Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Диссипативнаяфункция для такой среды примет видj j (a(З(t-t ,t-t") aeii _! aт(t-t ,t-t") ае) аеtб=Dt11atat1d 1d "_at1 at" t tat2-ОО-00-jtt/(~ aR1(t:_t ,t-t") aeii aekk aR2(t-t ,t-t") aeij aeij)d ld"2atat' at" +atat 1 at" t t .11-оо-ооПодставив(10.49)внеравенство бv ~О, получимо ео а(З(t, t) _ (Оо) 2 am(t, t) _2ekkatat_ ( о ) 2 aRo(t,t)о о aR2(t,t)О2 'ekkat- 2eijeijat"""'где Ro(t,t) = R1(t,t)+ 2R2(t,t)/3,акомпоненты девиатора деформации.Приef3 =ef1 =(10.50)ei1 - e'kkбiз/3, k = 1, 2, 3, -О и неравных одновременно нулюekkи ео из(10.50)следуют ограниченияaRo(t, t) ~о иat....:am(t, t) ~at....: 0.(10.51)10. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ378Если при этом представить2 о ео (д{З( t, t)fkkдtв виде(10.50)_ дm(t,t) )дt2'то получим ограничение(В частном случаед(З(t,t))2дtfkk = 8°2дRo(t,t) дm(t,t).дt"....=О из(10.50)дR2(t,t)дt(10.52)дtследует, чтоО(10.53)~ .Пусть свободная от напряжений среда находится в однородном полетемпературы, причемO(t) = 8° H(t), 8° = const.
ТогдаDij(O) =О получимиз(10.43)дляизотропной среды с учетом CТij =tдRo(t-t',O) дfkkdt'=(З(O t)Oo.дtдt''J-00Этому равенству при условии {З(О,t) =а~) Ro(t,O), где а~)= constте.м.пературный коэффициент объе.м.ного расширения среды, удовлетворяет очевидное соотношение C:kk(t) = а~)ео H(t). Если же это услоev = ekk оттемпературы не удается выразить при помощи а~)= const.вие не выполняется, то зависимость объе.м.ной дефор.м.ацииВ механике сплошной среды широко используется условие неотрицательности работы, совершаемой напряжениями на соответствующихдеформациях. Это условие для среды с памятью при изотермическомдеформировании имеет видJ.t·(t') дc:ij(t') dt' >-о(1~)дt'7(10.54)'огде моменту времениt =О соответствует естественное состояние.новим связьс условием, накладываемым на объемную плот(10.54)1ность рА свободной энергии.
При д(} дt= О и д(}1дхi=Ованием по времени общего диссипативного неравенстваУ стаинтегриро(4.23)можнополучитьttJбD(t')оdt' =J-рА + CТij(t') дc:~t~t') dt' ~ 0.о(10.55)ТермовяЗiюупругая срЕЩа с памятью10.5.Если потребовать, чтобы рА ;;?:: О, товием выполнения(10.54),(10.55)379будет необходимым услооднако выполнение(10.54)не обеспечиваетнеотрицательности объемной плотности свободной энергии.Отсюдаможно заключить, что требование рА;;?:: О является более жестким ифизически более содержательным, чем требование неотрицательностиработы.В случае изотерМического деформирования изотропной среды спамятью вместо(10.41) с учетом Dij(t- t') =О получимJJtрА -t(R1(t-t',t-t") дeii дgkkдt' дt"2+R ( _, _ ")дgij дgij) d 'd"2 t t 't tдt' дt"t t .-оо-ооgij(t) = gi_jH(t), gi_j = const, требование рА;;?:: ОR1 (t- t', t- t");;?:: О и R2(t- t', t- t");;?:: О, а значит,Отсюда следует, что приприводит к условиямиRo(t- t', t- t");;?:: О.Таким образом, при ограничениях(10.51)и(10.53)функции релаксации должны быть неотрицательными убывающимифункциями времени.
Принциn затухающей nа.м.нти накладывает дополнительно требование неотрицательности вторых производных этихфункций по времени.Для рассматриваемой термавязкоупругой среды с памятью можно получить уравиени.а движения в nере.м.ещени.ах, если подставить(10.43)в(3.62).Для полученных уравнений и уравнения теплопроводности остаются в силе -х:раевые условия(5.10)-(5.12), (5.20) и (5.21).В заключение рассмотрим наиболее широко используемые функциональные связи между -н.аnр.нжение.м.
ст(t) и дефор.м.ациейg(t)в случаеодноосиого наnр.нжеи-н.оzо состояния. Обозначив функцию релаксациизапишемст(t) =tj ф(t- t') д~~~') dt'.оЕсли принятьгде значения[119]Tkопределяют спектр вре.м.е-н. рела-х:сации, аmk -экспериментально определяемые коэффициенты, то получим так называемую10. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ380экспоненциальную функцию релаксации. При К-оо спектр времен релаксации становится непрерывным и функция релаксации принимаетВИД[119)001/J(t) = 1-1 В(р) (1- ехр( -pt)) dp.оПри иной форме связи1t1/Joa(t) = Г(l- ,g)&(t') dt'---atf (t- t')f3'огде1/Jo = const >О; ,g Е [0, 1);100Г(х) =sx-lexp(-s)dsогамма-функция, причем Г(l)Ф=1и Г(l+ х) = хГ(х),функция релакгfЭсации -ф(t) = tiЭГ(lo- l3) порождена оператором Абеля [119] 1{3 = Г(l- l3).Возможно также применение комбинаций рассмотренных функций.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ11.НЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯСРЕДЫХарактерной особенностью уnругой сnлошиой среды являетсяполное восстановление формы и объема деформируемого тела послеснятия приложенной к нему нагрузки, т.
е. упругая дефор.мацин полностью обратима. Неупругал дефор.мацин связана с возникновением намикроуровне необратимых смещений вследствие разрыва межмолекулярных и .межато.мпых связей, движения дислох;аций и других явлений(1.4, 1.8).В этом случае говорят о иеуnруго.м. дефор.м.ироваииисплошной среды, различая пласти-чесх;ую деформацию и деформациюползу-чести.11.1.Простейшие моделипластического деформированияПри пеупруго.м дефор.мировапии различные материалы ведут себяпо-разному. Их поведение зависит от структуры материала, условийего работы в конструкции и приложенной нагрузки.
Изучение неупругих свойств материала начинают с проведения испытаний образцов приодноосном нагружении (как правило, растягивающей нагрузкой). Получаемые в результате испытаний диагра.м..м.ы дефор.м.ироваии.н затем аппроксимируют различными зависимостями между папрлжепие.ма и деформацией с. Эти зависимости при отсутствии явления ползу-чести и представляют собой .мате.мати-чесх;ие .модели (ММ) nласmичеспого дефор.м.ироваии.н материала при одноосном нагружении. Графическое представление некоторых таких ММ приведело на рис.11.1.Одним из основных параметров ММ идеальпой уnругоnластичеспой среды (рис.11.1, а)является nредел menyчecmu ат, равныйнапряжению при растяжении (или сжатии) образца, соответствующему началу пластического деформирования.
До достижения этого предела (при 1а 1 < а т) среда является липейпо-упругой с .моду.ле.м продо.льмйупругости Е= ат/ст, пропорциональнымtg/3, а приlal =Uт .материалобразца деформируется без упро-чпепин. В случае разгрузпи (уменьшения абсолютного значения напряжения а) и возможного последующегоповторного нагружения при выполнении условияlal < атсреда ведетсебя как линейно-упругая с тем же значением модуля Е, поэтому в со-38211.МОДЕЛИНЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ СРЕДЫеета(JО"тtЕ1- +о--------.&итtt+оЕc;IP)1дг-(J(71tс;!Р)1Ее16ЕеРис.11.1ответетвин с законом Гух:а упругая деформация с;(е)сохраняет свое абсолютное значение lc:~p) 1 == afE.При этомlc:II- С:т накопленная перед разгрузкой n.л.астичесх:ая деформация, называемая в этом случаеосmаmо'Чной.Отличие ММ ynpyгon.teacmи'Чecnoй среды с уnро'Чнением отММ идеа.л.ьной уnругоn.л.астичесх:ой среды состоит в том, что пластическое деформирование происходит при возрастании нагрузки ивыполнении условияlal>ат.
Среду называют ynpyгon.teacmu'Чecnoйс линейным уnро'Чнением (рис.с:=( С:т +11.1, б),lal- l7т)Е'если(11.1)sgna,где Е'= const коэффициент уnрочнения, пропорциональный tg/3';sgnx- фунпци.а знапа числах: sgnx = 1 при х >О, sgnx = -1 прих <О и sgnx =О при х =О. Если после достижения деформации с:1, вызванной напряжением а 1 , происходит разгрузка, то среда ведет себякак линейно-упругая с модулем Е, но сохраняет остаточную деформацию с:~р) = с:1 - а1/ Е.
При последующем повторном нагружении впервоначальном направлении образца материал деформируется упругододостижениянапряженияа1,прикоторомначаласьразгрузка.Значение а 1 можно рассматри13ать как значение нового предела текучести, превышающее первоначальное значение, т. е.
материал получилуnрочнение путем предварительного пластического деформирования.Приlal > а 1и дальнейшем увеличении нагрузки снова вступает всилу линейная зависимость(11.1),поэтому уnро'Чнение и называютлинейньш. Оно может быть как изотроnным, т. е. не зависеть от на-11.1. Простейшие модеJШ пластического деформированияправления повторного нагружения,так ианизотроnны.м.,383связаннымс проявлением эффекта Баушингера. В последнем случае материал врезультате пластического деформирования приобретает деформационную анизотроnию.Если после достижения Предела текучести при возрастающей нагрузке зависимость напряжения от деформации становится нелинейной (рис.11.1, в),т. ё. материал обладает не.ttuнейны.м.
упро'Чнение.м., топоведение такого материала описывает ММ упругоnдасmи'Ческой среды с нединейны.м. упро'Чнение.м.. В этом случае коэффициент упрочненияЕ'= аа /ас: будет переменным, зависящим от текущего значения с: (илиа). Процессы разгрузки и повторного нагружения эта ММ описываетаналогично ММ ynpyгon.ttacmu'Чecкoй среды с упро'Чнение.м..Для общего случая ММ уnругоn.л.асmи-чеспой среды (рис.11.1, г)характерно отсутствие четко выраженного предела текучести, т. е. пластическая деформация возникает при любом отличном от нуля значении а.
При нагружении зависимость между напряжением и деформацией нелинейна, поэтому и упрочнение материала нелинейное. Разгрузкадля такой среды происходит по закону Гука с модулем продольнойупругости Е, пропорциональнымtg/3 (/3 -угол наклона касательной к диаграмме деформирования в начале координат). При повторномнагружении в первоначальном направлении пластическое деформирование продолжается после достижения напряжением значения а1, прикотором началась разгрузка.Если при пластическом деформированииlc:1l >> С:т,что характернодля некоторых технологических процессов обработки материалов, томожно иренебречь упругой деформацией и при отсутствии упрочненияматериала использовать ММ идеальнойсреды (рис.11.1, д),жесmпоnласmи-чеспойа при наличии упрочнения- ММ жесmпоnласmи-чеспой среды с нелинейны.м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
