Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Расположение элементов в такой матрице представлено в табл.8.2.ТаблицаПараметрЕдиницаизмерения8. 2LрtТоvoРоСо/w/VDа(Т)D(C)(Т)avм1-3оо11222ооо1ооо-11-3кг1ооооо1о-1-2о-2-1-1-1ооооо1ооооооо-1скОпределитель, составленный из первых четырех столбцов ступенчатой матрицы, равен-1,матрицы размерностей rт.
е. отличен от нуля, следовательно, ранг= k = 4.Поэтому из n= 12размерных определяющих параметров в соответствиисП-теоремой можно составитьn=n - k = 8 независимых безразмерных комбинаций. Показатели Zjстепеней этих параметров в выражении для каждой безразмерной комбинации в форме(8.62)удовлетворяют однородной СЛАУ вида(8.63),матрица которой является матрицей размерностей.Для нахождения фундаментальной системы решений СЛАУ указанный определитель примем в качестве базисного минора матрицыразмерностей, поэтому неизвестные Zj(j = 1, 4) будут базисными [50].j = 5, 12, используя стуВыразим их через свободные неизвестные Zj,пенчатый вид матрицы размерностей:z1 = -zs- 2z6- zs- 2zg- 2z1o- 2zн,= -Zб- Z7,zз = zs + 2z6 + 2zs + zg + z10 + zн,Z4 = Zl2·Z2Значения свободных неизвестных в правых частях этих равенствможно выбрать произвольно.
Выбирая эти значения последовательно,так,чтобы одно из них равнялось единице,получаем из записанных равенств значения Zjа остальные(j = 1, 12)-нулю,показателейстепени, с которыми определяющие параметры входят в безразмерные3288.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОСТИТаб.л.ицаПараметрКомбинацияп1п2Пзп4п5Пвп1ПвLрtТо111оооооооо1-1о1-2-1-12о-1-2-2-2оо2ооооокомбинации Пm (т=в табл.8. 31, 8)voРоСоlwl1ооооооооо1оо1ооооооооооооооооовида(8.62).1(Т)а<Т)D(C)ооо1оооооооо1ооооо1оооооооо1IIDооооavЭти значения представлены8.3.При помощи этой таблицы запишем выражения для независимыхбезразмерных комбинаций: П1 = vot/ L, П2 = Pot 2 /(L 2 p), Пз =Со/ р, П4 == iwit 2 jL, П5 = vпt/L 2 , Пв = a(T)tjL 2 , П7 = D(c)tjL 2 , Пs = а(Т)То. Изних лишь П1 и П 6 совпадают с входящими вхронности Но и Фурьечто П2/ПI= Eu,FoП1/П5(8.60)числами гомосоответственно.
Но несложно установить,= Re,Пв/П1 = Ре, П5/Пв = Pr, П5/П7= Sc,П4Пs/(П5Пв) = Ra, П4Пз/(П5П7) = Rac, Пв/П5 = Lu. Важно подчеркнуть, что в качестве аргументов безразмерных функций О, С, р иVi, i = 1, 2, 3, которые удовлетворяют (8.60), наряду с безразмерными координатамиXiследует использовать ровно восемь независимыхбезразмерных комбинаций в виде Пm(m = 1, 8)или столько же полученных из них независимых критериев подобия.Отметим, что из полученных безразмерных комбинаций Пm можнотакже построить еще ряд определяющих критериев подобия, используемых при исследовании движения жидкости и процессов тепломассапереноса в ней.
Так, П4/ПI =lwiL/v5 = Frназывают -числом Фруда,характеризующим соотношение сил тяжести и инерционных сил. Влияние числа Фруда обычно существенно в случае, когда вес жидкости,вытесненной объемом твердого тела, сопоставим с весом тела (например, при движении воздушного шара или дирижабля). Если движениежидкости у поверхности твердого тела вызвано лишь объемными силами, то обычно не удается выбрать в качестве характерной скоростиvoкакое-либо определенное значение.
Тогда вместо чисел Рейнольдсаи Фруда при анализе подобия процессов используют -число Галилен23Ga = Re Fr= lwiL/vЪ= П4/Пg,которое служит мерой соотношениясил тяжести и вязкого трения. Если в двух характерных точках области, занятой жидкостью, известны значения температур Т1 и Т2 , томожно ввести -число ГрасгофаGr =3a~)IT1- T2IGa = lw~L IT1 - T2i·1/D8.6. Некоторые модели пограничноrо слоя329В более общем случае объемные силы могут возникнуть за счет неоднородностижидкости,чтоприводиткизменениюееплотностирассматриваемой области. Тогда используют 'Чtt.CJ&O Архи.меда=/1- /Ga = lw~ ~1- Р ,, где32PllvР12Р1PlвAr =и Р2- плотность жидкости в двуххарактерных точках этой области.8.6.Некоторые модели пограничного слояПри обтекании неподвижноготвердоготела потокомвяз-к:оuжид-к:ости в силу эффе-к:та прилипаиия скорость ее 'Частиц на поверхности тела равна нулю, а по мере удаления в глубь потока понаправлению нормали к поверхности постепенно возрастает, стремяськ пекоторому значению в обтекающем потоке.Прилегающую к поверхности тела область течения, в которой происходит наиболее существенное изменение скорости, называют nогран.и-чн.ы.м слое.м.
Подтолщиной этого слоя понимают расстояние от обтекаемой поверхности,на котором с обусловленной точностью завершается изменение скорости жидкости, хотя формально возмущение поля скоростей, вызванноеторможением частиц жидкости на поверхности тела, распространяетсяво всей области течения.В зависимости от режима течения различают ла.мин.арн.ый и mурбулен.mн.ый пограничные слои. Помимо nрисmен.н.ого nогран.и-чн.ого слоя, который образуется при обтекании твердого тела, возникаюттак называемые свободные nогран.и-чн.ыеслои при движении внеподвижной жидкости струй или вихревых следов, срывающихся споверхности обтекаемого тела[76).Здесь ограничимся рассмотрением.м.ате.м.ати'Чес-к:их .моделей (ММ) ламинарного пристенного пограничного слоя в случае установившегася течения несжи.м.ае.м.оu жидк:ости.Если вдали от обтекаемого тела течение жидкости является безвихревым, то такой режим течения сохраняется и за пределами пограничного слоя, в котором течение носит вихревой характер.
Рассмотримустановившееся обтекание тонкой пластины потоком жидкости, имеющим вдали от пластины вектор скоростиv 00 ,совпадающий с положительным направлением оси Ох1 пря.м.оугольиой систе.м.ы -к:оордииатОх1х2хз (рис.а уравнение8.10). В этом случае те'Чение жидкости будет плос-к:и.м.,(8.50) переноса эавихрениости примет виддWздWзд2 Wзд2 Wзv 1 - +v2- = v v 2- + v v2- ,8 х28 х18х 18х2где V} и v2 -(8.64)проекции вектора v(x1,x2) скорости на оси Ох 1 иОх2 соответственно, удовлетворяющие уравнению иеразрывиости в8.330МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОСТИРис.виде-~-дХ1~+ -дХ2= О;8.10wз =х:ине.мати-ч.есх:а.н в.нзх:ость;vv -~ --дХ1ддv 1 -единственная отличная от нуля проекция на ось Охз вектораХ2завихренноет и, перпендикулярного в данном случае плоскости х1 Ох2.Левая часть(8.64)характеризует интенсивность конвективногопереноса вихрей, правая частьпереноса.
Толщина6-интенсивность их диффузионногопограничного слоя зависит от взаимодействияэтих механизмов переноса. Оценим роль отдельных слагаемых в(8.64),введя масштабы входяiЦИХ в них величин: v00 = lvool для v1, т. е. v1 == O(v00 ), где О(·) - символ порядка величины; W 0 для Wз, L какхарактерный размер стенки в направлении оси Ох 1 и до как масштаб,характеризуюiЦИЙ порядок величинынеразрывности с учетом условияv26,т.
е. д=0(60 ).= О при х2 = ОИз уравненияследует, чтоХ2v2 =-д1J1Jот. е.v2/v00 =(8.64) имеют1дх dx2 = O(v00 6o/L),(8.65)0(6о/ L). Таким образом, оба слагаемых в левой частиодинаковый порядок О( v00 Wo/ L), а в правой части первоеслагаемое имеет порядок O(vvW0 jL 2), существенно меньший, чемпорядок O(vvWo/65) второго слагаемого. Поэтому первым слагаемымможно иренебречь по сравнению со вторым.В итоге,сопоставляяпорядки O(v00 Wo/L) и O(vvWo/65) величин слагаемых, сохраняемыхв(8.64),получаем6о -о(.~) -о( 1 )L У v;;;;LJReL 'где ReL= v 00 L/vv- -ч.исдо Рейнодьдса, включающее в качестве характерного размера протяженностьоси Ох1.
Из(8.66)Lобтекаемой стенки в направленииследует, что относительная толiЦИна пограничногослоя должна уменьшаться с увеличениемЕсли ввав(8.66)(8.51),(8.64),ReL.опустив первое слагаемое в правой части и использоперейти к фун-кции тох:а 'Фз(х1,х2), то получим уравнениед'Фз д2 'Фзд'Фз д2 'Фзд'Фздх2 дх1дх2 - дх1 дх~ = vv дх~8 67( .)8.6.Некоторые модели пограничного слояс 2рm-tи-чиы.м.и усдовия.м.и:1/Jз=д'Фз/ дх2 --+ 1J00 при х2 --+ оо, х1> О.О и д'Фз/ дх2>=331О при х2=О и д'Фз/ дх2 = V00 при х1О, х1>О;= О,х2>В постановку этой задачи входят величины, размерности которыхможно выразить лишь через две независимые единицы измерения:метр(м) и секунда (с), что позволяет перейти от уравнения в частныхпроизводных к обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ)с безразмерной искомой функциейJ('r/) = 1/Jз/ ..jVD1J00 Xl, зависящей отодного безразмерного аргумента 'r/ = x2Jv00 j(vDXl), который включаетоба независимых переменных х1 и х2. В таком случае говорят, чтозадача имеет автомодельное (<<самоподобное>>) решен.иеПредставляя[76,93, 129].и граничные условия через введенные безразмер(8.67)ные величины, получаем ОДУ2!с граничными условиями111( ".,)+ f (".,) !" (".,) = оf(O) = f'(O)=О и(8.68)f'(oo) = 1, причем условие при х =О удовлетворяется автоматически.Проведеиное с высокой точностью численное интегрирование ОДУ позволило получитьзависимостьf ('r/),по которой можно вычислить безразмерный профиль скоростиv = v1jv = f'('r/),представленный сплош00ной линией на рис.8.11.0,8/С погрешностью/ v21до1% изменение v1 / v 00 завершается при'r/ ~ 5, т.
е. в качестве толщины пограничного слоя можно принять б~ 5JvDxl/v 00 •По мере увеличенияXlрастет и толщина1//опограничного слоя, но безразмерный профиль скорости остается неизменным (подобным самому себе). Штриховой линией на рис.сленная при помощи (8.51)гдеv22Рис.8.1146 118.11показана вычи-1зависимость 'iJ2 = ~..;Re; = -2 ('rlf'('rl)Voof('rl)),число Рейнольдса, вычисленное по текущемуRex = v 00 x1/vD -значению координаты х 1 •верхности стенки----Таким образом, по мере удаления от повозрастает, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
