Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Отсюда следуют два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения (ОДУ)второго порядкаа 2 Х"(х)- JЗХ(х) =О,Общее решение Х(х)T"(t)- JЗT(t) =О.= С1 ch( ...f!Jxja) + C2sh( ...f!Jxja)должно удовлетворять граничным условиям в виде=О. При любом значенииС1=С2=О. ЗначениеJ3 =J3первого из нихX'CQ)=О иX(l) =>О Из граничных условий следует, чтоО также приводит к равенству С1Нетривиальные решения этого ОДУ существуют, если Оэтом случае общее решение ОДУ принимает вид Х(х)+ D2sin(y;xja).(8.37)D1> J3 =С2=О.-у; 2 .В= D 1 cos(y;xja) +Из первого граничного условия имеемвторого граничного условия следует, что=-=/=О, еслиD2 =О, а изcos(y;lja) =О,8.3. Неустановившееся движение идеальной жидкости в трубопроводет.
е. Wk= 1ra(2k -1)/(2l),иы.ми зишчеиил.ми, аk Е N. Таким образом,Wk являются собствеисобственными функциямиXk(x) = cos(wkx/l) -рассматриваемой краевой задачи307[35].Теперь общее решение второго уравнения (8.37) при (3 = -v.;~ можноTk(t) = ak cosv.;kt + bksinwkt, причем, согласно второмуbk =О. Общее решение второго уравнения (8.36)суперпозицию всех решений вида Tk(t)Xk(x), т. е .записать в виденачальному условию,запишем как.(т х, t)~= L." ak cos(2k- 1)1rat2k=1lcos(2k -1)1rx2l.Первое начальное условие приводит к равенству.(т О,х)~= L...."щcos(2i -1)1ГХi=l2l.0=т .(2k- l)1ГХlи2с учетом ортогональности собственныхУмножая среднюю и правую части этого равенства наинтегрируя по отрезкуфункцийJi=lо00получаем[85]~L." UilCOS[0, l],cos(2k- 1)7ГХ[2(2i- 1)1ГХ d[COSХ =2-2 -1UkCOSоj.l_ akl _Jо2(2k- 1)1ГХ d[Х =20(2k -1)1rx d _ 2lm( - )k+l1т cos2lх- (2k -1)7Гои в итоге находим искомую функцию.(т х, t)=4m 0 ~ ( -1)k+ 1(2k -1)1rat(2k -1)1Гх--;;:- L." 2k- 1 cos2lcos2lоk=1Зависимость давления жидкости отtи х определим при помощи(8.35):tp(x,t)=po+!(а 2 дm(x,t))-Foдхdt=о4m 0 a~(-1)k+l.= Ро + 7Г Fo L." 2k - 1 sшk=1(2k-1)7tat.
(2k-1)1Гх2lsш2l.8.308МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИдкОСТИДавление жидкости на перекрытом конце трубопровода равноо t)4тоа ~ 1. (2k- 1)7ratР ( ' - Ро + 1r Fo L....J 2k - 1 sш2l·(8.38)k=1Петрудно убедиться, что сумма ряда равна тоа/Fо при-т а/ Fo при0t Е (2l/a, 4l/a).tЕ(0, 2l/a)иЭто означает, что сразу после перекрытиясечения трубопровода в его сечении при х= lскачком возрастает давление жидкости на величину Ь..р* =то а/ Fo и сохраняет это значениев течение интервала времени Ь..t =2l/a,равного времени распространения возмущения от одного конца трубопровода до другого и обратно.Затем давление также скачком уменьшается на величину 2Ь..р* и т. д.Полученное приращение давления Ь..р* при перекрытии трубопроводасогласуется с известной фор.м.у.л.ой Жуповспого Ь..р*гидрав.л.ичеспого удара, гдеw =то j(pF0 )= paw [116] для-средняя в поперечномсечении трубопровода скорость движения жидкости перед его перекрытием.При анализе явления гидравлического удара в трубопроводе нарядус полученным выше решением в виде стоячих волн удобно использовать общее решение уравнений(8.36),[85]:описывающее распространениевозмущений в виде бегущих волн{JI,гдер(х, t)- Ро = !1 (х- at) + !2(х + at),т(х, t)- то= 91(х- at) + 92(х + at),!2, 91, 92-(8.39)произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции.Пусть в момент времениt=Ов сечении х=lтрубопровода возникают возмущения установившихся значений давления ро и массовогорасхода жидкости то, вызванные перекрытнем этого сечения.
Возмущения, равные Ь..р* =то а/ Fo и тh= -то, начинают в виде бегущихволн распространяться со скоростью а к открытому концу трубопровода. При этом, используяприat < l-х имомент времени(8.39),p(x,t) =t* = (l-получаем р(х, t)=Ро+ Ь..р*,at > l- х,< l/a распределения p(x,t)т(х, t) =ОРо, т(х,t) =то прих Ех*)/аи т(х,t) подлине трубопровода имеют ступенчатый характер (рис.(0, l).8.4).В зонеповышенного давления происходит возрастание в соответствии сплотностир жидкости и увеличение в соответствии сF(8.32)В(8.29)площадипоперечного сечения трубопровода по сравнению с площадьюFoпридавлении ро.Вмоментоткрытоговремениt = l /аконца трубопроводапри достижении бегущими волнамиповсейегодлинедавлениеравно8.3. Неустановившееся движение идеальной жидкости в трубопроводе309m•от--~•Xlо-р._.н--Ро--охРо~+ др*,••lх- -f"Рис.Ро11Ро+6.р--l: х1118.4а расход жидкости равен нулю, т.
е. жидкость неподвижна.Но в соответствии с граничным условием в сечении х=О давлениеравно р 0 и поддерживается постоянным, например, за счет постоянногоуровня Н жидкости в сосуде (см. рис.что в момент временидавленияРо- (Роt = l /а8.4).в сечении х+ Ь.р*) = -Ь.р*,=ОЭто приводит к тому,возникает возмущениекоторое в виде отраженной бегущейволны начинает распространяться со скоростью а к закрытому концутрубопровода.Распределение давления по длине трубопровода в момент времениt*= (l + х*)/а < 2ljaпоказано на рис.8.5. При х Е (О, х*) возмущениядавления разных знаков взаимно уничтожаются и давление принимает значение р 0 • При этом плотность жидкости и площадь поперечногосечения трубопровода принимают начаЛьные значения ро иFoсоответственно.
Это вызывает отраженную от открытого конца трубопроводабегущую волну возмущения расхода жидкости -m ,т.е. жидкость при0х Е(0,х*) движется в направлении, противоположном начальному.m•~х-о--•о_т_рнl: х1111~--РоРо+6.р----оРо~хРис.••z~ хf"'8.5При достижении отраженными бегущими волнами в момент времени t= 2l /а закрытого конца трубопровода давление по всей его длинеравно р 0 , а расход жидкости равенвияm(l, t)-m0•Но в силу граничного усло=О в этот момент времени при х= lвозникнет возмущение8.310МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОСТИ0расхода жидкости т(l, t)- (-т ) =то обратного знака, которое в виде отраженной бегущей волны начнет распространяться к открытомуконцу трубопровода. Однако этот процесс реально возможен лишь привыполнении некоторых условий.Дело в том, что благодаря инерции жидкости, вытекающей в момент временисечении х=lt = 2l1аиз трубопровода через его открытый конец, ввозникнет отраженная бегущая волна с возмущением давления -!::.р*.
Если окажется, что Ро-!::.р* ~ Рн.п, где Рн.п -давлениенасыщенных паров жидкости, то в ней начнется процесс образованияпузырьков пара, называемый павиmацией. Так, для воды Рн.ппри температуре273К и Рн.п= 600 Па= 3200 Па при температуре 298 К.
Значение средней плотности образующейся двухфазной паражидкостнойсмеси уменьшается по сравнению со значением ро, что приводит к увеличению давления и последующему захлопыванию пузырьков, вызывающему микроразрушения стенок трубопровода, если такое захлопывание происходит на их поверхности. Двухфазная газажидкостная смесьможет возникнуть и в случае, когда в жидкости растворен какой-либогаз (например, воздух). Ясно, что рассматриваемая ММ распространения возмущений в однородной жидкости не применима к двухфазнойсмеси и сохраняет адекватность при условии Ро- !::.р*> Рн.п·Если указанное условие выполнено, то в момент временибегущие волны с возмущениями-dp*t = 3l 1аи то достигнут открытого концатрубопровода. При этом по всей его длине давление равно Ро-!::.р*, расход жидкости равен нулю, а значения плотности р жидкости и площадиFпоперечного сечения меньше начальных значений.
В силу граничного условия р(О, t) =Ров этот момент времени в сечении х =О возникнетвозмущение давления Ро - (Ро-!::.р*)=!::.р*, которое в виде бегущейволны начнет распространяться к закрытому концу трубопровода и достигнет сечениях=lв момент временипроисходить увеличение значений р иF,t = 4lla.Одновременно будетчто вызовет распространениев том же направлении бегущей волны возмущения расхода жидкостито. В результате приt = 4llaпо всей длине трубопровода давление ирасход жидкости примут значения Ро и то, равные начальным. В этотмомент времени в сечении х= l.снова возникнут возмущения давления!::.р* и расхода жидкости -т и описанный процесс их .распространения0будет повторяться.Отметим, что у закрытого конца трубопровода знаки возмущениядавления в прямой и отраженной бегущих волнах одинаковы, а знакивозмущения расхода жидкости противоположны.
При отражении бегущей волны от открытого конца трубопровода, наоборот, возмущениедавления изменяет знак, а возмущение расхода жидкости его сохраняет.8.4.Движение вязкой несжимаемой жидкости311Если зафиксировать некоторое промежуточное сечение х=х* трубопровода, то изменения в нем во времениt давления и расхода жидкостибудут иметь вид, показанный на рис.8.6,с периодом41/ а.т. е. совершать колебанияВ действительности вследствие сопротивления придвижении реальной (вязкой) Жидкости в трубопроводе эти колебанияпостепенно затухают, поэтому давление жидкости в трубопроводе стремится к р 0 , а расход жидкости- к нулю.tРис.8.6Рассмотренный подход к анализу явления гидравлического удараможно использовать для нахождения распределения давления по длинетрубопровода при постепенном перекрытии его сечения х =8.4.l [35].Движение вязкой несжимаемой жидкостиПри одномерном прямолинейном движении частиц динейной в.нзх;ой несжимаемой жидх;ости примем, что в пр.нмоугодьной системех;оординат Ох 1 х 2 х3 проекции вектора v скорости на оси этой системыvt = v 2 =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
