Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Такимобразом, в рассматриваемой ММ термоупруговязкой среды скачки [qi)и [ui] связаны между собой.10.4.Температурные напряженияв трубе из вязкоупругого материалаРассмотрим осесимметричную задачу нахождения температурныхнапряжений в толстостенной трубе внутренним радиусом а и внешнимрадиусом Ь, изготовленной из вязкоупругого изотропного материала.Примем, что труба находится в условиях n.11.осх:ого деформированногосостояния и осевая деформацшсezz =О. При использовании матема(10.10) среды Ке.11.ьвина - Фойгта и (10.30)стандартной динейной среды положим f:kk =О и Xkk =О, а при использовании модели (10.21) среды Мах:све.11..11.а будем считать, что akk =О,тичесх:их модедей (ММ)где()= д(·)/дt.При указанных допущениях для модели(10.10)получим(10.34)где О"тт и о-'Р'Р -радиальное и окружное напряжения соответственно;Л иJ.L -х:онстанты Ла.ме;ремещение; t* = J.LD/ J.L -rи Uт-радиальные координата и певре.мя.
заnаздывания; J.LD -параметр этоймодели, по физическому смыслу соответствующий дина.мичесх:ой вязх:ости среды; е(Т) -заданная темnературная деформация, зависящаяt = tjt*.от r и безразмерного времени10.4. Температурные напряжения в трубе из вязкоупругого материалаПодставивв первое уравнение(10.34)(5.42),371запишем8е(Т)8r8 )) (8 2 Ur 1 8ur Ur)+--( Л+2~-t ( 1+-=8t .8r 2r 8rr2-(3Л+2~-t)--=0.Применив к этому уравнению интегральное прообразование Лапла-са[22]""J00u(r, t)U(r,p) =ехр( -pt) dt,огде р-параметр преобразования, получим решение относительноизображения(10.35)Здесьrооj g-(T)(r',p)r' dr',Q(r,p) =j e(T)(r,l) exp(-pt)dtg-(T)(r,p) =аиZ(p)О=Л+ 2~-t(1+ р).Из граничных условийUrr=О приr =аиr=Ьнайдем постоянныеПосле их подсталовки в (10.35) и перехода к оригиналуur(r, t)из (10.34)получимUrr(l- а_ЗЛ + 2~-t -2) f(Qь(t)) _ f(Q(r,t))r2Ь2-а2r2'2ucpcpЗЛ + 2~-t= ( 1 + а ) f(Qь(t)) + f(Q(r,t)) _ f(e(T)(r,t)),2222Ь - аrrгдеt/(У)= У-~ jYexp(- Л+ 2 ~-' (t- t')) dt';2~-tо2~-trQ(r,t) =j e(T)(r',t)r'dr';аQь(t) =Q(b, t).10.
ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ372Для стандартной линейной среды решение задачи аналогично, нопри этом Z(p) = Л+ ~++ 2р,)р ивпутреппего параметра1t = tjt;, гдевремя релшх:сацииt; -Xij. При Ji = J.L имеемгде1 (t>.j.(Y) =У- 3>. + 2J.L>.(t-t')) dt.Уехр - 3>. + 2J.L1оДля решения задачи с применением ММ(10.21)введем фующиюпапряжепий F(r, t), зависящую от r и безразмерного времени t= t/(4J.LD2),=гдеD2- коэффициент в (10.21). Из (5.37) и (5.40) получимуравнение для F(r, t), которое после интегрального преобразованияЛапласа примет видd4J;; 2 d3 F 1 d2Ji' 1 dF2J.L(3>.+2J.L) d (, dе<т))(10.36)dr4 +;- drЗ + r2 dr2 + rЗ dr =- (Л+2J.L)rZ.(p) dr (---;г;:- ·Здесь F== F(r,p)- изображение по Лапласу оригинала F(r, t); Z.(p) =v2Л1+(1+v)p- l+(l+v)p' v= 2 (Л+р,)'- ~оэффициепт Пуассопа.Из решения (10.36) следуют выражения для изображений напряже-нийF· __ А1 2 А2J.L(3Л+2J.L) (Q(r,p) _-(т)( )~<rrprp-d22+ з+('+2)Z()2Еr,p'rrлJ.L * рr_1 dF At2J.L(3>.
+ 2J.L) Urr = ;:- dr = -;:2 + 2Аз- (>. + 2J.L)r2 z.(p) Q(r,p).__ d2J(10.37)После определения из граничных условий постоянных А 1 и Аз, подстановки их в(10.37)и перехода от изображений к оригиналам получим10.4. Температурные напряжения в трубе из вязкоупругого материала373гдеtf*(Y) =jУ3( ехр(- (Л + Z:l~; t'))о+ ехр( -t-t')) dt'.Осевые напряжения" можно определить из решения уравнениякоторое следует из(10.21).В частном случае изменения во времени температурной деформациипо закону E(T)(r, t)(10.10)= g(r)H(t), где H(t)- фуиrоцил Хевисайда, из моделисреды Кельвина- Фойгта следует, что(10.38)гдеJrQ(r) =1-V-)/1 (-)t = 1-2v+vexp (- -t .g(r')r' dr',1-2vаВ этом случае для ММ(10.30)= 1-2v(1-a/r Q(b)- Q(r))exp(-~)2222arr3Л + 2J.-Lа'Р'Р3Л+2J.-Lа для ММстандартной линейной среды имеем1- vЬ2- а21+ v 'r2)(10.39)= 1-2v (1-a /r Q(b)+ Q(r) _ (r))exp(- vt ),1-v(10.21)Ь2-а2r291+vсреды Максвелла-(10.40)где !2(t) = 2- (1 + v) ехр(- (l- v)t) - (1- v) ехр( -t).l+v10.
ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕдЫ374Сравнительный анализ(10.38)-(10.40)позволяет сделать следующие выводы. Математическая модель стандартной линейной среды приt=О дает то же самое распределение радиальных и окружных напряжений, что и ММ динейно-уnругой спдошной среды, а приt ---+ ооэтинапряжения стремятся к нулЮ. При t =О значения arr и а"'"'' найденныепо ММ среды Кельвина- Фойгта, отличаются от соответствующихзначений ММ линейно-упругой среды в1/(1- 2v) раз, но при t---+ ооэто различие стремится к нулю. Использование ММ среды Максвеллаприl=О дает нулевые напряжения, но припряженийarr(r, t)иacprp(r, t)t---+ оо распределения настремятся к распределениям напряженийдля линейно-упругой среды.10.5.Термовязкоупругая среда с памятьюПри построении определяющих соотношений тер.мов.аз?Соупругойсnдошной среды с па.м.нтью будем полагать, что в рассматриваемойобластиV-х;о.мпоненты.мации и абсодютна.нточки М ЕVE:ij(M,t) (i,j = 1, 2, 3) тензорате.мпература T(M,t), зависящиеи времениt,имеют место сходимостинепрерывны nриE:ij---+ ОtЕ.м,адой дефорот координат( -оо, оо), а приt ---+-оои Т---+ То, гдеТо-абсолютная темnература естественного cocmo.R'Itu.a среды, причемIOI/To« 1, О= Т- То.Эти предположения позволяют представить .массовую ыотность Асвободной энергии в видер[39]ttt-00-00-00A=JD· ·(t- t') дeij dt' + ~ Jdt'JR· · (t-t' t-t") дeij дekt dt" +~Jдt'2t]kl'дt' дt"t+JtдО dt' + -1 J dt' J.t.(t- t')'f/дt't2-оо-оо.
t")дО -дО dt"t' t-t/Зij t - t 't - tdt-оодeijдО "дt' дt" dt ' (10.41)-оогде р- пдотность среды, а фун-х;ции реда?Ссации= 1, 2, 3)дt' дt"'-ооJ ,J ( , ")t-т(t-Dij,1/J, т,~jkl(k, l=и /Зij, характеризующие термамеханические свойства среды,не зависят от деформации и темnературы, непрерывны по аргументамt - t' ~ О, t - t" ~ О и тождественно равны нулю при t- t' < О, t - t" < О.Подставляя (10.41) в общее диссипативное неравенство (4.23) ииспользуя свойства симметрии ~jkt(t- t',t- t") = Rijkt(t- t",t- t') и37510.5. Термовнзкоупруган среца с памятьюполучаемm(t- t1 , t- t") = m(t- t 11 , t- t 1 ),Jt(о ) ( (7"-D"~з~з1tD ..~ 1118c:kt 1+ !3··(0 t-t 1) -dt80 1) ac:ijkl (t-t1' 0)-dt8t1~з '8t18t+-00-оо( () Jt+m(t-t1 ,О ) 8еt 1 dt 1 + 181/J О --ооtt/Зij(t-t1 ,О ) 8c:ijt dt 1 -ph) 8еt881-оо(10 42 )-1(8Dij(t-t ) &ij 81/J(t-t') 80(t ) ) d, 6 _ qi 80 ~о8t8t1 +8t8t1t + D Т 8xi 7 '11•-ооaij-гдекомпоненты тенэора наnряжений;qi -энтроnии;осиh-системы nространственных координат;Oxiмассовая шютностьпроекции вектора nдотности теnдового nотока на6D-диссиnативна.нфункция, равнаяtt6 = 1 1 8(3ij(t- t ,t- t") ac:ij1 8е11 dtl d "_D8t8t 8tt1-ОО-00tt-~~ 1(814jkt(t-t ,t-t28t111дt:ij 8t:kl 8m(t-t ,t-t") 8(} 8(} )dtldt"8t1 8t11 +8t8t1 8t 11•1)-ОО-00Так как неравенствочениях ПрОИЗВОДНЫХ{10.42)8Eij 18tИдолжно выполняться при любых зна8(}18t,Не ЯВЛЯЮЩИХСЯ реактивны.м.иnере.м.енны.м.и, то достаточно, чтобы коэффициенты при этих переменных в{10.42)обращались в нуль.
Тогда получимtaij = Dij(o) + 18~jkt(t- t ,0) ;t~11tdt11--00{10.43)и)1,(10.43)t8Eij{10.44)1 т (t - t 1 ' о ) 8tl8(} dt 1 .{Зij (t - t ' о 8tl dt 11)1-ооИз1-ооtph = 1/J (о ) +/Зij(o, t- t С:::, dt(10.44)-ооследует, чтоDij(O)и1/J(O)являются начальнымизначениями компонент тензора напряжений и объе.м.ной nдотностиэнтропии.Полагая,что естественное состояние среды и являетсяначальным, можно принятьТ=constDij(O)=О и1/J{O)=О. Отметим, что прии определенном выборе функции ~jklизвестной теории наследственной упругости{10.43)[119, 120].следует из10.
ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ376Если в областии(10.42)д(}распределение температуры однородно, то дхiVс учетом(10.43)_Jtи(10.44)1=Опринимает более простой вид:1(дDij(t-t ) дc:ij дф(t-t ) дО(t )) d 1О8дtдt 1 +дtдt 1t+v'?::.1(10.45)-00Поскольку подынтегральная функция вмалости по реактивным переменным, а(10.45) имеет первый порядок8v -второй, (10.45) можнозаменить двумя неравенствами:_Jt11(дDij(t-t ) дc:ijдtдt 11дф(t-t ) дО(t )) d 1 ...._О+ дtдtlt ~и1:иv'?::О.-00Первое из этих неравенств будет удовлетворено для всех возможныхтер.м.о.м.ехани-чесх:их процессов при условияхап .. (t-'' дtt')= Оид'Ф(t-дtt')== О.
Поэтому с учетом ну.л.евого зах:она тер.м.одина.м.их:и можно nринятьDij(t- t 1 ) =О, ф(t- t 1 ) =О и вместо (10.42) записать8 DПри этом уравнение(4.22)д(} ::>.:Т дхi rQiо(10.46).зах:она сохранения энергии с учетом(10.44)примет видJ( (tа-Т дtао -fЗij t-t 1,О ) &ij)дqi +qv+8n,т t-t 1,О ) дtдt 1 dt 1 =- дхi1(( 10.47)-00гдеqv -объемная плотность мощности внутренних источников теплоты.Для приведенияк форме уравнения теп.л.опроводности по-(10.47)ложимtQi= -\(т) (J/\ij1) а ( ао ) 1t - t дtl дх j dt .-ооПодставляя(10.48)ваодхi(10.46)и учитывая, чтоJ\j (t-оо(т)аt - t ) дt 118v(дХjао )dt1'?::О, получаем'?:: О.(10.48)10.5.377Термовнзкоупругая среда с памнтьюв произвольный момент временифункция аеt1axiи интеграл будутиметь одинаковые знаки лишь в том случае, когда.
матрица с элементами л.~Г, соответствующими компонентам тензора теnлоnроводностисреды, неотрицательно определена и не изменяется во времени. Приэтих условиях (10.48) примет вид qi = -л.~J) aejax1 , следовательно, вместо(10.47)можно ~аписать уравнение теплопроводностиj (m(t-t ,0) atаеtа-Т at11 -1aeij) 1а ( (т) ае )fЗiJ(t-t ,0) at1 dt = axi Л.ii axi+ qv + &v.-ооОтметим, что второе слагаемое в подынтегральной функции характеризует тер.м.о.м.еханичес~ую свлзанность полей температуры и деформации. При переходе к изотропной среде с памятью в этом уравнении следует положить fЗij(t- t 1 ,0) = (З(t- t 1 ,0)&ij и л.iJ> = )..(T)&ij,где бij символ Кроне~ера, а в (10.43) принять ~jkl(t- t 1 ,0) == R1 (t- t 1 , О) бij бkt + R2(t- t 1 , O)(бik бjl +ба б1 k)·Рассмотрим некоторые следствия из условия б D ~ О для изотропнойтермавязкоупругой среды с памятью, положив(10.49)гдеei1 = const;ео= const; H(t) -фун~цил Хевисайда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
