Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Ясно, что а · Ь= Ь · а,дij =1приi = j и дij =От. е. скалярное произведение векторов обладает свойством по.м.мутативн.ости. Геометрически а· Ьсоответствует проекции вектора а на направление вектора Ь, умноженной на модульlbl,или наоборот.
Выражение а· а=ial 2называютспалнрн.ым пвадратом. При представлении каждого вектора матрицей-столбцом в матричной записи скалярного произведения опускаюттточку между сомножителями: а Ь=тЬ а.В данной книге использована nраван прямоугольная система координат, для которой репер является упорядоченной nравой тройпойнекомпланарных векторов: например, орт е1 можно совместить с ортоме2 поворотом на угол 71' /2 против хода часовой стрелки, если наблюдатель находится со стороны орта ез.В такой системе координатПРИЛОЖЕИНЕ4601.ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫвепmорн.ое nроизведен.uе векторов а= ajej и Ьтором с=является веках Ь с проекциямиCiгде eijk -= bkek= eijkajbk,i, j, k= 1, 2, 3,символ Леви- Чивиmы: eijk= 1, если перестановка индек= -1, если она нечетпая (132,совijk четная (123, 312 или 231); eijkили 321), и, наконец, eijk =О, если средиковые.
Тогда для ортов имеем ei = eijkej х ek,индексов есть одина213равенстве са векторы а, Ь и с в= ах Ь образуют упорядоченную правую тройку. Перестановка сомножителей изменяет направление векторного произведения напротивоположное. Геометрически модульlclравен площади параллелограмма, смежные стороны которого соответствуют векторам а и Ь.Ясно, что если эти векторы коллинеарны, то с=О.Отметим, что при выполнении вычислений могут быть полезныравенства бijбij= 3,eijkeijk= 6,eijkemjk= 2бiт,eijkemnk= дimбjn -- бinбjm·Скалярное произведение двух векторов, один из которых являетсявекторным произведением, называют с.мешан.н.ы.м nроизведен.ие.мтрех векторов:где Л> О и равно объему параллелепипеда, построенного на векторахсомножителях, если векторы а, Ь и с образуют упорядоченную правуютройку.
Отметим, что при совпадении двух сомножителей это произведение равно нулю.Векторное произведение двух векторов, один из которых являетсявекторным произведением, называют двойн.ы.м. Оно равно векторуw=ах (Ь х с)= (а· с)Ь- (а· Ь)с,(П1.2)лежащему в плоскости векторов Ь и с.Пусть наряду с прямоугольной системой координат Ох1х2хз, определяемой репером{ej },задан второй репер{еас ортами е~, определяющий прямоугольную систему координат О'х~ х~х~ с началом в точкеО'. В этой системе координат вектор (П1.1) имеет вид(П1.3)Если умножить (П1.3) скалярнона орт е~, то найдемх~ =е~· х =е~·где йij = е~ · ej -ejXj= aijXj,илих' =Ах,(П1.4)элемент .маmриць& А nоворота репера при переходе от системы Ох1х2хз к системе О'х~х~х~, являющийся проекциейПl.l.
Основвые операции над векторамиорта е~ на ортортами; х'-ej(и наоборот) и равный косинусу угла между этимиобозначение вектора х с координатами х~ при иреобразовании его координатортej,461Xjсогласно (П1.4). Умножив (Пl.З) скалярнонаполучимили,.х = Вх',(П1.5)гдеВ-матрица обратного перехода от системы О'х~х~х~ к системеОх1х2хз, содержащая элементы /Зij =ei · ej =D'ji· Но так как, согласно(П1.4), в матричной записи х =А - 1 х 1 , то из сопоставления с (П1.5) следует В= А - 1 =А т, т.
е . .матрица А - 1, обратн.а.н матрице А, равнатран.сnон.uрован.н.ой .матрице А т по отношению к матрице А.Элемент aki= ek · eiцию единичного вектораматрицы А можно рассматривать как проекei прямоугольной системы коорXi в этой системе определяют точкуМ Е So, лежащую на поверхности So сферы радиусом ro = 1.
При этомek является единичным вектором внешней нормали к So в точке М Е So.Найдем среднее на этой поверхности значение произведения XiXj, т. е.ekна ортыдинат Ох1х2хз. Его координатыгдеnj = Xj -проекция на осьOxjединичного вектора внешнейнормали к So в точке М Е So, а символ Х означает <<не суммироватьпоk>>.где VokТогда, используя теоре.му Остроградс~ого- Гаусса, получаем= 47Гr5/З-объем, ограниченный сферой площадью So = 41Гr5.Аналогично при усреднении элементов матрицы В(П1.6)Переход от прямоугольной системы координат Ох1хzхз к системе О'х;х~х~ можно осуществить тремя последовательными поворотами координатных осей, определяемыми тремя эйлеровы.м.u углами.
(рис. Пl.l), и затем переносом точки О в соответствии с векторомr'------t= 00'.Угол npeцeccuu 'lj; задает положение относительно оси Охзлинии О N пересечения плоскостей х1 Oxz и х; Ох~, называемой лuн.uей узлов. Угол н.утацuu ()определяет взаимное положение осей ОхзПРИЛОЖЕНИЕ4621.ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫРис. Пl.lи Ох~, а угол собственкого вращекuн <р -линии узлов и оси Ох~.Отсчет всех углов ведется в положительном направлении (против ходачасовой стрелки, если смотреть с конца оси, перпендикулярной плоскости угла).Пусть при переходе от системы координат Ох1х2хз к системеОх~ х~х~ перед первым поворотом на угол ф вокруг оси Охз орты eiи е~ с одинаковыми номерами совпадают, а после поворота орты е~ ие~, оставаясь еще в плоскости х 1 0х2 , примут направления единичныхвекторов (см.
рис. Пl.l)n1 =е1 соsф+ e2sinфсоответственно. Второй поворот на угол() Еиn2 =(0, 1r)е2соsф- е1 sinфвокруг линии узлов+переводит вектор n2 в положение n = n2 cos ()ез sin (), а орт е~из его исходного положения в его конечное положение е~ = е 3 cos О 1- n2sinO, определяющее искомое направление оси 0 х~. Векторы n 1 иn 1 определяют плоскость х~Ох~.
Их поворот на угол tp Е (0, 211") вокругэтой оси дает искомые направления ортов е~ = n 1 cos <р + n 1 sin <р и е~ == n 1 cos tp- n1 sin tp. Используя приведеиные соотношения, можно найтиэлементы матрицы А поворота репера [84]:1а11 =е~· е1 = costp соsф- sin<p sin ф cosO,at2 = е~ · е2 = cos <р sin ф + sin <р cos ф cos (),а1з=1е1· ез =•• ()sш<р sщ,а2 1 =е~· е1 = -sin<p соsф- cos<p sin ф cosO,а22 =е~· е2 = costp соsф cosO- sin<p sin ф,а2з=1е2• ()· ез = cos <р sщ,аз1 =е~· е1 = sinф sinO,аз2 =е~· е2 = - соsф sinO,азз =е~· ез = cosO.Пl.l. Основные операции над векторами463Следует отметить, что при е= О или е= 1r ось узлов и углыне определены, а определена лишь их сумма'ljJ +ер.'ljJи ерВ этом случае наборэйлеровых углов можно видоизменить, задавая положение оси ох; неотносительно оси Ох3 , а относительно оси Ох 1 или Ох2.Возможен поворот осей в другой последовательности: е1-tез-tе2(рис.
П1.2). В этом случаео:н =е~ · е1 = cose2 соsез,0:12 =е~· е2 = cose1 cose2 sineз + sine1 sine2,о:1 3 =е~· ез = sine1 cose2 sin8з- cose1 sine2,0:21 =,·е2. ез,= -Sinе10:22 =е~· е2 = cose1 соsез,(П1.7)о:2з =е~· ез = sine1 соsез,о:з1 =е~· е1 = sine2 соsез,о:з2 = е~ · е2 = cos е1 sin е2 sin ез - sin е1 cos е2,о:зз = е; · ез = cos е1 cos е2 - sin е1 sin е2 sin ез.При перемещении репера{ei}вдоль пространствеиной кривой так,чтобы один из ортов (пусть для определенности е1) оставался касательным к ней, происходит поворот репера.
Производную ортаподлинеsдугиvкривоипредставимгде Kij -=ввидеразложенияdeiа:;=eiKijej,элементы матрицы третьего порядка. Так как ei · ej =de·дij, то с учетом равенства ei ·= ei • Kjkek = Kji можно записатьd( е ·е·)1'ds-- е·1d;de 1·· dsde+ еJ· · ds' --кососимметрической (кij=+ ""· · -"" ·· '" 13 - О ' т · е · эта матрица является'"3 1-Kji) и вместо нее можно рассматриватьвектор (см. П1.2) к,= Kiei, где K i - проекции этого вектора на напра-х'3Рис.
П1.2ПРИЛОЖЕНИВ4641.ВЕКТОРЫ ИТЕНЗОРЫвления ортов ei. Тогда(П1.8)и для произвольнога вектора а= ai eiполучим(П1.9)Если орты е2 и ез направить соответственно вдоль главной нормали ибинормали, то из (П1.8) следуют фор.му.л.ы Серре-Фрепе[47]:где к и Rк- кривизна и радиус кривизны пространствеиной кривой-соответственно, а к= ке 1+ ке 3кручение этой кривой.В этом случае к=называют вепmоро.м Дарбу. Для плоской кривой к= О, адля прямой к= к= О.П1.2. Понятие тензораТепзоро.мD panzaК называют геометрический или физическийобъект, характеризуемый совокупностью величинот К индексовik= 1, 2, 3,k= 1, К,Di 1 ... iк,зависящихпри условии, что эти величиныпри переходе от систе.мы 'К:оординат Ох1х2хз с реперо.м ei к системеО'х~х~х~ с реперомej (i, j= 1, 2, 3) и обратно изменяют свои значенияв соответствии с равенствами (с учетом правила су.м.мирования поодина'К:овы.м инде'К:са.м)гдеCti 1 j1= ...
=Ctiкjк= Ctij = ei1 · ej-элементы .матрицы поворота ре-пера. Эти величины называют no.мnonenma.мu menзopa. Строго говоря, данное определение относится к так называемым ортогональнымтецзорам, рассматриваемым в прямоугольных системах координат.Так как ранг тензора равен числу индексов при записи компонентэтого тензора,то скаляр и вектор можно условно считать тензораминулевого и первого рангов соответственно.Тепзору второго рапга fi можно поставить в соответствие матрицу D третьего порядка с элементами Dij, совпадающими с соответствующими компонентами тензора. В этом случае можно говоритьо mран.сnопuроваппо.м menзope""ТD ,соответствующем траиспоии-П1.2. Понятие тензора465ровшн:н.ой .матрице Dт с элементами Dji, и об обраmн.о.м. mен.зореfi-l,соответствующем обратной .матрице D- 1.Очевидна аналогия между определением компонент тензора второго ранга и вычислением произведения матрицы-столбца и матрицыстроки:Dtз)D2з=D.DззЕсли Dij = aibj являются компонентами тензора второго ранга~D= aibjei ® ej = Dijei ® ej,fi,то(П1.10)где символ® обозначает операцию дuадпого у.м.н.ожепu.н вепmоров(результат этой операции называют дuадпы.м.
nроuэведен.uе.м. вепmоров). Наличие в (П1.10) сомножителейei и ej подчеркивает связькомпонент этого тензо~а с выбранной прямоугольной системой координат, имеющей реперei'·Преобразование компонент этого тензора припереходе к системе координат с репером е~ имеет видi, j, k,т=(Пl.ll)1, 2, 3,и является частным случаем приведеиного выше преобразования длякомпонент тензора ранга К.Компоненты тензора второго ранга неизменяют своих значений при смене направлений всех координатныхосей, поскольку в этом случае в (П1.11) aki= Ojm = -1.Отметим, чтотаким свойством обладают компоненты любого тензора четного ранга.Тензор называют сu.м..м.еmрuчпы.м. относительно пары индексовего компонент, если он не изменяется при их перестановке, и апmuсu.м..м.еmрuчн.ы.м., если при перестановке этих индексов его компоненты меняют знак.
Так, тензор второго ранга fi симметричен, если Dij = Dji, иантисимметричен, еслипонентамиDijDij = -Dji·Любой тензор второго ранга с комможно представить суммой симметричного и антисим-1+метрячного тензоров того же ранга с компонентами D(ij) = (DijDji)21и D<ij> = (Dij- Dji) соответственно, причем первому будет отвечать2симметрическая матрица третьего порядка,а второму- кососимметрическая с нулевыми элементами на главной диагонали.Антисимметричному тензору с компонентамивить в соответствие вектори dзdс компонентамиD<ij> можно постаdt = D<23>, d2 = D<Зl>= D<l2>• и, наоборот, вектору d с компонентами dk соответствует466ПРИЛОЖЕНИВВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ1.антисимметричный тензор с компонентамигдеeijk -D<ij> = eijkdk, k = 1, 2, 3,cu.м.вoJt Леви- Чивиты.Cu.м.вoJt Кроие-кера бij определяет компоненты едини-чного тен.зора второго ранга l2 = бij ei 0 ej, i, j = 1, 2, 3, которому соответствуетединичная матрица третьего порядка. В _!lекоторых приложениях удобно симметричный тензор второго рангаDij представлять суммой шарового тен.зора fio = D i2 с компонентами D 0 бij,где D 0 = Dkk/3, и девиатора D* с компонентами Dij = Dij- D 0 8ij·Dс компонентами0Шаровому тензору соответствует диагональная матрица третьего порядка с элементамиD0на главной диагонали.Так как симметрическую матрицу можно привести к диагональному виду с действительными ~ементами на главной диагоналито и симметричный тензорD[151],второго ранга поворотом координатных осей можно преобразовать в тензор с компонентами D~j = Лkбij,= 1, 2, 3,i, j, kгдеAk -действительные собственные значения соответствующей симметрической матрицыDтретьего порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
