с1 =о. ПриXl-,С-'voС-"С-"Bf С-'этих условиях ~ _(12 . 43) k 2 = о , с2 = - 1 = sh k h , 1 = - 2 = (3. + 2Х21и в итоге(12.45)При отсутствии .магнитного nо.л.ястановится линейным:(k1--tО) распределение скоростиvf =v0 x 2 / h, что согласуется с соответствую(8.42). Наличие магнитного поля тормозитдвижение жидкости: v1(x2) < vf(x2), напряжение трения Т= J.LDddv 1 наХ2движущейся стенке возрастает, а на неподвижной падает.щим частным случаем вЕсли жидкость однородна, то зах;он сохранения энергии для рассматриваемого установившегося течения имеет видdv1/-lD ( dx2)22,(Т) --+d TVm (dB1--+лdx~J.todx2[70])2 = О,где .х<Т) и Т- теn.л.оnроводность и me.м.nepamypa жидкости соответственно. Отсюда с учетом(12.45)получими после интегрирования, (Т)Т( ) __лХ2 -J.Lvvб ch2k1x224sh k1h+ С1 + С2·Пусть движущаяся стенка имеет температуру Т00 • Тогда, если непоdТдвижная стенка идеально теплоизолирована, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
