Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Если в процессе деформирования Т=записатьто можно[58]d(g(()d~гдеconst,=аАаАdxdxij-р---р--8х d~g(()- неотрицательная функция(,8юj d~ 'т. е.случаи этого равенства можно получить,g(();;;:: О при (>О. Частныеесли положить g( ()1 или=отождествить Xij с компонентами тензора неупругой деформации.При деформировании параметры х иXijдалеко не всегда можноопределить экспериментально, но зато можно измерить в любой моментвремени t Е[to, t1]тела компонентыв окрестности некоторых точек рассматриваемогоtijтензора деформации и абсолютную температуруТ, что позволяет применить иной подход к построению ММ, введяскалярную величинуt, характеризующую последовательные состоянияeij(ж, t) и Т( ж, t) и также играющую роль внутреннего времени. Любомуприращениюdtij и dT, а им отвечаетприращение d{ Чтобы оценить dcij с помощью скалярной величины dt,dtсоответствуют приращенияТермопластическая сплошная срада с памятью11.
7.используем величину (dae) 2 =работе,dtdui; dt:i;,2соответствующую элементарнойсовершаемой при упругом деформировании,~ О иdT417поскольку при~ О мгновенная реакция рассматриваемого материала навнешнее воздействие является упругой. Тогда можно записатьгдеCijkt(cmn, T,x,Xmn), т, n= 1, 2, 3,- компоненты тензора поэффициентов упругости .м.атериа.аа. В этом случаегде Da, Dт и D t - неотрицательные постоянные, определяемые экспериментально.
Таким образом, при фиксированном ж величинаt является однозначной неотрицательной и неубывающей функцией временина отрезке[to, t1].tЭффекты диссипации энергии можно учестz. вве~ением однозначной неотрицательной инеубывающей функции (от~. аследовательно, и отt.Определяющие и кинетические уравнения при таком способе введения внутреннего времени аналогичны(11.51)и(11.52)соответственно, причем оба способа введения внутреннего времени приводят к одинаковым результатам, если за масштаб дляt принять ( = (.При построении ММ рассматриваемой среды с памятью аналогично(10.41)положим€[39]€+! jd~'f~·.
(~ _~' ~ _~") дXii дxkt +·'·(t: _ ~' ~ _ ~") дО дО) d~" _2\ zзkl ." "" • "" ""."-00д~' д~"'~-' "" ""' "" ""де д~"""-00{{-оо-оо-Jde J(/3ij(~- е,~-~")~;;+ тij(~- е,~-~") дд~i:) ::, de~где ~jkl, Bijkl, Dijkl,1/J,/3ij и тij- фунпции ре.аапсшции, описывающиетермамеханические свойства среды и тождественно равные нулю при~- ~ <О и ~- ~ 111<О; О(~) =Т(~)- То; То-абсолютная температура11.
МОДЕЛИНЕУПРУГОГО дЕФОРМИРОВАНИЯ СРЕДЫ418IOI/To «естественного состолни.а среды, причемвторому и третьему равенствам( ( ,)1-оо~&ij!Зij ~ - ~ 'о д~'ph =~aij =+ {ij(,)дюj(-Ф ~-')дО) d~ ' ,~ , о де(11.53)д~kl, дxktIЧjkl(~-~ ,о) де +Bijkl(~-~ ,о) щ'-00-- Дj (~ - ~ ')дО)' о Щ' d~ ' 'гдедXiiд~J(G··,~=Тогда, согласно~ - ~ 'о Щ' -,1(1.(11.51),(t:_c')&kt~зkl .. .. д~'+Е-·(с_с')дО(~))dс'ч ....д~'.. ·-00В соответствии с выражением для диссипативной фyнtro,uu, входящей в(4.22),с учетом(11.53)запишемa~ij(дАат)t5v=aij Щ -р д~ +h Щ =~дXiij(;, дEkt(, ) дXkl(, ) дО) ,fijkt(~-CO) Щ' +дjkt ~-~,о Щ' -'Yii ~-~,о Щ' d~-=- д~-00-00-00-00-00-оо-ооТогда уравнение теп.л.опроводности по аналогии сд-т щ1( ,€-00дО, &ijФ(~-~ ,о) де -rзij(~-~ ,о) ае-(10.47)примет вид11.
7.где л~J)Термопластическая сплошная среда с памятью419- компоненты тензора теплопроводности среды, а qv -объе.м.нал плотность мощности внутренних источников тепловыделения.Отметим, что в рассмотренной ММ сплошной среды присутствуетвремяt,что дает возможность описывать эффекты вязкого деформирования и называть такую сплошную среду mер.м.ов.нзпопласmичеспой.Если же заВ~;Jсимость отtотсутствует, то тог да внутреннеевремя связано лишь с компонентами тензора деформации и с температурой.Рассмотрим вариант ММ термавязкопластической среды с учетомее анизотропии [68]. Примем, что компоненты €}~) тензора пласти-чес-х:ой дефор.м.аи,ии удовлетворяют уравнениям(11.54)гдеt;, Eijkl =const.Тогда, использовав представление компонент тензора напряжения в видеO'ij= Cijkt(Ekl- €~~)- €~))тензора температурной дефор.м.аи,ии) и решениягде Kijkl = CijmnEmnkl, т, п = 1,2, 3.(€~~)- компоненты(11.54),запишемЕсли принять тензор с компонентами Kijkl подобным тензору с компонентами Cijkl• то в случае, когдапри упругом деформировании материал соответствует линейной термоупругой ортатропной среде, значения Kijkl можно найти в результатеобработки диаграмм деформирования при одноосном нагружении в направлении главных осей ортотропии.Аналогично введенной в11.4 обобщеннойинтенсивности дефор.м.аи,ии для дифференциала внутреннего времени положимгдеdr*-обобщенная интенсивность приращения деформации, а Хи.модуль объе.м.ной упругости среды.
Если механизмы неупругого поведения среды при растяжении и сжатии различны, то внутреннее времяв этих случаях будет изменяться неодинаково, а коэффициенты в(11.54)будут разными. Примем, что при I~ = dl1 f/d~ >О имеет место рас-42011.МОДЕЛИНЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ СРЕДЫтяжение, а при If.= di1 "f/d~<О-сжатие (здесь I1"f= eiiпервыйинвариант тензора деформации).
Тогда получимгде верхний индексаsgn(x) -<<+>>соответствует растяжению,фую~ци.н зна?Са числах.<<->> -сжатию,ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ12.ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫв рамках современной терминологии [148] элептродинамипа какраздел физики включает классическую теорию, изучающую движениеи взаимодействие электрических зарядов, и квантовую, учитывающуюкорпускулярио-волновой дуализм материи, а также электродинамикудвижущихся сред, учитывающую релятивистские эффекты. Классическая электродинамика составляет теоретическую основу электротехники,радиотехники,нических дисциплинэлектроники[113].идругихинженерных электротехВ этой главе ограничимся рассмотрениемосновных .м.ате.м.ати-чесх:их .м.оде.л.ей, описывающих на макроскопическом уровне взаимодействие э.л.ех:тро.м.агнитного nо.л..н с неподвижной,деформируемой или движущейся со сравнительно небольшой скоростью сn.л.ошной средой.12.1.Электрические и магнитныесвойства сплошной средыМатериалы в зависимости от своего поведения в э.л.ех:три-чесх:о.м.или .м.агнитно.м.
nо.л.е подразделяют на проводящие, полупроводящие,диэлектрические (изоляторы), магнитныеинемагнитные[90]. Способность вещества проводить электрический ток под действием постоянного (не меняющегося во времени) электрического поля количественно характеризуют электричеспой nроводимостью аСе), обратной удельному элептри-чеспому соnротивлению и измеряемойв - 10 м·м(Ом- единица измерения элептри-чеспого соnротивле-ни.н проводника).
При аСе)> 106 - 1пам, при 10- 8 - 1аСе)< 10- 8 -010М·М-М·М< аСе) <0 м·мвещество относят к nроводни- к nолуnроводникам, а при0к диэлептрипам. Величина аСе) заметно зависит106 - 1М·Мот внешних условий, в частности от дав.л.ени.н и абсо.л.ютной те.м.nературы. Например, такой типичный полупроводник, как германий, привысоком давлении становится проводником, а при низкой температуре-диэлектриком.Некоторые металлы (например, РЬ иNb),сплавы и интер.м.ета.л..л.иды (например, NbзGe и NbзSn), являющиеся в обычных условияхпроводниками,спонижениемтемпературыстановятсясверхпровод-12. МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ422пиками, в которых благодаря образованию связанных пар электроновисчезает электрическое сопротивление. Проводники с кристаллическойструктурой (за исключением структур с кубической х:риста.ttди-чесх:ойрешетх:ой) обычно обладают анизотропией электрической проводимости, характеризуемой симметри-чным тензором второго ранга ;тСе)электрической проводимости.
В этом случае зах:он Ома (3.24) длясплошной среды принимает видj(e)= ;тСе) . Е,(12.1)где j(e) и Е- векторы пдотности эдех:три-чесх:ого тох:а и напряженности эдех:три-чесх:ого по.л.я соответственно.У некоторых металлов и полупроводников электрическая проводимость зависит от напряженного состояния или деформации. Дляанизотропной среды эту зависимость описывают соотношением Е= -рСе) . (12 +??(е).. iТ) .
j(e) или Е= -рСе) . (12 +jl,(e) .. €) . j(e)' где -р(е) -=тензор, обратный ;т(е), т. е. -рСе) · ;т(е) = l2; l2 - едини-чный тензорвторого ранга; 7r(e) и jl,(e)- тензоры -четвертого ранга mензорезисmивныz и эласmорезисmивныz коэффициентов соответственно; iТ и е-тензоры напряжений и деформации. Если среда .л.инейноупругая, тоji(e)= 7r(e) .. С, где С- тензор х:оэффициентов упругости.Такую зависимость используют при изготовлении тензорезисторов дляизмерения напряжений и деформаций.К полупроводникам относят большую группу веществ, промежуточную между проводниками и диэлектриками и имеющую (в отличиеот металлов) экспоненциальную зависимость электрической проводи-мости вида О"(е)(Т) = О"ае) ехр(- k~~) от абсо.л.ютной температуры Т,г де О" ае)-коэффициент' зависимость которого от т существенно слабее, чем экспоненциальная; п:-энергия ах:тивации проводимости;kв -постоянная Бо.л.ьцмана. В полупроводниках связь электронов сатомами, характеризуемая энергией п:, может быть разорвана не только за счет теплового возбуждения микрочастиц, но и путем внешнеговоздействия (например, электрическим полем, излучением, заряженными частицами и т.
п.), что иревращает электроны в свободные носителизаряда.Возможность в широких пределах управлять электрическойпроводимостью полупроводников определяет их применение в различных областях техники.В диэлектрике на макроскопическом уровне объемная п.ttотностьэ.л.ех:три-чесх:ого заряда Ре= О, но при определенных внешних воздействиях происходит nоляризация диэлепmрипа, связанная с перемещениямивнемнамикроскопическомуровнезаряженныхчастиц(электронная и ионная поляризации) и/или со взаимным поворотом мо-12.1.Электрические и магнитные свойства сплошной среды423лекул (ориентационная поляризация).
Это приводит к возникновениюраспределенного по объему электрического дипольнога момента, среднее значение которого в единице объема характеризуют вектором р(е)элептри-чеспой nол.нризованности, его модуль измеряют в Кл/м 2или в А· сjм 2 .Под дейст-i\ием электрического поля в линейном приближении дляизотропного диэлектрика р(е) = Х(е)ЕоЕ, где Х(е) - диэлептри-чеспа.н восnрии.м-чивость; Ео = 8,8542 ·10- 12 Л.с/(В·м)злептри-чеспа.н nосто.ннна.н. ВекторD = ЕоЕ + р(е)(12.2)определяет элептри-чеспое с.мещение (электрическую индукцию),причем(12.3)где f(e) = 1 + х(е) - относительна.н дизлептри-чеспа.н nроницае.мость. Величину f(e)fo называют абсолютной дизлептри-чеспойnроницае.мостью.
Для анизотропного диэлектрикаD = €(е) · ЕоЕ,(12.4)где €(е) -симметричный тен.зор второго ранга диэлептри-чеспойnроницае.мости, т. е. в общем случае векторыи Е не являютсяDколлинеарными.Электрическое поле с переменным во времениtвекторомпряженности вызывает запаздывание изменения вектораE(t)наD(t), характеризуемое вре.мене.м ре.л.а-х:сации.
В случае синусоидальных колебанийнапряженности электрического поля с -х:руговой 'Частотой(.,)это запаздывание приводит к разности <р фаз -х:о.л.ебаний, зависящей от(.V,f(e)E 0 E 0 sin((.Vt- <р), где Е 0 вектор, соответствующийнаибольшему по модулю значению изменяющейся напряженности. Прит. е. D(t)=этом часть энергии электрического поля необратимо переходит в тепловую энергию, определяя так называемые дизлептри-чеспие nотери,пропорциональные значениюtg<p,причем максимум потерь в случаеэлектронной и ионной поляризации приходится на 'Частоты -х:о.л.ебанийв диапазоне 10 12 ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
