Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Векторы х~= д:t0/дfЗn(n = 1, 2)совпадают по направлению с касательными к соответствующим координатным линиями определяют единичный векторсти в ее точке М ЕSжожоn = lж~l х lж~l нормали к поверхно-с криволинейными координатами fЗn· Кривуюпри пересечении поверхности плоскостью, параллельнойn,называют нор.иа.льны.и се-ч.енuе.и nоверzности в этой точке. Кривизнук, этой кривой считают положительной, еслиму нормальному вектору кривой[47].Известноnсоваправлен главно[52],что при поворотеПРИЛОЖЕНИВ476этого сечения вокруг вектораn1.ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫвеличина к достигает своих максимального и минимального значений, называемых главны.мu прuвuзна.мunoвep~нocmu, а ее нормальные сечения, называемые лuкu.S".мu прuвuэкы в точке М ЕS,ортогональны.Если в каждой точке М ЕSв качестве координатных линий fЗnвыбрать линии кривизны, то криволинейные координаты станут ортогональными.
С этой точкой свяжем репер{ej} с nравой тройкой= ~J./H}, е2 = ~2/Н2 и ез = n, гдекривизны nоверхности в точке М Е S обоединичных векторов- ортов е1Н~= lx~l- Если главныезначить к 1 (М) и к 2 (М), то в этой системе координат (П1.28) nриметвид[112]де1дН2 е28{32дfЗt Н}де2дН} е1д/31дfЗ2 Н2-=----,-=----,а остальные nроизводвые будут равны нулю.ординатами rзj соответствует радиус-вектор х(Пl.ЗЗ)Любой точке с ко= Х0+ fЗзез.Дифференцируя его по этим координатам с учетом (Пl.ЗЗ), находим Xt== H}(l + кtfЗз)еt, х2 = Н2(1 + к2fЗз)е2 и хз = ез, т. е.
в рассматриваемойсистеме координат для коэффициентов Ламе получаемHl= H}(l + Кt/Зз),д2е1 2н2= Н2(1 + К2f3з),Нз= 1.(П1.34)д2еИз тождества д{З д~ = д{З д~ следуют условu.S" Кодаццu2 1называемое условием Гаусса. Эти условия должны выполняться вкаждой точке гладкой поверхности.Приложеине 2. ДВОЙСТВЕННЫЕВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫКоличественнЬl'Й анализ .м.ame.мamu'ЧeC'I\:UX .м.оде.л.ей (ММ) механикииэлектродинамики,описывающихреальныепроцессы,частонеудается провести точными аналитическими методами. Поэтому возникающие на практике задачи обычно приходится решать приближенно,главным образом численными методами. Приемлемые с практическойточки зрения приближенные методы должны не только давать необходимую информацию о рассматриваемых процессах, но и обеспечиватьоценку достоверности этой информации, устанавливая возможные границы возникающей погрешности.
Основой разработки таких методовможет быть двойственна.н вариационна.н фор.м.а ММ, содержащая два фу·нхцион.а.л.а, которые достигают в своих стационарных то'Ч'1\:ах на истинном решении задачи альтернативных эхетремумов (минимума и максимума), совпадающих по значению. Эти функционалысоставляют математическую формулировку двойственного вариационного nринциnа для рассматриваемой ММ, и их принято называть а..iьтернативны.м.и. По разности их значений, полученных наприближенном решении задачи, можно объективно проконтролироватьего близость к истинному решению и оценить средне'Х:вадраmu'Чн.ую nогрешность. Кроме того, значения этих функционалов на приближенномрешении позволяют оценить сверху и снизу некоторые важные интегральные характеристики рассматриваемых процессов (см.5.4, 7.5).П2.1.
Операторное и вариационное уравненияПусть И иW -некоторые множества. Если они наделены пекоторой струl{турой, например, являются фунпциона..iьны.м.и nространства.м.и (линейными, нормированными и т. п.), т. е. их элементамиявляются функции, то обычно отображение А: И ---+раторо.м.[21].Wназывают оnеПри действиях с операторами используют терминологию, связанную с отображениями множеств. В частности, И называютобластью оnределени.н оператора А и обозначаютD(A),а подмножество R(A) ={/Е W: 3u ЕИ (/=А( и))}- областью значенийоператора А.Если заданы операторы А: и - tнекоторые множества, аR(A)сw и В: wl - t v, где и, w, WI, v-D(B) = W 1 ,оnераторов В о А с областью определениято говорят о по.м.nозицииD( В о А) = U.Если включе-478ПРИЛОЖЕНИВ 2.
ДВОЙСТВЕННЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫR(A) С D(B) не имеет места, но R(A) n D(B) '::/= fZJ, то композициюD' С И,таком, что для любого и Е D' элемент А( и) Е D(B).Оператор Iu: И---+ И, который переводит любой элемент и Е Иниеоператоров В о А можно определить на более узком множествев себя, т. е. Iu(и) =и, и Е И, называют тождественным.каждому элементуЕслиfЕ R(A) отвечает единственный элемент и Е D(A),W, R(A) = W, называют взаимно однозначным.для каждого f Е W существует решение, и притомто оператор А: И---+Это означает, чтоединственное, уравненивА( и)=(П2.1)j,называемого оnераторны.м. Если оператор А: Иw---+---+ W является взаимно однозначным, то оператор А- 1 :и, удовлетворяющий условиюА- 1 (!) =и тогда и только тогда, когда выполнено (П2.1), называютобратным оператору А.
При этом D(A- 1 ) = R(A) и R(A- 1 ) = D(A).Комnозиции оnераторов А- 1 о А= Iu и А о А- 1 = Iw являютсятождественными операторами, иреобразующими любой элемент множества И илиWв себя[21].Примером взаимно однозначного оператора является линейное иреобразование линейного (векторного) пространстваIRnв себя, имеющеев пекотором базисе невырожденную матрицу. В этом случае обратномуоператору в том же базисе будет соответствовать обратная матрица. Произведение невырожденной матрицы на обратную ей равно, какизвестно, единичной матрице, которая соответствует тождественномуоператору.Диффереициа.л.ьиую фор.м.у .м.ате.м.ати-чес-х:ой .м.оде.л.и (ММ) можнопредставить в виде (П2.1), где и ЕD(A)иfЕR(A)-соответственно искомая и заданная функции (в общем случае векторные), а Адифференциа.л.ьный оnератор, предписывающий определенные действия (в том числе и дифференцирование) над искомой функцией и иопределяющий -х:раевую зада-чу поиска этой функции.
Оператор А отражает свойства исследуемого объекта, и его область определенияD(A),как правило, является бесконечномерным линейным нормированнымфунпциона.л.ьным nространство.м, т. е. оно удовлетворяет аксиомам линейного пространства[51]и каждой функции и Ено в соответствие действительное число 11 и 11 ЕIR,D(A)поставленазываемое нормойфункции (или элемента этого пространства) и удовлетворяющее тремусловиям (аксиомам нормы):1) llиll ~О, причем llиll =О тогда и только тогда, когда и= О;2) llo:иll = lo:lllиll, о: Е IR;3) llи+vll ~ llиll + llvll, и, v ЕИ (неравенство треуго.л.ьнипадлянормы).П2.1.
Операторное и вариапионное уравнения479Множество Х С И называют всюду плотны-м в нормированном пространстве И, если для любого элемента и Е И и любого числа€>О найдется такой элемент и' Е Х, что \\и- и'\\< €. Последовательность{ иn}функций ип Е И называют фунда-ментальной ( nосдедоватедьностью Кошu) в нормированном пространстве И, если длялюбого числа € >О можно указать такое числот>N и n > N верно"'Неравенство \\иm- ип\1 <N€.Ечто при всехN,В том случае, когдаn ~ оо имеетлюбая фундаментальная последовательность {ип} припредел и* Е И, говорят о nодно-м нор-мированком (или банаzовом)nространстве. Если такое пространство бесконечномерное и нормав нем введена при помощи операции сnал.llркого умкожекuJl функций(21],то пространство называют гuдьбертовым и обозначают'Н. Скалярное произведение функций и,Е 'Н обозначим (и,vv).Норма функции и Е 'Н в гильбертовам пространстве связана со сх:адлрны.м.х:вадрато.м.
(и, и) равенством \\и\\= J(и, и).Например, гильбертовым пространством является множествоL2 (V)действительных функций, суммируемых с квадратом в области V СС JR 3 [21]. В L2(V) операцию скалярного умножения векторных функцийf(M), g(M)Екоординат точки М ЕL 2 (V)f(f, g) =вводят соотношениемV(П2.2)f(M) · g(M)dV(M),vа квадрат нормы функцииw(M)\lw\1 2 =(и, w) =ЕL2(V)определяет интегралJ2(П2.3)(w(M)) dV(M).vГоворят, что оператор А действует в линейном пространстве ~.если ижествоD(A)D(A)С ~. иR(A)С ~.При этом предполагается, что мновсюду плотно в 'Н..
Если приполняется условие А(f31и1+ /З2и2) =называют дuкейкым. Если (А( и),/З1А(и1)v)=(и,JR,и1, и2 Е~ вы+ /З2А(и2),то оператор Аf3t,fЗ2 ЕA(v)),и, Ь ЕD(A),то линейный оператор А называют сuмметрu-чеспuм. Симметрическийоператор А nодожuтедькый, если (А( и), и)~ О для любого элемента и ЕD(A),причем (А( и), и)= О тогда и только тогда, когда и= О.При (А( и), и)~ г 2 \\и\\ 2 , и Е D(A), 1 =/=О, положительный оператор Аназывают nодожuтедько оnредедеккым.ОператорJ:И~JR,гденазывают фунпцuокалом.R -множество действительных чисел,Любая функция и ЕD(J)~И являетсядоnустимой фукпцuей для данного функционала, который обычнообозначают J[и].
При выполнении условияJ[f3IUJ+ fЗ2и2] =/З1J[щ]++ fЗ2J[и2], /31, /З2 Е JR, UJ, и2 Е~. функционал J(и] называют дuкейкым.ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ДВОЙСТВЕННЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИЛЫ480Если ио ЕD(A)-решение оnераторного уравнения (П2.1) с линейнымnоложительным оnератором А, то значение J[ио] является наименьшим для пвадраmичного фунпциона.аа J[и] =(А( и),на множествеD(J)всех доnустимых функций[19).u) /2- (u,!)Вместо того чтобы решать оnера торное уравнение; можно искать наименьшее значениесоответствующего функционала. Однако трудность состоит в том, чтодалеко не всегда удается nостроить ММ так, чтобы оnератор в (П2.1)был nоложительным.Круг таких задач весьма ограничен.Поэтому важно установить более общие условия, nри выnолнении которыхвозможенnереходотоnераторногоуравнениякnоискунаименыпегозначения соответствующего функдионала и которые не содержат требования nоложительности оператора.Для каждой функции и(М,t) Е И, М ЕV,гдевремя, можt -но построить одноnараметрическое семейство функций ие (М, t, €) Е И,дифференцируемых по nараметру € ЕОи= диеlд€JR.е=ОВеличинуd€{П2.4)называют вариацией фунпции и.
Из (П2.4) следует, что оnераторд обладает свойствами оператора дифференцирования, т. е. для функций и 1 , и 2 Е И сnраведливы соотношения д( и1д( и1· и2)= щ · би2 + и2 · бщ.пустимыми для функдионала+ и2) =ди1+ ди2иПусть функции и и и+ би являются доJ[u],т. е. и, и+би ЕВеличинуD(J).бJ[и,би] = lim J[и+€ди]- J[u]е->0(П2.5)€называют вариацией фунпциона.аа J[и] в точке и. При этом предполагается, что дJ[и, ди] -линейный функционал от би. При таких условиях говорят, что функционал J[и] дифференцируем в точке и ЕФункции и ЕD(J),D(J).которые для любых допустимых вариаций биудовлетворяют условию дJ[и, ди]= О стационарности фунпциона.аа J[и], называют сmационарны.ми mочпа.ми этого фунпциона.аа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
