Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 84
Текст из файла (страница 84)
В этомслучае новый репер е~ состоит из собственных векторов этой матрицы.Собственные векторы должны удовлетворять однородной системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)(D- ЛkE)ek=О, где Еединичная матрица третьего порядка, а О- нулевой вектор. Иенулевое решение этой СЛАУ возможно лишь при условииdet(D -ЛЕ)= О,приводящем к кубическому уравнению(П1.12)где/1= Dii, !2 = 21 (DiiDjj- DijDij) и Iз = det(D),решением которого иявляются три значения Лi, называемые главны.ми зна-чен'Шl.ми тензора второго ранга. Оси координат, задаваемые репером е~, называютглавны.ми ос.н.ми этого тензора.ДевиаторD* симметричного тензора fi второго ранга также можнопривести к главным осям, причем значения Лk диагональных компонентв этом случае удовлетворяют уравнению(П1.13)где f2 = ~(DiiDjj- DijDij); 13 = det(D*); D*- сим~етрическая матриD*.= бijei 0 ej является примеца третьего порядка, соответствующая девпаторуЕдиничный тензор второго рангарамизотроnноготен.зора,l2компонентыкоторогонеизменяютсяпри преобразовании координат и определяются символом Кронекерабij.
Изотропным также является и шаровой тензор. Среди изотропныхтен.зоров-четвертогоранга выделяют тензоры с компонентами467Пl.З. Операции над тензорами[Jijбkm' [Jikдjm+ бimбjkи бikбjm- бimбjk = eijlekml f60). Ясно, что изотропными будут и линейные комбинации этих тензоров. В частности,изотропным является едиnи'Чnый menзop ~ четвертого ранга с компонентами Iijkm= 21 (бik[Jjm + бimбjk)·Пl.З. Операции над тензорамиУмножение~ всех _!(Омпонент тензора А ранга К на число а даетновый тензор В=аА того же ранга с компонентами, равными произведениям соответствующих компонент тензора А на это число. Сумматензоров А и В одинакового ранга равна тензору С = А + В того жерангаскомпонентами,равнымисуммесоответствующихкомпоненттензоров А и В. Впешн:и.м. nроизведен.ие.м. mепзоров А и В ранговКл и Кв соответственно называют тензор С= А® В ранга Кл+ Квс компонентами, образованными умножением каждой компоненты тензора А на каждую компоненту тензора В.
Результат диадного у.м.ножения двухве-кторов можно рассматривать как пример вычислениявнешнего произведения двух тензоров первого ранга. Внешнее произведение тензоров может содержать более двух сомножителей.Получение тензора ранга К- 2путем приравнивания у компоненттензора ранга К двух индексов и использования правила суммированияпо одинаковым индексам называют сверmывапие.м. menзopa по этимне.мы.м инде-кса.м. Эта операция определена для тензора ранга К ~ jи для нескольких пар индексов.
Например, свертывание тензора Ачетвертого ранга с компонентами ~ijkl(i, j, k, l = 1, 2, 3)по первымдвум индексам приводит к тензору В второго ранга с компонентамиBkl= Aiikl, а свертывание по двум парам индексов дает один изскаляров: Aiikk, Aijij или Aijji·Bnympennu.м. nроизведепие.м. двух mепзоров называют результат операции свертывания, применеиной к их внешнему произведению,причем совпадающие индексы должны присутствовать в обозначенияхкомпонент каждого тензора только по одному разу. С-ка.мrрное произведение векторов является примерам внутреннего произведения двухтензоров первого ранга. В общем случае внутреннее произведение тензоров А и В рангов КА и Кв соответственно при свертывании по однойпаре индексов является тензором С= А· В ранга Кл+ Кв- 2, а присвертывании по двум парам индексов - тензором :5 =А·· В рангаКл+ КвAikei4® ekи т.
д. Например, при Кл= Кв=· Btjel® ej2имеем= AikBtjei(ek · et) ® ej == AikBtjбklei ® ej = AikBkjei ® ej =Cijei® ej,ПРИЛОЖЕНИЕ4681.ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫAijklei ® ej ® ek ® е1 · · Bmnem ® en== AijklBmnei ® ej ® ek(el · ет) · en = AijklBmn8lmei ® ej(ek · en) == Aijk!Bln8knei ® ej = AijklBlkei ® ej = Dijei ® ej,=где DijAijk!Blk иm, n= 1, 2, 3.Внутреннее произведение тензоровможет содержать более двух сомножителей.В качестве сомножителей во внутреннее nроизведение могут входить и векторы, по индексам которых nроисходит свертывание.
Так,записи А ·а или а ·А означают, что при вычислении внутреннего произведения тензора А пRоизвольного ранга К ~ 2 и вектора а происходитсвертывание тензора А ® а ранга К+ 1 по паре индексов, один из которых принадлежит компонентам вектора. В итоге получаем тензорранга К -1. Запись (А· а)· Ь или эквивалентные ей записи (А· Ь) ·а,Ь · А · а и а · А · Ь означают свертывание тензора А® а® Ь ранга К+ 2по двум парам индексов,К-2,что в результате приводит к тензору рангаnричем в одну пару входит индекс компонент вектора а, а вдругую пару-индекс компонент вектора Ь.Часто используемым в приложениях признаком того, что совокуnность величинDi 1 ... iк•зависЯIЦИХ от К индексовik= 1, 2, 3, k = 1, К,характеризует тензор ранга К, является условие обращения в скалярвыражения Di 1 ...
iкai 1векторов•••аiк• где aik -компоненты К произвольныхak.Если результат свертывания тензора является скаляром, то числовое значение этого скаляра не зависит от выбранной системы координати его н~ывают инварианmо.м mеюора.тензораDНаnример, свертываниевторого ранга с компонентами Dij приводит к его nервому (линейно.му относительно комnонент) инварианту J(l)= Dii·Еслиэти компоненты усреднить по всем возможным ориентациям осейOxiпря.моугольной систе.мы х:оординат, то получим шаровой тензор скомпонентами J(l)бij/3 [20]. Внешнее произведение:5 ® :5 с компонентами DijDkm является тензором четвертого ранга, и его свертываниепо двум nарам индексовi, kиj,т илиi,т иj, kдаст два квадратичны~ инварианта DijDij и DijDji, которые для си.м,.м,етри-чноготензораD=в силу выnолнения равенства DijDji совnадут междуJ( 2 ) = Dij Dij. Аналогично можнособой, поэтому для такого тензораnолучить кубические инварианты тензора второго ранга, которые вслучае его симметрии совпадут и примутвид J(З)nоказать= DijDjkDki·Можночто симметричный тензор второго ранга имеет не болеетрех независимых инвариантов (например, J(l), J( 2) и J( 3 )).[32],П1.4.
Основные формулы векторного и тензорного анализа469Отметим, что в уравнении (П1.12) / 1 = J(l), 12 = ~((1( 1 )) 2 -J(2 ))иIз = ~ ((J( 1)) 3 - ЗJ(l) J( 2) + 2[( 3)). Так как линейный инвариант девиатора равен нулю, то (П1.13) является неполным кубическим уравнением.Поскольку коэффициенты в (П1.12) и (П1.13) можно выразить черезтри независимых инварианта, то эти коэффициенты не зависят от выбора системы коо~динат и поэтому также являются инвариантами. Согласно теореме Виета, в (П1.12)и IзIt= Лt + Л2 + Лз, /2 = Л1Л2 + Л2Лз + ЛзЛt= Л1Л2Лз, т. е. главиые зиачени.а Ai симметричного тензора второгоранга тоже можно рассматривать как его инварианты.Несложно проверить, что C(ij)D<ij> =О, где C(ij) -компонентысимметричного тензора, а D<ij> -компоненты аитиси.м..м.етричиоготеизора.Свертывание по двум парам индексов симметричного тензора Вчетвертогоранга,=компоненты=которого=удовлетворяют==равенствам=BijkmBjikmBijmkBjimkBkmijBkmjiBmkijBmkji, приводит к двум независимым линейным инвариантам Biikk и Bikik· Если=эти компоненты усреднить по всем возможным ориентациям осейOxiпрямоугольной системы координат, то получим изотропиый теизор скомпонентами[20)..
_ 2Bppqq-Bpqpq>:U'I.)Ukm.. >: +ЗBpqpq-Bppqq(8· >:. +8· 8·)в t)kmtkUJm1.m Jk30151(П1.14)причем одновременное выполнение неравенствBppqq~О,Bpqpq~О,р,q = 1, 2, 3,(П1.15)~для линейных инвариантов тензора В является необходимым условиемнеотрицательности всех компонент Bijkm соответствующего ему изотропного тензора.П1.4.
Основные формулывекторногои тензорного анализаТен.зорн.ое nоле ставит в соответствие каждой точке nространства и каждому моменту времени t теизор D(x, t), где радиус-ве?сmор хменяется в заданной области пространства, аt - в заданном промежутке времени. Тензорное поле называют непрерывно дифференцируемым,если все компоненты тензораfi (х, t)являются непрерывно дифференnируемыми функция~и координат радиус-вектора и времени.компоненты тензораDют сmацион.арн.ьr..м..зависят только от:z:,Еслито тензорное поле называ470ПРИЛОЖЕНИВ1.ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫВ nрл.м.оуго.л.ьной систе.м.е ~оординат Ох 1 х 2 хз, в которой радиусвектор х произвольной точки имеет вид (П1.1), тензорное поле можнозаписать в индексных и безындексных обозначениях.
Так, например,скалярное поле (для тензора нулевого ранга) 1/J = 1j;(xt,X2, х 3 , t), или 1/J == 1/J(x, t); векторное поле (тензор первого ранга) щ = vi(x1,x2, хз, t), илиv = v(x,t), где щ(х,t) -координатные функции векторной функцииv(x,t); поле тензора второго ранга Тi_j = Тi_j(x 1 ,x 2 ,x 3 ,t), или Т=T(x,t), где Tij (i, j = 1, 2, 3)- ~о.м.nоненты тензора Т, и т. д.Из математического анализа известны основные дифференциальныеоперации над скалярными и векторными функциями. Так, градиентcna.te.llpн.oгo nолл (скалярной функции)д'lj;grad 1/J(x, t) = -д eiXi="\1ж'Ф,(П1.16)где e i - репер прямоугольной системы координат, а индекс х у дифферен.циа.tеького оnератора Га.м'Uоl&ьтон.а "\1 = (д/ дxi)ei означает,что дифференцирование проведено по координатам Xi.
Оператор"\1 жможно рассматривать как вектор с проекциями д/ дхi на оси координат, а процедуру вычисленияgrad'lj;(x,t)-как умножение вектора наскаляр. Вычисление дивергенции вепторн.ого noлJC, задаваемоговекторной функциейv(x, t),можно представить как с~а.л.лрное nроизведение ве~торовdivv(x, t) =ддviXi="\1 ж· v(x, t),(П1.17)а вычисление ротора вепторн.ого noлJC- как ве~торное nроизведение ве-кторовkгде eijk -= 1, 2, 3,(П1.18)си.м.во.л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
