Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 63
Текст из файла (страница 63)
ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ348имеющее два решения: тривиальноеp 2 jp 1 = 1,означающее, что в одномерном потоке газа параметры состояния не изменяются, и решениеР22к.М~- к.+ 1к.+PI(9.36)1характеризующее изменение давления газа в прямом скачке. Используя(9.36)и привлекаяv2PIи первое уравнение(9.33),находимк.-1+-2м~=-=----~Р2Отсюда с учетомVI V2(9.8)=к.+1(9.28)(9.37)следует соотношение Прандm.л.н122v2 2v 12 1 + -к-2- м 12а 02 2ТоVI V1 = М~к,+ 1= а1 Т1 (К.
+ 1) = К. + 12= а*'2где а 0 - скорость звука в заторможенном потоке, а а*- х:рити-чесх:аясх:орость звух:а. Таким образом, еслиv1>а*, т. е. относительно фронтапрямого скачка те-чение сверхзвуковое, то за прямым скачкомт. е. те-чение дозвуковое. Из(9.36)и второго уравнения(9.37)v2<а*,имеемТак как p2 jp 1 ~ 1, то М~ не может быть меньше единицы, а М~ не можетбыть больше единицы и меньше (к.
-1)/(2к.). При отсутствии скачкаР2/Р1=1иМ1 = М2. Следовательно, (к. -1)/(2к.) ~М~~ 1 ~М~< оо.В отличие от геометрической интерпретации скачка как поверхности разрыва физически он представляет собой очень узкую зону, вкоторой происходит резкое изменение скорости и параметров состояниягаза.
Для оценки толщины б* этой зоны приравняем перепад давленияЬ.р = Р2- Pl на фронте прямого скачка напряжению а-=1-LD(VI- v2)/б*,обусловленному вязкостью газа, где /-LD- его динами-ческая вязх:ость.Тогда с учетом второго уравнения(9.34) получим б*= 1-LD/(PIVI)· Например, для воздуха при стандартных условиях 1-LD/ PI = 1,45 ·10- 5 м 2 jcи к.= 1,4 при М1 = 2 (VI = 683 мjс) 5* = 2,54 ·10- 8 м, что на самом деле соответствует весьма тонкому слою, который можно рассматриватькак поверхность разрыва.
Следует отметить, что при высокой скорости9.3.газа (М1> 5)Скачки уплотнения и ударные волны349необходимо использовать уравнение состояния реаль'Н.огогаза, учитывать процессы диссоциации и ионизации газа при высокойтемпературе, а также вре.мл рела-х:сации его параметров в тонком слоескачка уплотнения[7].Более общий случайторого (позиция1посой спачоп уrмоmпени.н, фронт ко-на рис.9.5)располагается наклонно к направлению скорости v1 невозмущенного газа и образует с этим направлением угол а. При переходе через косой скачок касательная к фронтусоставляющая скорости остается неизменной, т.
е. viт) = v~т) = v(т) == v1 cos а = Vz cos f3, а нормальная составляющая терпит разрыв, причемvln) = щsina > v~n) = vzsin,В. Для вычисления изменения параметровсостояния газа при переходе через косой скачок в (9.36) и (9.37) необходимо использовать нормальные составляющие скорости:pzPl2к(М1 sina) 2-к+ 1=--~----~-------к+1Plv(n)tg,В 2 +(к- 1)(MI sina) 2-=-2-=--=pzv(n)1к+1tga(9.38).
,8) 2 2 +(к -1)(М 1 sina) 2(м zs1n=.,2к(М1sша) 2 - к+ 1Т2(2к(МI sina) 2 - к+ 1) (2 +(к -1)(Ml sina) 2 )=(к+ 1) 2 (MI sina) 2Из второго уравнения(9.38)для угла е отклонения потока газа припереходе через косой скачок получим_ v~tg е - -_ (,В) _ tg а - tg f3 _ М[ sin 2а - 2 ctg а- tg Q оv~1+tgatgf3 М[(к+соs2а)+2Отсюда при е= О следует уравнение Mysin2a- 2ctga =О, один корень а=~/2 которого соответствует прямому скачку,v<n>2v<n>1.------------Рис.9.5а имеющий9. ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ350физический смысл второй корень а=arcsin(1/MI)представляет собойуг.о.л, Маха, соответствующий распространению малых возмущений присверхзвуковом течении.
Так как существуют два значения а, при которых поток газа имеет нулевое отклонение, то это означает, что дляданного значения М1 может существовать максимальный угол (}шах отклонения потока.Предположим,симметричночто клин с полуугломотносительноимеющего скорость v1.на рис.9.6,однородногоЕсли(}< (}max,(}при вершине размещенсверхзвуковогопотокагаза,то косой скаЧок (позицияа) присоединен к передней кромке клиначение за скачком параллельна поверхностям клина,12, так, что теа давление вдольклина постоянно. Если же В> Вшах, то возникнет отсоединенный скачок уплотнения с криволинейным фронтом (позиция1расположенный на пекотором расстоянии перед клиномна рис.2.9.6, 6),Течение заотсоединенным скачком вблизи линии симметрии клина будет дозвуковым (область3),а на пекотором расстоянии от передней кромки клинаперейдет в сверхзвуковое (области4).На границах раздела5 этих областей скорость газа равна местной скорости звука.
На линии симметрииа= тг /2, а по мере удаления от нее а постепенно уменьшается.баРис.9.6При переходе от состояния перед скачком уплотнения к состоянию после скачка в газе могут происходить фазовые переходы илихимические реакции, связанные с подводом к газу теплоты, напримерконденсация содержащегося в нем водянщ'о парание (дефлаграция) и детонация взрывчатогоуравнения состояния(9.8)[7] или взрывное горегаза [103, 146].
Исходя иззаключаем, что в случае детонации скоростьраспространения возникающей ударной волны может достигать величины ..j2(~ 2 -1)qm [103], где qm -количество теплоты, сообщаемоеединице массы газа.9.4.9.4.Течение вевязкого газа в соплах351Течение невязкого газа в соплахОдним из приложений .м;ате.м;атичес~ой .м;оде.ttи (ММ) одномерноготеченияневлз~огогаза являетсяанализ его движениявканалахпеременнога поперечного сечени.я. Основной причиной изменения параметров газа при этом является изменение площади поперечного сеченияканала, а трение газа о поверхность канала и увеличение nограничного c.ttoл оказывают существенно меньшее влияние.
Однако, чтобы этифакторы не оказывали большого влияния на параметры газа, суммарные силы трения должны быть меньше сил давления и, следовательно,канал должен быть сравнительно коротким.Существуют два основных вида коротких каналов переменнаго поперечного сечения: сопла, в которых падение дав.ttенил р газа используют для увеличения его скоростиv,и диффузоры, в которых уменьшениескорости приводит к возрастанию давления.
Рассмотрим лишь течениегаза в соплах.При установившемся течении в любом поперечном сечении соплаFплощадьюмассовый расход газаm=pvF = const,где р- n.ttomнocmъ газа. Отсюдаd(pvF){9.39)=О, а из{9.2)для установившегася одномерного течения можно получить одно уравнение движениягаза в видеdp+pvdv=О.(9.40)dvо бъединяя два последних равенства в виде -dp= -- рvи учитывая(9. 23),dFdp-F и -находимрv dvр dp= - - /d2v _ 1) dv = dF,( а21JF{9.41)где а= y'dpjdp- .честная с~оростъ зву""а. Отсюда следует, что дляускорения газа(dv>О) приречного сечения сопла(dF > 0).(1J<а необходимо уменьшать площадь попе(dF < О),а при vВ связи с этим, учитываяжима течения:= а* = а),ченииvсопла,дозву~овое течение> а сопло должно расширяться(9.29),( v < а*можно выделить три ре< а),критический режимвозникающий в наименьшем по площади поперечном сеназываемом(v >а* >а), где а* -npumuчecnu.м,исверхзву""овоетечение""ритuчес""ал C'lf,Opocmъ зву""а.
Сопло, в котором скорость газа, увеличиваясь, становится больше местной скоростизвука, называют свержзвуповы.м (или соnо~~о.м Лава.л.JС).9. ОСНОВНЫЕ МОЛЕЛИ ГАЗОВОЙ ЛИНАМИКИ352Отметив звездочкой параметры газа в критическом сечении сопла,из(9.39)с учетомизоэнтроnичесtсогоа~а2=т.=Т(Р•) к.-1ри равенства М=(9.29)nроцессатеченияvja,а также в случаесовершенногогазаравенстваполучим2&L!_ = р*а* = р*а* = _.!_ (2 + ( /'\:-1 ) М ) 2к.-2.раМpvF*Эта зависимость при/'\:=1,4/'\: + 1Мпредставлена на рис.что одному и тому же отношению9.7.Из нее следует,F / F* соответствуют два значениячисла Маха М: одно при дозвуковом течении, другое- при сверхзвуковом.
В критическом сечении плотность массового расходадостигает максимального значения. Используяpv = in/ F(9.8), (9.9), (9.26) и приведеиные выше соотношения, найдем(9.42)где р0 и ТоR9--соответственно давление и те.мnература тор.моженш;газовал nостоянная.F1F.v4321о/\"L_./"132Рис.м9.7Из закона сохранения количества движения газового потока следует соотношение для приложенной к узлам крепления сопла реактивнойтяги Р= invk + (Pk- Pa)Fk,где индексомходном сечении (на срезе) сопла, а Ра -kотмечены параметры в выдавление окружающей среды.При изменении Ра в определенных пределах в окрестности значенияпроцессускорениягазавсверхзвуковомсоплеостаетсяPkнеизменным,9.4.Течение невнзкого газа в соплах353поскольку малые внешние возмущения, распространяющиеся в газе соскоростью звука, не могут проникнуть в расширяющуюся часть сопла.Однако при приближении значения Ра к Ро возникает система ска'Чковуnлотнения, которая входит в эту часть сопла, продвигаясь к критическому сечению[24].Используя первое равенство(9.42),можно показать,что при прочих рав_)lых условиях Р достигает максимального значенияприPk= Ра,что соответствует расчетному режиму работы сопла.Помимо геометрического воздействия на газовый поток путем измененияплощадипоперечногосечениясопласуществуютидругиеспособы достижения скорости течения газа в канале большей, чем скорость звука.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
