Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Но элемент и. не известен в процессе приближенного решения задачи, поэтому не известно и значение J[и.]. Следовательно, необходимо направить усилия на поиск оценки значенияJ[и.] снизу, чтобы получить оценку разности!::J.Jсверхуоценку можно получить, если построить функционал[19].J[v], vТакуюЕD(J),v. своего наибольшего значе!::J.J = J[и]- J[и*] ~ J[и]- J[v].достигающий в своей стационарной точкеJ[v.] = J[и*],ниячто приведет к оценкеВ прикладных задачах значение J[и*] обычно имеет определенныйсодержательный смысл и соответствует пекоторой усредненной характеристике исследуемого объекта или процесса.значениями J[и] иJ[v]Поэтому, располагаяа.л.ьтернат.ивных фунх:циона.л.ов на приближенных решениях, можно получить двустороннюю оценку такой характеристики в видеJ[v]~ J[и*] ~ J[и].Построение функдионалаJ[и],-J[v],альтернативного по отношению кпроцесс неоднозначный, он может приводить к различнымвариантам в зависимости от выбранного способа построения.Наиболее распространенный способ связан с nостроением на множествеUxV,гдеU = D(J) -об.л.асть опреде.л.ения функционала J[и], тако-ПРИЛОЖЕНИЕ 2.
ДВОЙСТВЕННЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИЛЫ486го функцианала Ф[и,v], для которого точна.н вержн.н.н граньна множествеVсовпадает с J[и], т. е. supФ[и,v]vEV= J[и].[92]Тогда задачупоиска наименьшего значения минимизируемого функцианала можноинтерпретировать как минимаксную:J*= inf J[и] = inf supФ[и,v],(П2.13)uEИvEVuEUгдеinf -символ операции нахождения точной нижней грани [92]uEUна множестве И. Предположим, что в правой части (П2.13) можно поменять местами символыиinfsup,т. е. изменить последовательностьuEUvEVнахождения точных верхней и нижней граней:J*= sup inf Ф[и,v].
TovEvuEUгда получим искомый функционалJ[v] = infuEUдля которогоФ[и,v],(П2.14)J* = supJ[v].vEVЕсли функционал Ф[и,v] определен на множестве ИхV, тоsup infФ[и,v] ~vEVuEUinf supФ[и,v].(П2.15)uEИvEVЭто неравенство очевидно, если его правая часть равна +оо (это соответствует случаю, когда при любом и Е И функционал Ф[и,v] неограничен поvкоторому числуЕV).Далее примем, что правая часть (П2.15) равна не(3.
Для любых и ЕИ и v Е V имеем Ф[и,v] ~ supФ[и,v].vEVПоэтому и точные нижние грани по и связаны таким же неравенс-твом:I[v] =inf Ф[и,v] ~ inf supФ[и,v]. Отсюда следует, что функционалuEUuEИvEVinf Ф[и, v] ограничен сверху числом (3, которое является верхuЕИней гранью функцианалаI[v].Так как точная верхняя грань являетсянаименьшей верхней гранью, то~ (3, что эквивалентно (П2.15).vEVИспользуя введенные обозначения, (П2.15) можно представить вsupJ[v]видеsup/[v]~vEVinfJ[и].(П2.16)uEUПусть в левой части (П2.16) точные верхняя и нижняя грани достигаются на элементах(П2.16),I[v*]v*ЕVи и* Е И соответственно. Тогда, согласно~ J[и.].
Часто удается сравнить значенияI[v*]и J[и.].Если они совпадают, то неравенство (П2.15) на самом деле являетсяравенством и справедливо (П2.14).П2.4. Оценка ередвеквадратичной погрешвостиФункционал Ф(и,v] с областью определения D(Ф)487= ИхVможнопостроить следующим образом. Пусть оnератор В отображает И= D( J)в ги.л.ьбертово nространство1tфункцианала J[и] при условии В(и) =О (ОстранстваVс1i),=и требуется: найти минимум-т. е. на множестве И= {и Енулевой элемент про1t:В( и)=0}.Если J[и]достигает минимума в точке и* Е И, то существует такой элементvЕV,что и_. является: стационарной точкой функцианала Ф(и,v]== J[и] +(В( и), v) (19], т. е.
вариация этого функциона.л.абФ[и,би,v](П2.17)= бJ[и,би] +б (В( и), v)в точке и* равна нулю, поскольку 6J[и*,би] =О и В(и.) =О прии. Е И. Такой функционал принято называть nолным по отношениюк частному фунпционалу J[и].Для: полного функцианала справедливо (П2.13).Действительно,решение минимаксной задачи можно получить лишь при выполненииусЛовия: В (и)= О, а в этом случае Ф [и, v] = J[и] и ее решение совпадаетс точкой и. Е И минимума функцианала J[и]. Если Воnератор, а И-.л.инейный-выnук.л.ое .множество, то в правой части (П2.13)символыinf и sup можно поменять местами [12].
Тогда (П2.14)uEUvEVдля: искомого функционала, альтернативного по отношению к J[и],примет видI[v] = inf (J[и] +(В( и), v) ),uEUг деD ( I) -v Е D(I) С V,область определения: функцианаласравнению с множествомVI [v],более узкая: пов силу дополнительной связи и иравенства нулю вариации функцианала (П2.17).представить в операторной форме и=I[v] = J[B*(v)](П2.18)+ (B(B.(v)), v),удается получить в явном видеB.(v)vусловиемЭту связь можнои вместо (П2.18) записатьхотя оператор В* далеко не всегда[19].П2.4. Оценка среднеквадратичной погрешностиПусть J[и] = ~(А( и), и)-(!, и) - квадратичный функциона.л. сD( J) С 1i, . соответствующий оnераторно.м.уоб.л.астью оnреде.л.ени.ауравнению (П2.1), где Аобластью определенияиз об.л.асти значений- nо.л.ожите.л.ьно оnреде.л.енный оnератор сD(A) = D(J), и Е D(A), f - заданная: функцияR(A) С 1i этого оператора, а 1i - ги.л.ьбертово nространство.
В этом случае в единственной стационарной точкеи. ЕD(J)этого функцианала он достигает минимума и она являетсярешением (П2.1), т. е. А( и.)=f [21].Тогдадля произвольнаго элементаПРИЛОЖЕНИЕ 2. ДВОЙСТВЕННЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ488иЕD(J)с учетом линейности оператора А и свойств операции с~ад.нриого у.м:н.ожени.н[51] получим 6.J = J[и]- J[и.] =(А( и- и.), и- и.).[19], что минимальное значение функцианала J[w] =Известно=(A~:~I'2w), где llwll 2 = (w, w)- квадрат нор.м.ы элемента w Е D(J) == D(A)с1-l,достигаемое на элементеw1i=О (О-нулевой элемент гильбертова пространства), является наименьшим собственным зна'Чением Л~>О положительно определенного оператора А,w1 i= О операторного уравнения A(w) = Лw.
Элемент w1 Е D(A) называют собственным элементом оnератора А. Положив w =и- и. и ](w) = дJ, запишемсоответствующим нетривиальному решению6.J2(П2.19)llw// ~У'1где, согласно (П2.3), квадрат нормы//w// 2 =//и- и.// 2можно рассматривать как среднепвадрати'Чную nогрешносmь приближенногорешения и по сравнению с истинным решением и•.Так как при количественном анализе варишционной фор.м.ы .м.ате.м.ати-ч.ес~ой .м.одеди (ММ) приближенными методами значениене удается,а л~ обычно удается оценить сверху,6.Jнайтито для достоверной оценки среднеквадратичной погрешности необходимо модифицировать неравенство (П2.19). ЗначениеJ[и]-6.Jможно заменить разностью~ дJ адьтернативных фун~ционадов J[и] иI[v]I[v](см.
П2.3),а Лi попытаться оценить снизу значением ~i ~ Лi. Тогда вместо (П2.19)получим11 иОценкуbl-и112~J[и] - J[v]Л*(П2.20).-1можно получить различными способами[1,21, 123].Приведем обоснование одного из таких способов.ПустьА-неотрицательный си.м..м.етри-ч.ес~ий оператор, т. е.(A(w), w) ~О, (A(w), v) = (w, A(v)), w, v Е D(A) =И с 1-l.Если для некоторого числа(3 > О отрезок [0, (3] не содержит собственныхзначений этого оператора, то А,в =А- fЗlu, гдеIu-тождественныйоnератор, будет nодожитедьны.м. оnератором., т. е. (А,вw,любого иенулевого элементаv*Е [О,,8](П2.21)wЕ И.w)>О дляЭто означает, что для любогопо отношению к оператору А- v* Iuсуществует обратныйоnератор Rv• =А;~}.
Положим g = А,вw, где w Е И -любой неиулевойэлемент. Тогда g i= О, поскольку в противном случае w был бысобственным элементом оператора А, а ,в- собственным значениемэтого оператора.П2.4. Оценка ередвеквадратичной погрешвостиПустьv = v(v*) = R 11·g- решение489операторного уравненияA 11 •V == g. Введем вспомогательную функцию ~P(v*) = (g, v) = (A 11 ·(v), v).В частном случае v* = (3 имеем v = w и ~Р(fЗ) = (A13(w), w). Такимобразом,положительность оператора А 13 эквивалентна выполнениюусловия ~Р(fЗ) >О для любого иенулевого элементаwЕD(A).Обозначим v1 = v(vi) = Rvi9 и v2 = v(v2) = Rv:;9 решения операторного уравнениЯ A 11 •V = g для двух значений vi, v2 Е [О, (3].
Тогдаg = Av:; (v2) = Avi (v1) и Avi (v2- v1) = Avi (v2)- Av:; (v2) = (v2 - vi)v2,или v2- v1 = (v2 -vi)R 11 iv2. С учетом иеравенства треуго.л.ьнипа длянормы имеемllv2 -v1ll:::;; lv2 -viiiiRvi llllv2ll = lv2 -viiiiRvi llllv2 -v1 +v1ll:::;;~ lv2- viiiiRvi 11 (llv2- v1ll + llviii).(П2.22)Посколькуvi не является собственным значением оnератора А, приv2 ---t vi справедливо неравенство lv2 -viiiiRvi 11 < 1/2.
Тогда из (П2.22)следует llv2- v1ll:::;; 2lv2 -viiiiRvi llllviii· Отсюда получаем, что v2 ---t v1при v2 ---t vi, и поэтому (v2, v1) ---t llv1ll 2 при v2 ---t vi.С учетом (П2.21) и свойств оnерации скалярного умножения nолучим~P(v2) -~P(vi)== (g, v2)- (g, v1) = (Avi (v1), v2)- (Av:; (v2), v1) =(Ащ, v2)- vi (v1, v2)- (Av2, v1) + v2 (v2, v1) = (v2- vi) (v2, v1).Заменяя vi на v* и v1 на v и учитывая, что (v2, v)---tllvll 2 при v2---tv*,в соответствии с определением производной находимТак как gi= О,то и vi= О,а значит, ~P'(v*) >О при v* Е~P(v*) возрастает на отрезке[0, ,В].[0, ,В] и функцияДля неотрицательного оператора Аимеем ~Р(О) =(Av, v) ~О для любого элемента v Е D(A). Следовательно,~Р(!З) >О для любого иенулевого элемента w Е D(A).Если {1 симметрический оператор, действующий в гильбертоном пространстве 1-l, и отрезок [,В 1 , ,В2 ] не содержит собственныхзначений этого оператора, то по.м.позицил операторов А13 1 о А132 ==(А- (3 1 Iu) о (А- fЗ2lu) является положительным оператором.
Для доказательства этого введем оператор W 11 • = Am++v* =А- (т++ v*)Iu,где m+=~(,В1 + .В2). Так как v* Е [-m_, m-J (m_=~(.В2- .В1)) неWo = Am+, то операторW 11 • = Wo- v* Iu, а также оnератор W 11 • о W-v* = Wб- (v*) 2Iu имеют обратные оnераторы W11: 1 и (W11 • о W-v·)- 1 соответственно. Этоявляется собственным значением оператора490ПРИЛОЖЕНИВ 2. ДВОЙСТВЕННЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИЛЫозначает, что отрезок [О, m:_j не содержит собственных значений оператора Wб, который, являясь квадратом симметрического оператора Am+ =А- m+Iu, будет неотрицательным, так как(WJ(w), w) == (Am+ ( Am+ (W)), W) = (Am+ (W), Am+ (W)) = 11 Am+ (W) 11 2 ;:::: О для любого w Е D(A).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
