Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 81
Текст из файла (страница 81)
е. ~=О при х2 =О, то--С 1 = 0 И С2 = А(Т)Тооv022k 1 h+ 1J. D4shch,2k1hПОЭТОМУ2причем влияние магнитного поля на температурунеподвижной стенкиТ(О)/1- v2= Т00 + 2 ~(т~отсутствует. Если же температура Т(О) задана, то12. МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ448можно показать, что магнитное поле не влияет на п.аотностьвого пото-ка q(O)= ,А(Т) dT 1dx2 х 2 =отеп.ао= ,А(Т) Тоо- Т(О) + J-tvvZ, поступающего2hhот жидкости к неподвижной стенке.Иногда анализ ММ магнитной гидродинамики может быть сведенк интегрированию уравнений обычной гидродинамики. Одним из таких случаев является установившееся движение вязкой несжимаемойжидкости, когда вектор магнитной индукции В коллинеарен векторускоростиvжидкости, т.
е. В=чества движенияучетом равенства(3.33)-Тогда закон сохранения коли(12.37) и уравнение магнитной индукции (12.36)vxB = Kvvxv =О примутвид [70]p(v·'V)v=-'Vpгде '\1 2Kvv.*+ (В· 'V)B +p,v'V2 v,JLo'Vx(vm'VxB)=O,с(12.46)дифференциа.аьный оператор Лап.ааса. Используя уравнениеи второе уравнение Мах:све.а.аат. е. векторынаходим(12.10),'V Kv ортагональны и Kv = const на каждой линии тока.Kv = const всюду в области течения жидкости, тоуравнение (12.46) в видеvиЕсли принять, чтопервое(12.47)будет описывать установившееся движение несжимаемой жидкостиплотностью р* = р- К'; j JLO И динамической ВЯЗКОСТЬЮ JLD при наличииполя давления р* =p+K';viщ/(2p,o).Второе уравнение(12.46)тождественно удовлетворяется, когда поле вектора скорости жидкости обладает потенциалом Ф, т.
е.v='VФ,или когда жидкость является идеальным проводником, т. е. llm =О. Впервом случае после нахождения Ф путем решения уравнени.н Лап.ааса(8.21) из (12.47) можно найти р*. Таким образом, любое потенциальноетечение несжимаемой жидкости является решением уравнений магнитной гидродинамики, если В= Kvv при Kv = const. Во втором случае,если дополнительно принять JLD =О и 1- K';j(pp,o) =О, из (12.47) следует равенство р + К';щщ / (2р, 0 ) = const, позволяющее найти давлениер поизвестномувекторномуполюскорости,творять лишь условию несжимаемостивыполнено и на бесконечностиv 00 ='V · vВ 00 / Kvкоторое должно=О.удовлеЕсли это условие= const, то при переходе ксистеме координат, относительно которой жидкость на бесконечности12.5.
Модели электромагнитных пропессов в деформируемой среде449покоится, получим, что при отсутствии внешних сил векоторая конфигурация, образованная магнитным полем и полем скорости, движетсясо скоростью Dл= IBooi/Kv.Такую движущуюся конфигурацию рассматривают как волну и называют а.t&ьфвеновспой волной, полагаяDл= IBooi/JPJLO.Если во втором случае при J.LD >О также и 1- K'/;/(PJ.Lo) >О,то течение жидкости плотностью р с динамической вязкостьюJ.L Dв магнитном поле совпадает с течением жидкости плотностью р* сдинамической вязкостьюНо если К?; j (pJ.Lo)J.LDпри отсутствии магнитного поля.> 1, или,что то же самое, lv 1< 1В 1JPILO = D А, то= -р*, v1 = -v, Р1 = -р* + const, пор* <О.
Тогда, введя величины Р1лучим, что они удовлетворяют уравнениям гидродинамики '\7 · v 1 =О иР1 ( v 1 · 'V)v 1'\7Р1 J.L D'V 2 v1 . В этом случае вектор скорости и гради+=-ент давления в магиитогидродинамическом течении противоположнывектору скорости и градиенту давления в течении вязкой жидкостиплотностью Р1= -р* >О с динамической вязкостью J.LDпри отсутствиимагнитного поля.12.5.Модели электромагнитных процессовв деформируемой средеДефор.м.ирование сплошной среды при наличии эле-х;тро.м.агнитноv, котороес (12.25) вего пол.н связано с возникновением векторного поля скоростинеобходимо учитывать при иреобразовании в соответствииличин, входящих в уравнения Ма-х;свеллар среды в уравнении неразрывности(12.10). При этом плотность(3.31) или (3.32), отражающемза-х;он сохранени.н .массы, и объе.м.на.н плотность Ре эле-х;три'Чес-х;огозар.нда в уравнении(12.11),выражающем за-х;он сохранени.н эле-х;три'Чес-х;ого зар.нда, остаются неизменными при переходе от одной систе.м.ы-х;оординат к другой.
При переходе к сопутствующей систе.ме -х;оординат в (12.11) вектор j(e) nлотности эле-х;три'Чес-х;ого то-х;а следуетзаменить в соответствии с (12.25) вектором j'(e).Если в изменяющейся во времениностьюS,t области V, ограниченной поверхдвижется поверхность разрываS*,то для записи уравнений,выражающих законы сохранения таких физических субстанций, как -х;оли'Чество движени.н, .м.о.м.ент -х;оли'Чества движени.н и энерги.н, можноиспользовать(4.35), а для формулировки условий на поверхности раз(4.34). Так, применительно к за-х;ону сохранени.н -х;оли'Чествадвижения в (4.34) и (4.35) следует положить 1 = v, Ф =Лv =вектор= Ь + ь<ет) и Лs· = (u(emn) + D* ® G(em)) · n* [90], где v -рыва-скорости 'Частицы сплошной среды;-u,i7 -тензор наnряжений Коши;12.
МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ450Ь И b(em) -векторы nдотности объе.М.НЫХ Сид И объеМНОЙ ПЛОТНОСТИnондеро.м.оторНЫХ сид СООТВетственно; и(emn) - несимметрИЧНЫЙ (вобщем случае) тензор эдех:тро.м.агнитных наnряжений; D* - векторскорости точки М* Е S*; G(em) -вектор объемной плотности х:оди-чества движения эдех:тро.м.агнитного nодл, а n* -единичный векторнормали к поверхности S*, направление которого выбрано из условияD* · n* ~О. Тогда (4.34) и (4.35) примут следующий вид:на поверхности разрыва S* [pv Q9 (D*- v) +и] · п* = -(и<emn)в области+ D* Q9 c<em)). n*;V \ S*= \!·и+Ь+Ь(еm)Pdvdt'где[· J -(12.48)(12.49)скачок соответствующей величины при переходе через поверхность разрыва в направлении вектораn* (см. 4.4).При формулировке зах:она сохранения .м.о.м.ента х:оди-чества движения в(4.34) и (4.35) нужно принять 1 = xxv, Ф · n = рхх, flv == хх(Ь + ь<еm)) + c<em) и fls· = хх ((и<еm) + D* Q9 G) · п*) [90], гдех радиус-вектор частицы среды, определенный в инерциадьнойnрл.м.оугодьной систе.м.е х:оординат Ох1х2хз;внешней нормали к поверхностиS;р =и·n n -единичный векторвектор nдотностиnоверхностных сид; c<em) = р(е) хЕ' + M'(m) хВ - вектор моментапондеромоторных сил; р(е) и В - векторы эдех:три-чесх:ой nодлризованности и .магнитной индух:ции соответственно; Е' = Е+ v х В иM'(m) = м<m) + vxP(e) - векторы наnряженности Эдех:три-чесх:огоnодл и на.м.агни-ченности, определенные в соответствии с (12.25) в сопутствующей системе координат с орта.м.и ei, i = 1, 2, 3; Е и м<m) те же величины, но в инерциальной прямоугольной системе координатОх 1 х2хз с теми же ортами.
В этом случае(4.35) после преобразованийпримет вид [90] eijkO"ik + c~em) =О, j, k = 1, 2, 3, где eijk - си.м.вод Леви- Чивиты, O"jk - х:о.м.nоненты тензора и, c~em) - проекции вектораc(em) на оси Oxi, а для условия на поверхности разрыва S* из (4.34)получим[p(xxv) Q9 (D*- v)].
п* =[(и. n*)xx]+ ((и(еm) + D* Q9 G) · п*) хх.Применительно к зах:ону сохранения энергии в (4.34) и (4.35) cлeдylvl2~(е)ар(е)'ет положить i=и+, Ф=q-u·v, flv =b·v+qv+qv +-at ·Е-2- M'(m) ·и-дВ fls· = ((eoiE21 + IBIдt '.м.ассовал nдотностьJ.Lo2)D-2S+(Е· p(e))v)внутренней энергии;q -· n* [90]'гдевектор nдот-12.5. Модели электромагнитных процессов в деформируемой средеqvности теплового пото?Са;451-объемная плотность мощности внутренних источников теплоты (за исключением джоулевой теплотыq~) = j'(e) ·Е'); Е"о и J.Lo соответственно;эле?Стри-чес?Са.н и .магнитная постоянные=Е хН- ве?Стор У.мова- Пойнтинга, Н- векSтор напряженности .магнитного поля. После подстановки последнихвыражений дляnv, ns·Ф,'f,ви(4.35)с учетом равенства(4.34)получим:(12.49)в областиV \ S*dи~~(е)дР(е),Р dt =и··Y-V'·q+qv+qv +at·E -Мна поверхности разрыва'(m)дВ· дt;(12.50)S*[р(и+ 1~ )(D-v)+u·v-q] ·n*=2=- ( (€oiE 2 1 +гдеJ.LoiBI 2 ) ~+(Е· p(e))v- S) ·п*,тензор с?Соростей.V -Если в неравенствеКлаузиуса(4.18)-Дюге.ма учесть джоулевутеплоту q~), то оно с учетом преобразования Лежаядра (4.21) приметвидdA)>--Y'·q+ q ·Y'T+qv+q(e)dtтv 'Р(dи -hdT _dtгде Тdt?"абсолютная температура;-hи Амассовые плотности-энтропии и свободной энергии соответственно.
Отсюда с учетом равенства(12.50)получим иную форму записи второго за?Сона тер.модина.ми?Си:-р~dT dA)( hdt- +dt-~др(е),+и··У +--·Е -М'(m)дtдВq· - >-дt?"т·У'Т.(12.51)В качестве аргументов массовой плотности А свободной энергиипримем реа?Стивные пере.менные: абсолютную температуру Т, ?Со.мпонентыE"ijтензора .малой дефор.маи,ии и проекции Р~е) и Bk векторовр(е) и В на координатные оси Oxk.
Приность р =const,компонентамиа компонентыVij=де: 18;•ТогдаVij=IE"ijl «1 можно принять плот-1 (дvдv·)~дх; +ах: тензора V заменить2(12.51)можно представить в видедА) дТ-р ( h+дТ( C 7 i j -дА)&ijqk дТ-+p- - - - - +дtдщдtТ дхk+(Е'k_дАрд (е)pk)дР~е)дt_(м'(m)kдА ) дВk >- О+ р д В k дt r '12. МОдЕЛИ ЭЛЕКТРОдИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕдЫ452где qk, Е/с и M~(m) соответственно.проекции на оси Oxk векторов q, Е' иM'(m)Выполнение этого неравенства является необходимым условием реализуемости рассматриваемого термомехани-чесх:огоnроцесса деформирования сплошной среды при ее взаимодействии сэлектромагнитным полем,а достаточными условиями при произвольных значениях скоростей изменения во времени реактивных переменных (см.4.5)будут равенствадАh=-дт'дАM'(m) __бij=р-д ,keijинеравенство ~ :~-дАРавk(12.52)О.::;;;Приняв отклонение !::..Т= Т- То от температуры То естественногоID..TI/To «: 1,состоJIНил малым, т.
е.объемную плотность свободнойэнергии при учете только уnругой деформации среды представим в видегде Cijkl,l = 1, 2, 3,- компонентыfЗij = CijklaiГ, а{~)тензора х:оэффициентов уnругости;компоненты тензора 'Коэффициентов темnе-ратурной деформации;Се: -удельная массовая теn.п.оем1<0ость nриnостолнной деформации. Тогда с учетом(е)h = р ({3ijeij + Niбij =(е)Pi(12.52) получимСе: лт+ N(m)B)ii + То u,лтp(m)Bсijklekl- f3ijU+ р(е)р(е)kij k + kijk,(12.53)+ р(е)+ K~~m)B·- N~e) !::..ТЕ~'= К(~)р~е)~з з~kl е kl~зз~'M i'(m) -_ к<т)В·ijзКоэффициенты в+ p(m)+ K(em)p(e)_ikl е klijj(12.53)N(m) лтiu·могут быть установлены при построении математи-чес'Кой моде.п.и (ММ) конкретной деформируемой сплошной среды при ее взаимодействии с электромагнитным полем.
Ниже краткорассмотрим особенности построения ММ применительно к упругимдиэле1<0три1<0ам (в том числе к nьезоэ.п.е1<0трикам), nроводникам и ферромагнетикам.12.5.Модели электромагнитных процессов в деформируемой среде453Так как для диэлектриков и большинства пьезоэлектриков j(e) =Ои Ре= О, то уравнения Максвелла (12.10) принимаютвид'\lxHгдеFk:]дDдt ,'\1· D=О,(12.54)вектор эде-х:три-чес-х:ого с.мещения. Для анизотропных маD -териалов векторы Е,и Н, В связаны соотношениямиDИз второго равенства(12.9).=(12.53)тензора третьего рангасвязаны с компонентамиF(e)(12.4)иможно заключить, что компонентыdijkтензо-ра d пьезоэде-х:три-чес-х:их -х:оэффициентов, а компоненты F~7]) тензораF(m)описывают пьезамагнитные эффекты, аналогичные пьезоэлектри12.1).ческим эффектам (см.Если ввести тензор коэффициентов диэде-х:три-чес-х:ой восприи.м-чивости с компонентами х~;), обратный тензору с компонентами eoKi~),и учесть первое равенство(12.25),то третье равенство(12.53)приметвид(е)к<ет)ВN лт)= eoXij(е) (Еj + ejk!Vk В1- р(е)jktEkljkk + jl...).,Piгде ejkl -си.мвод Леви- Чивиты; vt -Отсюда следует, что еох~;) Njческих коэффициентов,(12.55)проекции вектораv на оси Oxl.= Pi- проекции вектора р пираэлектри0характеризующихспонтанную по.л,яриэациюпироэде-х:три-х:ов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
