Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Так как условия изотропного упрочнения не учитывают эффе~т Баушингера, наличие которогоподтверждено экспериментально, то они пригодны лишь для приближенного описания пластического деформирования изотропных материалов со сравнительно малым ~оэффициенто.м упрочненUJI, когда влияние этого эффекта не очень сушественно.Анизотропное упрочнение материала при фиксированной температуре и идеальном эффекте Баушингера, когда предел текучести приразгрузке уменьшается настолько, насколько он увеличился при предшествующем нагружении, можно описать параллельным перемещением начальной поверхности текучести в пространстве напряжений, т.
е.вместо(11.8)написать(11.10)гдеXij -компонентытензорноговнутреннегопараметра состояниях, называемого теизоро.м mpaucJt.Нцuu и определяющего положениецентра поверхности нагружения.Ynpoчueuue такого вида называют траислнциоииы.м или пиие.маmичеспи.м[119].Если пренебречьизменением объема при пластическом деформировании, томет вид f(sij- X~j)~1девиатора Х= Фт(Т),где X~j= Xij- Xkkдij/3-(11.10)прикомпонентытрансляции центра поверхности нагружения.впервомприближении X~j = c;e(T)g~r), где сх_'(Т)- коэффициент, характеризующий свойства данного материала.При кинематическом упрочнении первоначально изотропный материал становится анизотропным, причем пластические деформации независят от среднего напряженUJI, а направления главных осей тензоранапряжений не меняются.
Так как условия кинематического упрочнения описывают идеальный эффект Баушингера, то они применямы длясравнительнонебольшого числа упрочняющихся материалов. В общемслучае по.мбииироваииого уnрочиеиин материала поверхность нагружения изменяет свои размеры и форму, перемещаясь в пространственапряжений.39011.МОДЕЛИНЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ СРЕДЫ11.3.Модели термопластичностиПод mер.мопласmичпосmью понимают процесс развития в материале пласти-чес-х:ой дефор.мации, протекаюш;ий в условиях изменения абсолютной те.мпературы Т. Иногда этот процесс называютпеизоmер.мичеспой пласmичпосmью[136].При построении .мате.мати-чес-х:их .моделей (ММ) термапластичности в качестве внутреюtuхпара.метров тер.модина.ми-чес-х:ого состояния обычно используют пара.метр Уд-х:виста х, учитываюш;ий в поли-х:ристалли-чес-х:о.м .материалеплотность микродефектов, и тензорный параметр Х с -х:о.мпонента.миXij, i, j = 1, 2, 3,который пропорционален усредненному си.м.метри'Чно.му тензору плотности дисло-х:аций и может рассматриваться каканалогичный тензору транс.ляции усредненный menзop .мипропапр.нжепий, возникаюш;их в с-х:оплениях дисло-х:аций.
Эти параметрыв случае твердого а.морфного тела (например, поли.мера) могут иметьиной микромеханический смысл, но важным является их зависимостьот компонент f~f) тензора пласти-чес-х:ой дефор.мации, причем dx =О иdXij = О при dE~f) = О.Любая ММ термапластичности в частном случае должна описывать эксперименты при одноосном нагружении, в которых проявляютсяупругие и пластические свойства материала, и подтверждаться результатами экспериментов при произвольнам напряженном, состоянии. Наосновании имеющихся экспериментальных данных можно сделать следуюш;ие заключения об обш;их свойствах такой модели-[58]:в бесконечно малой окрестности любой точки рассматриваемоготела приращение компонент тензора полной дефор.мации(11.11)где f~;) и f~p-компоненты тензоров упругой и те.мпературнойдефор.мации соответственно;-висходномсостоянииматериализотропен,апринагруженииизменение его объема происходит линейно-упруго, т.
е. dEk~ =О, dEv == dEkk = dEk~+ dfk~),k = 1, 2, 3,(11.12)aij -компоненты тензора напряжений u; Oij - си.мвол Кроне-х:ера;Ev - объе.мная дефор.мация; х - .модуль объе.мной упругости;где11.3.-Модели термапластичности391компоненты девиатора упругой деформации линейно зависят откомпонентSijдевиатора напряжений, т. е.d (е) _ dSijдр dTeij - 2р - Sij дТ 2р2 'где J.L --(11.13).модуль сdвига;существует фунх:и,ия нагружения, определяющая для пластическидеформируемой бесконечно малой окрестности рассматриваемой точкитела уравнение поверхности нагружения в пространстве напряженийв видеJ((щ,T,x,xij) =О.(11.14)Сплошную среду с указанными свойствами назовем mер.м.оnласmичеспой средой.Задаваемая(11.14)поверхность делит пространство напряженийна две части.
При f(uij,T,x,Xij) <О бесконечно малая окрестностьрассматриваемой точки тела деформируется упруго, т. е. dc~~) =О, анапряженное состояние, соответствующее f(aij,T,x,Xij) >О, не можетбыть реализовано.Если левая частьf* (uij, Т) =(11.14)не зависит от х иXij,то получим уравнениеО поверхности тех:у'Чести для идеальной упругопласmи'Че-сх:ой среды. При этом dc~f) f:. О, еслиf*=О и df* = :~: daij + ~~ dT = О,и dc~f) = О, если f* = О и df* < О или f* < О. В общем случае упругопласmи'Чесх:ой среды с упро'Чнение.м при выполненииследующие процессы:df*дf(11.14)возможныапmивиое н.агружепие, еслидf= дuij daij + дТ dT > О,df= df* + 81 dx + 881 dю 1 =оХXij8(11.15)и тогда dc~f) f:.
О; н.ейmра.л.ьпое н.агружен.ие, если df* = df = О;начало разгрузх:и, если df* <О. Для двух последних процессов dc~f) =О.Введем параметр d)..* ~О, причем d)..* =О, когда dc~j) =О, и представим внутренние параметры состояния в виде(11.16)При активном нагружении изd)..* =(11.15)и(11.16)df*получим39211.МОДЕЛИНЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ СРЕДЫТогда уравнение запопа nластичеспого течения можно записатьв виде[39]{11.17)где, согласно(11.16), Mij = Nij W+ Yijkl Wkt,Mij = Mji, Mkk =О.При построении некоторых вариантов ММ nлacmu'Чec-x;ozo дефор.м,ироваиил используют nостулат Драппера, обобщающий(11.2).Пусть тело, находящееся в исходном состоянии, нагружено по векоторому пути ОС в пространстве напряжений (рис.Рис.11.5),а затем из точки11.5С, лежащей на поверхности нагружения и соответствующей значениямO'ij,разгружено до точкиD,расположенной внутри этой поверхности и соответствующей значениямнагружения точкали из точкиDDпо путиза счет приращенийafj (в частном случае нейтральногоможет находиться и на этой поверхности).
ЕсdaijDCHсначала перейти в точку С, а затемпровести активное нагружение до точки Н,то на участке СН возникнут приращения d.s-~;) f. О и d.s-~) f. О компонент тензоров упругой и пластической деформапии. Новое положениеучастка поверхности нагружения, на которой лежит точка Н, отмечено на рис.11.5штриховой линией. После разгрузки по векоторомупути из точки Н в точкуDприходящаяся на единицу объема материала необратимая работа пласmи'Чес-х;ого дефор.мироваиил составит{O'ij - aij) d.s-~)[82]+ daij d.s-~~) > О, поскольку при замкнутом цикле нагружения работа, совершаемая напряжениями на упругих деформациях,равна нулю.
Отсюда приO'ij = aijследует, что(11.18)Так как приO'ij# afjразностьO'ij- afjможет быть большеdaij,то(11.19)11.3.Неравенство(11.18)Модели термопластичности393по аналогии со вторым условием(11.2)можнорассматривать как критерий устойчивости пластического деформирования при произвольном напряженном состоянии[82].Если в пространстве напряжений вдоль осей Ouij откладывать комnоненты €~;) с темиже индексами, то левую частьможно интерпретировать как(11.19)скалярное произве.$ние векторов и- u 0 и de(P) соответственно с проекциями O"ij- uf; и df~;) на эти оси.
Тогда (11.19) будет означать, чтоугол между этими векторами острый. Отсюда следует, что поверхностьнагружения выпукла, а вектор de(P) направлен по внешней нормалик этой nоверхности (рис.точкиDс координатами11.6, а). Действительно, так как положениеuf; может быть выбрано произвольно относительно вектора и (например, она может занимать положениеD'),топри отклонении вектора de(P) от направления нормали (штриховая линия со стрелкой на рис.11.6, а)условие(11.19)может быть нарушено.При невыпуклой nоверхности нагружения (рис.11.6, б)независимо отнаnравления вектора de(P) всегда можно подобрать nоложение точки D,при котором будет нарушено условие(11.19).баРис.11.6Направляющие косинусы нормали к поверхности нагружения проnорциональны аf 18Uij.Поэтому из коллинеарности этой нормали ивектора de(P) следует равенство(11.20)где лишь при активном нагружении коэффициент пропорциональности dЛ.
>О, а в остальных случаях dЛ. =О.равенством(11.20),Сопоставляянагружения зm~он n.л.асти-чесх:ого те-ченшr, получим, что=8~j dЛ•.8(11.17)свыражающим ассоциированный с поверхностьюMij dЛ * =Так как функция f в (11.14) определена с точностью доnроизвольнога множителя, то в(11.17)можно nринятьMij = 8f j8uij·11.394МОДЕЛИНЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ СРЕДЫЕсли влияние внутренних параметров х и Xij на процесс пластического деформирования можно разделить и принять f(uij,T,x,Xij)== fт(O'ij, Т, Xij)- Фт(Т, х) =О, то вместо (11.17) получимдfт dO'kl + (дfт- дt/Jт) dTдaklдТдfтдТдO'ij.Пусть толстостенная труба внутренним радиусом а и внешним радиусом Ь изготовлена из изотропного материала и подвержена действиювнутреннего давления р. Осесимметричное установившееся распределениеT(r)температуры зависит лишь от радиальной координатыr Е [а, Ь], отсчитываемой от оси трубы, и его можно представить в виде[105]ln(Ь/r)T(r)- Т(Ь) = D..T(r) = 'l?aln(b/a),'!?а= Т( а)- Т(Ь).(11.21)Положим, что Т(Ь) является температурой естественного состоннилматериала трубы и при указанных условиях в нем возникает пластическая деформация.
Если труба достаточно длинная, то можно считать,что имеет местоn.n.oc-x:oeдеформированное состояние, т. е. в направлении осевой координатыпримем€zzzдеформацияezz = const. В дальнейшем=О.Как при упругом, так и при пластическом деформировании материала трубы для ее любого попере'Ч.ного се'Ч.енил справедливо уравнениеравновесилduтт-dr+где О'тr(11.22)и О'срср-u тт - u 'Р'Рr(11.22)= 0'радиальное и окружное напряжения.является частным случаем первого уравненияЯсно,(5.42).чтоПри этомсоответствующие компоненты тензора полной деформации равны€срсриr(11.23)= -,rгде иr- радиальное перемещение.Пусть свойства материала трубы соответствуют свойствам идеальной упругопласmи'Ч.ес-х:ой сn.п.ошной среды, подчиняющейся условиюте-х:у'Ч.ести(11.4),а также О'срср> O'zz > Urr·Тогда(11.4)примет вид(11.24)где О'т-предел те-х:у'Ч.ести.Положим,что О'т,продольной упругости Е, -х:оэффиv,иент Пуассонаvа также .модульи температурный11.3.395Модели термапластичностиr.оэффии,иент .л.инейного расширения а(Т) материала трубы не зависятот температуры.Так как изменение объема происходит только вследствие упругой итемпературной деформаций, то с учетомdurUrО"rr + О"<р<р + О" zzrЗх-d +"'-=rСогласно (11.20) и (11.24) de<f} =(11.23)3+а8f(u) d)..*8 иzzимеем(Т) лТ( )(11.25)r.u=О.
Поэтому в силу обоб-щенного заr.она Гуr.а справедливо равенство_ O"zz- v(O"rr€zzЕ+ О"<р<р) + а (Т) Ь..Т( r ) -_О .Выражая отсюда O"zz, подставляя его в(11.26)и учитывая(11.25)(11.22),послеинтегрирования получаемUr= (1- 2v)(1 + v) TO"rr + 2(1 + v)а<Т)ЕСоотношениеr(11.27)Jлт( )dСоr r r + -.ur(11.27)справедливо как в области упругой деформации,так и в области пластической деформации.Если из равенств_ dur _ O"rr- v(a'P'PErr - dr Е+ O"zz) + а (Т) Ь..Т(r ) , }_ Ur _ O"'P'P-v(O"rr+O"zz)Е'Р'Р -r-Е+а(Т)лт()u(11.28)rдля обобщенного закона Гука исключить Ur и использовать выраженияДЛЯ О"'Р'Р ИЗ(11.22)И ДЛЯ O"zz ИЗd 20"rr3(11.26),ТО получимЕа(Т) dЬ..ТdO"rr--+--+--=0dr2r drr(1-v) drи после интегрирования, учитываяO"rrнайдем(11.21),ь= 2с1+ с2 - О" о ln -,аrr0Еа(Т)f)а= 2(1-v)ln(b/a)·Из (11.22) и (11.24) получим условие rddurr 1rr=ro=(11.29)О"т, которому долж-на удовлетворять граница r = r 0 области упругой деформации, чтопозволяет в (11.29) записать 2С1/rб = 0" 0 - О"т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
