Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Для диэлектрика, не проявляющего пьезамагнитныхсвойств, FijТ::) =О, и при отсутствии магнитного поля (В= О) второеравенство\12.53)с учетом(J"ij =(12.55)можно представить в видеcШtekt - !3t) дТ + Fi~~) Ek,(12.56)( е)(е) р(е)1 2 3сijkl= Сijkl - ео р(е)ijmXms skl, т, s = , , , - компоненты nьеэоэлепmрuчеспого mен.эора поэффuцuен.mов уnругости; {3~) =где(e) (е) N(e)= /3i j - ео F ijmXmss ;Fijknдоnроводностиследует дополнить слагаемыми ToNk----ft:-, по-(5.18)(Е)(е)= ео р(е)ijmXmk"являющимися при подстановке в(4.22)Левую часть уравнения те-первого равенстваар<е)(12.53).Для большинства диэлектриков можно иренебречь собственной намагниченностью [90], т.
е. допустимо положить M'(m) =О и не рассматривать четвертое равенство(12.53), хотя, согласно (12.25), в инерциальной СИСТеме КООрдинат 0ХtХ2ХЗ ДЛЯ таких диэлектрИКОВ М(е) == p(e)xv.Рассмотрим продольные колебания пьезоэлектрика в виде полосыдлинойh,Lс прямоугольным попере-чны.м се-чение.м шириной Ь и высотойпричемL» Ь»h(рис.12.7).Примем, что ориентация однород-12. МОдЕЛИ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕдЫ454Рис.12.7ной пьезоэлектрической структуры материала nолосы произвольна, нокомпоненты тензора деформации зависят только от продольной координаты х1 и времениt.Поверхности полосы при хз= ±h/2 покрытыэлектродами, соединенными с источником переменнога электрическогонапряжения с ~руг.овой ·ч.астотой ~о.л.ебаиийw,создающего в полосеэ.л.е~три'Чес~ое по.л.е, вектор напряженности которого имеет лишь одну проекцию Ез= E coswt,0Е0= const [90].Все боковые поверхностиполосы свободны от механической нагрузки.
Поэтому, если Т= То, то,согласно (12.56), стi2 = Ci~klgkl + Fi~JEз =О при х2 =О и х2 = Ь, а стiз == C~klgkl + Fi~JEз =О при хз ± h/2.ПосколькуL>> Ь и L >> h,можно положитьO"i2 = 0"2i =О"iЗ= О"Зi =Ово всем объеме полосы, т. е. от нуля отлична лишь одна компонентатензора напряжений стн = ci~tlgkl + FifJ Ез. Отсюда следует, что этаt, и с учетом (12.56) можно записатькомпонента зависит только от х1 и-где Ul - проекция ве~тора пере.м.ещеиин на ось Oxl; sl~ij компоненты тензора, обратного тензору с компонентами c};l1• Таким образом,стн18и1= - - - - - d0 coswts(e) ОХ!1111do = _EoS(e) р(Е)llijij3s(e)1111'(12.57)В этом случае уравнение движения в проекции на ось Ох 1 при22(е)u1u1aнимает вид 60.!1.'Н.О60С.О уравиеиин ВннР аt2нородного материала полосы коэффициент= aа х 2d01'поскольку для од-не зависит от х 1 .
Приг.ар.м.оиu"Чес~их ~о.л.ебаииях напряженности электрического поля решение этого уравнения будем искать в видеj(x1)u(x1, t) = j(x1)coswt.Функциядолжна удовлетворять обыкновенному дифференциальному урав-12.5. Модели электромагнитных процессов в деформируемой среценению2dd~ + w 2 S~~)11 pf =О, общим решением которого будет~xl455f(xi)=где kt = wy s~~;IP· Если к торцам полосы не= Al sinklXl + A2cosklx1,приложены механические нагрузки, то ин= О при х1 =±L/2.Тогда сdoучетом (12.57) имеем А1 = k cos(klL/ 2 ) и А2 =О. В итоге получим1иt(XI,t)Так какk1L2cos- =при значениях w =О при=do(12.58)k L sink1x1 coswt.k1cos12k1L(2n- l)1r=,22-nЕN,то резонанс возникнет(2n -1}7r ( (е) ) -1/2LSннР·Если считать процесс колебаний адиабати-чес'/СU.М и иренебречьтеплопроводностью, то, учитываяв(5.18),(12.55)и дополнительные слагаемыепри В= О получаемгде Ni(E) = е: 0 х~;) N?).
Отсюда, полагая, что начальному моментувремени t = О соответствует естественное состояние системы, находимТ(х1, t)То/3~) E:ij + Ni(E) Ei= 1-ре~+ ToNke) NkE).Для рассматриваемого одномерного случая с учетомT(x1,t)Тоогде d =(12.58)запишем(/3~~)Jocosk1Xl +N~E)E 0 )coswt= ре~+ ToNke) NkE)'1docos(klL/2) ·Некоторые пьезоэлектрики являются полупроводuu'/Са.ми (например,кристаллы германияGaAs [90]).106, 108].Ge,сульфида кадмияCd Sи арсенида галлияБолее детальные ММ пьезоэлектриков представлены вДля проводников обычно принимают[90],[62,что они не поляризуютсяи практически не намагничиваются, а также не содержат свободных12.
МОЛЕЛИ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ456электрических зарядов.Тогда уравнения Максвелла(12.10)можнозаписать в видеПри движении проводника, определяемом векторным полем скоростиv(x, t),где х-радиус-ве'Х:тор точки в пря.моугольной систе.ме 'Х:Оординат Ох1х2хз, вместо Е и Н в галилеевам приближении, согласно(12.25), следует рассматривать Е'= E+vx(J.LoH) и Н'= Н- vx(€oE)соответственно.В данном случае в правой части равенства(12.49),являющегосяуравнением, движения, вектор Ь(ет) следует заменить вектором b(L) == j(e) х (J.LoH) объемной плотности силы Лорени,а, а равенство (12.50),являющееся уравнением, переноса энергии, примет вид(12.60)При взаимодействии с внешним магнитным полем конструкций в видестержней,ников,пластинок и оболочек,выполненных из упругих проводвозможна потеря устойчивости положения равновесия такихконструкций[5].Можно показатьтрическогозаряда[90],ичто взаимосвязанные процессы переноса электеплотыдляизотропногоматериалапроводника в линейном приближении описываются зависимостями j'(e) == стС е) (Е' - ко \JT) и q = -Л (Т) \JT + 1roj'( е), где стС е) - эле'Х:три'Чес'Х:аяпроводи.мость; Л(Т) - теплопроводность материала; ко и 1ro - коэффициенты, связывающие соответственно перенос электрических зарядов с градиентом температуры и перенос теплоты с электрическимтоком.
Тогда, добавляя в (5.18) слагаемое q~), получаем для изотропного проводника уравнение теплопроводностигде Л иJ.L-'Х:Онстанты Ла.ме.Некоторые металлы (например, алюминий, бериллий, золото, медь,серебро [148]) имеют столь высокое значение стСе), что их можно считать идеальиы.ми nроводиипа.ми, т. е. при построении ММ можнопринять стСе)q~)--t оо.Тогда, согласно за'Х:ону О.ма j'(e) = стСе) Е', величина·Е' будет конечной при условии IE'I--t О, что в соответствии сHxvравенством ( 12.25 ) приведет к соотношению Е= Bxv = - - .=j'(e)первым/-!О12.5.
Модели электромагнитных процессов в деформируемой средеВ этом случае первое уравнение(12.59)принимает вид= д:. Если в третьем уравнении (12.59) принять, что457'\lx(Hxv) =lj(e) 1» fo 1~~ 1,то получим Ь(L) = J-to('\lxH)xH и вместо уравнения (12.48) запишемр~~ = '\1· u + Ь + JLo('\lxH) хН.Для ферр_s>магнетиков характерно почти полное отсутствие поляризации, но существенным фактором является намагничивание, причемв соответствии с (12.25) M'(m) = м(m). Некоторые ферромагнетики(например, железо, никель и кобальт) одновременно являются и проводниками. Среди практически непроводящих ферромагнетиков можноотметить ферриты и иттрий-железные гранаты[90].При построенииММ упругих неполяризующихся ферромагнетиков во всех равенствах(12.53) следует положить равными нулю проекции вектора р(е) накоординатные оси.Сложность этих ММ связана с необходимостьюучитывать нелинейную связь намагниченности с напряженностью магнитного поля (см.12.1)и наличие распределенного по объему сплошнойсреды момента пондеро.м.оторных сил, приводящего к несимметричности тензора напряжений.Приложение1.ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫМеханика и электродинамика оперируют физическими величинами,которые не зависят от выбора сuсmе.мы noopдuнam, применяемойдля их описания.Математически эти величины являются скалярами, векторами и тензора.м.и.
Без потери общности устанавливаемыхзакономерностей свойства векторов и тензоров удобно описывать в де'Картовой пря.м.оуго.л.ьной систе.м.е 'КОординат, тогда как скаляр определяет физическую величину (например, плотность, температуру, работу, энергию, электрический заряд), задаваемую только ее численнымзначением в любой системе координат. Вектор является более сложным математическим объектом по сравнению со скаляром и не толькообладает неотрицательным численным значением модуля, но и имеетнаправление. Понятие тензора как еще более сложного математического объекта можно ввести при помощи операций над векторами.Пl.l. Основные операции над векторамиВекторы принято обозначать латинскими или греческими буквами,набранными полужирным курсивом (например, а, ж, а,~).
В проекциях на прямолинейные оси выбранной систе.м.ы 'Координат, называемойдепарmовой, вектор в трехмерном пространстве записывают в ВИде3ж= LXiei,(Пl.l)i=lгдеe i - единичные векторы, задающие направления осей этой системы координат. Проекции вектора обычно обозначают той же буквой,что и вектор, но набранной светлым курсивом и снабженной латинскиминдексом (в (Пl.l) индексi у проекций Xi), принимающим целочисленные значения, которые соответствуют номеру координатной оси,обозначаемой латинской буквой, набранной прямым светлым шрифтом(например, Xi)· Тогда декартова прямоугольная система координат сначалом в точке О может быть обозначена как Ох1х2хз. Если ж(М)-paдuyc-вenmop точки М, определяющий ее положение в пространствеи имеющий начало в точке О, то его проекции являются координатамиXi(M)точки М в указанной системе координат. Значения проекцийвектора зависят от ориентации системы координат и поэтому не являются скалярами.
В выбранной системе координат радиус-вектор можно459Пl.l. Основные операции над векторамипредставить матрицей-столбцом и, используя си.мвол тран.сnон.ирован.ин (-)т, записать х = (xl х2 хз)т или хт = (xl х2 хз).Векторы ei (i = 1, 2, 3) вместе с точкой их приложения образуют репер {ei} системы по ординат. Если они взаимно перпендикулярны,то их будем называть ортами, а систему координат- департовойnрнмоугольн.ой или для краткости просто nрнмоугольн.ой. В этойсистеме координат модуль вектора (П1.1)lxl =Jx~ + х§ + х5.При записи выражений в виде суммы произведений величин, имеющиходинаковыенижниелатинскиеиндексы,опускать, принимая nравило су.м.мирован.индепса.м.х= Xi ei,знакnoсуммыможноодин.аповым ин.Например, согласно этому правилу (П1.1) принимает видlxl =а модуль этого вектораyГxixi.
Корректной в общем случае является запись произведения величин с индексами, в которой ниодин из индексов не встречается более двух раз. Индексы, по которымведется суммирование, называют н.емыми, поскольку их обозначение,не совпадающее с обозначениями остальных индексов, не влияет на результат.При сложении двух векторов проекция их суммы на каждую оськоординат является алгебраической суммой их проекций на эту ось.При умножении вектора на число умножают на это число его проекциюна каждую ось координат.Умножение вектора на О дает нулевойвектор О.Спалнрн.ым nроизведен.ием векторов а= aiei и Ь = Ьjej= 1, 2, 3)является скаляр а· Ь =lallbl cosO,(i, j =гдеО-угол между векторами, или в проекциях на оси прямоугольной системы координатгде дij = ei · ej присu.мвол Крон.епера:i =1= j.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
