Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Дополнительное усложнение таких ММ связано с необходимостью учитывать влияние температурногосостояния среды на ее электрические и магнитные свойства. Влияниетемпературы порождает многочисленные дополнительные эффекты,называемые термог альваномагнитными12.2.[7 4, 131].Уравнения Максвеллаи модели ведеформируемой средыПеременное во временинииэлектрическогополя,t магнитное по.л.е возникает при изменеаизменениемагнитногополяпорождаетпеременное электрическое поле. В этом случае говорят об элепmро.м.агииmио.м. nоле.
Применительно к сплошной среде его характеризуют сочетанием векторных функций Е(х, t) и Н(х, t) напряженностиэ.л.ех:тричесх:ого и магнитного по.л.ей соответственно, а также векторньiХ функцийиндух:ции,D(x, t) э.л.ех:тричесх:ого смещения и В(х, t) .магнитнойгде х радиус-вех;тор точки в прямоуго.л.ьной системех:оординат Ох 1 х2хз. Связь между этими функциями устанавливаетсясоотношениями(12.3), (12.8)или(12.4), (12.9).12.
МОдЕЛИ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ428Мате.м.ати'Чесr;;ая .м.оде.ttь (ММ), описывающая взаимное влияниемагнитного и электрического полей и их взаимодействие со сп.ttошнойсредой, включает известные уравн.ен.шс Мапсве.~&.~&адВ\lxE=- дt,где V -'l·B=O,дD\lxH= дt.[85]'l·D=pe,(12.10)дифференциа.ttьный оператор Га.м.и.ttьтона; j(e) -векторn.ttотности эдеr;;три'Чесr;;ого тоr;;а; Ре+J(e),объе.м.нал п.ttотность э.ttеrt:-три'Чесr;;ого зарлда. Связь между j(e) и Е для изотропной среды приотсутствии распределенных сторонних источников электродвижущейсилы (ЭДС) устанавливает заr;;он О.м.а(3.24). В случае анизотропной(3.24) следует использовать (12.1).Запись (12.10) предполагает, что среданеподвижна относительносреды вместопрямоугольной системы координат Ох1х2хз, а эта система инерциальна, т. е.
неподвижна или движется поступательно с постоянной скоростью. Правую часть третьего уравнения(12.10) можно рассматриватькак вектор плотности суммарного электрического тока, причем дD / дtявляется вектором rмотности топа с..чещен.и.н, а j(e) -векторомrмотности топа nроводи..чости. Применив к обеим частям этогоуравнения дифференциальную операцию дивергенции, с учетом четвертого уравнения(12.10) и равенства V · (VxH) =О получим локальнуюформу(12.11)запона сожранени.н з.п.ептричеспого зар.нда.Если Ре=О и изотроnная среда однородна, т.
е. ее относите.ttьныедиэдеr;;три'Чесr;;ал Е"(е) и .м.агнитнал J.t(m) проницае.м.ости, а также э.ttеrt:три'Чесr;;ал проводи.м.ость аСе) постоянны, то, применяя к первому итретьему уравнениямучетом(3.24), (12.3)и~v хVг деJ.toи Е" о-х(V(12.10) дифференциальную(12.8) запишем(~v хЕ)_--J.t(m)J.toоперацию ротора, сд(VхН)дt,хН)= Е"(е)Е"о д(~: Е) + a(e)v х Е,.м.агнитнал и э.ttеrt:три'Чесr;;ал постолнные соответственно.Отсюда, учитывая (12.10) и равенство Vx(Vxa) = V(V ·а)- V 2a дляпроизвольнаго вектора а [23], где V 2 - дифференциа.ttьный операторЛап.ttаса в прямоугольной системе координат Ох1х2хз, nолучаемv2 Е= а(е) J.t(m) J.to дЕ+ E"(e)E"OJ.t(m) JLO 82 Едtандt 2}а2 нv2 н= а(е) J.t(m) J.to- + E"(e)E"oJ.t(m) J.to-дt(12.12)'дt2'12.2.Уравнения Максвелла и модели ведеформируемой средыт. е. каждая из проекцийf429на оси координат векторов Е и Н удовлетворяет так называемому телеграфному уравнению(е)fд2 ffo д 2 +оt(е) д f_ 'V 2 J-д -tJ.L(12.13)( ) .т J.LoДля непрово,ц.ящей среды (о-(е) =О) из (12.12) следуют уравненият.
е. каждая из проекцийfна оси координат векторов Е и Н удод2fвлетворяет во.л:н.ово.м.у уравнению дt 281= 'V 2 -- 2-aemс=yf&<eJf.J(m)2-д2t--= a~m 'V 2 f,или Df= О,где D=дифференциальный оnератор Да.л.а.м.бера; aem =vскорость распространения в рассматриваемои среде вoз-мущений электромагнитного поля, называемых элептро.м.агнитны-.м.и волнами, а смостиfс-х:орость света в ва-куу.м.е.-нию удовлетворяет решениеw-В случае зависилишь от одной пространствеиной координаты этому уравнеf(xt,t) = focos(wt- kwxt), где fo = const;kw = wfaem- волновое число,-х:руговая -частота -х:одебаний, асоответствующее nлоспой .м.оножро.м.атичеспой волне, фаза <р== wt - kwx1 = const -кодебаний которой имеет в идеальном изоляторефазовую спорость aem [85].
В вакууме при g(e) = J.L(m) = 1 фазоваяскорость равна скорости света с. Построение вариационной фор.м.ы ММприменительно к гар.м.они-чес-ки.м. -кодебания.м. электромагнитного поляв областях произвольной формы, в том числе в волноводах и резонаторах, рассмотрено в[95].В среде с электрической проводимостью о-<е) >О колебания будутзатухающими. Действительно,(12.13) в одномерном случае имеет реf (х1, t) = fo ехр( -{'wx 1) cos( wt- f3wx1), которое после подстановки(12.13) приводит к положительным значениямшениев(12.14)гдеPwPw»(а(е))2= _(_)___EQLI.JЕ еДля среды с высокой электропроводимостью, когда1, т.
е. плотность lj(e)lплотности \д~ 1 =;::::; 'Yw ;::::;~ fiC =Uem V2= o-(e)IEIg(e)fo\ ~ \J12тока проводимости много большетока смещения, из (12.14) следует f3w;::::;J.L(m) J.Loo-(e)w.В такой среде электромагнитная12. МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ430волна зат ухает на расстоянии порядка 1/TI.U, пропорциональном 1/ yfWи называемом скиповой глубиной проникания электромагнитного поляв проводник=2~Nр,< JmФазовая скорость при этом равна rз" <и' ~ aem у(2'"=р:;[85].<<Jр,оа еЕсли полностью пренебречь плотностью токаaem.смещения, то (12.13) примет видJ.L(m) J.Lot:7(e)it =аналогичный\7 2 f,уравиеиию теп.лопроводности.Для среды с низкой электропроводностью, когда p(.U~""'а( е)находим rз""' ~ -2- v 4 + р~ и f(.V ~ -2аеm«скорость-{3Параметр<и~p(.U(12.14)-(е)о о в этом случае глубиF:F:oна проникания электромагнитного поля не зависит отrNиз1,p,(m} р,w,а фазовая2aem~несколько меньше, чем в идеальном изоляторе.у 4+р:.сравнения плотностей токов проводимости и смещениязависит от частоты(J.)колебаний электромагнитной волны.
Следовательно, одна и та же среда при малых значениях(J.)может вести себякак проводник, а при больших- как изолятор.Пусть неограниченная область заполнена изотропной средой, длякоторой Ре= О. Подставим в= E 0 exp(i(wt- k(.V · х))(12.10) комплексные функции Е(х, t) == H 0 exp(i(wt- k(.V · х)), описывающиеи Н(х, t)распространение плоской монохроматической волны в направленииводкового вептора k(.V (Ео и Но- постоянные векторы, i =Амнимая единица).Тогда с учетом(3.24), (12.3)и(12.8)получимсоответственно(12.15)Из свойств вех:торного и сr;;а.лярного произведеиий вех:торов следует,что векторыk(.V,Е о и Н о взаимно перпендикулярны. У слови е существования иенулевых решений для векторов Е и Н можно получить изпервого и третьего равенств(12.15),умножив их векторнонаk(.V:k(.V = (З(.U + iтw· Тогда,(12.15), находим, что22это условие примет вид \(З(.U\ - \iw\ + 2·if3w · тw - (J.) 2 €(e)€oJ.L(m) J.Lo - iJ.L(m) J.LoG"(e)w =О. При u(e) =О и fЗw ·rw =О или lw =О отсюда следуетДля плоской монохроматической волны примемучитывая (П1.2), второе и четвертое равенства12.2.Уравнения Максвелла и модели ведеформируемой средысоотношение aem =vI.В,.,12 - 1-r,.,121.1.1\Но\(12.14),> I'"Ywl,для фазовой скорости ие<е>еоотношение \Ео\ =дем кI.Вwl,431()p,<m>p,o.
В случае проводящей среды (<Т е >О) при-т.е. плоская монохроматическая волна в такой среде будетзатухать пропорционально ехр( -1""' · х).Считая ереА-у непроводящей (<Т(е) =О), выясним влияние анизотропии среды по(см.12.1)отношению к ее диэлектрической проницаемостина распространение плоской монохроматической волны. Вэтом случае вместо(12.15)kwxEo = wBo,kwполучим·Во= О,kwxHo = -wDo,kw · Do=О,где Во= JJ,(m) р,оН о и Do = €(е) с:оЕо, а jl(m) и €(е)- теизоры .м.агиитиойи диэлех:трu'Чесх:ой проиицае.м.ости соответственно.
Отсюда, учитываясвойства скалярного и с.м.еw,аииого произведеиий вех:торов, устанавливаем, что векторkwnерпендикулярен векторам Во иортагональны векторы Во и Ео,= wBo · Do = -(kwxHo) ·Во,Doи Но. Кроме того,Do, попарно(kwxEo) · Do =илиEo(kw хЕо) · €(е) · Ео = wBo · Do = -J.Lo(kw хН о)· iJ,(m) ·Но.В силу произвольности w и тензоров е-< е) иiJ, (m)это равенство может быть выnолнено лишь приусловии Во·Do =О, т. е.
при ортогональностиDo, или (что то же самое) приусловии компланарности троек векторов kw, Ео,Do и kw, Но, Во. Взаимное расположение этихвекторов показано на рис. 12.2.векторов Во иВ частном случае постоянного электрического поля в покоящейся среде, называемого элепmростаmи:чеспu.м., из(12.10)k,.,Рис.12.2следует система уравнений электроста-ТИКИ'ilxE=О,'il· D =Ре·(12.16)где О -нулевой вектор. В случае односвязной области первое уравнение(12.16)есть условие потенциальности электростатического поля, для которого с помощью соотношения Е=-'ilUe можно ввестиэлех:три'Чесх:ий потеициал Ие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
