Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 57
Текст из файла (страница 57)
рис.8.7)V2з2=l= 2x2f::.p слоя жидкости толщипри ее установившемся движении в плоской щеснеподвижными стенками, а также(8.49)и равенство~ dv~;: ), получаем ОДУс граничным условием vз(h) =О. После интегрирования находимПри установившемся течении в трубе с круглым поперечным сечением радиусомroусловием равновесия объема жидкости в виде8.4.Движение вязкой несжимаемой жидкости317цилиндра длиной l и радиусом r ~ ro будет 21Гrlт = 1rr 2 Ь,.р. Отсюда,заменив в(8.49) V2з на (1/2)dvз(r)/dr, получим ОДУ_ dvз(r) = дрrdr2J.Lvl+ 2kn( Ь,.рr )n2J.Lvlс граничнвtм условием vз(ro) =О и после интегрирования найдемОбъемный расход жидкости через трубунелинейно зависит от Ь,.р.Поэтому гидравлическое сопротивлениетрубы nри течении рассматриваемой жидкости будет зависеть от Qж(или от Ь,.р).Если при движении жидкости векторvее скорости параллеленпекоторой плоскости, например координатной плоскости х1Ох2, и независит от координаты хз, то говорят о nлоспо.м me-ч.eн:uu, причемv1 = v1 (х1, х2, t), v2 = v2(x1,x2, t), vз =О и в (8.13) (W ·У' ж)v =О, так какиенулевой может быть лишь проекция Wз ве-х:тораВ этом случае из(8.13)Wзавихреииости.следует уравиеиие переноса завихреииости(8.50)Помимо(8.50)в ММ, описывающую плоское течение несжимаемойньютоновской жидкости,выражениев8.1Wз =дv2дv1Х1Х2входят уравнение неразрывности(3.33)и-д - -д • Однако при этом сохраняется отмеченнаяпроблема корректной формулировки граничных условий для Wзна непроницаемых участках контура Г, ограничивающего двумернуюобластьF,в которой реализуется плоское течение.В плоском течении иенулевой является лишь проекция 'Фз векторнойфуи~ии то-х:а, причем(8.51)Следовательно, уравнение неразрывности в виде дvi/ дхi=О удовлетворяется тождественно.
Значение 'Фз постоянно вдоль каждой .линииМАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОдЕЛИ ЖидКОСТИ8.318mo-x:a,которая при установившемся движении совпадает с траекториейчастиц жидкости, а объемный расход жидкости между двумя любымилиниями тока пропорционален разности значений 7/Jз, соответствующих этим линиям. Учитывая(8.51)и выражение дляW3 ,получаемуравнение'V~'Фз = -Wз,которое в сочетании с(8.50)(8.52)в виде(8.53)формирует еще один вариант ММ, описывающей плоское течение. Прирешении прихладных задач граничные условия для Wз на непроницаемых участках контура Г обычно получают последовательными приближениями[125)из решенияЕсли при помощи(8.52)(8.52).исключить Wз из(8.53),то получим(8.54)где 'V~2[)4[)2[)2[)4= 'V~('V 2) = -[)-EJ + -[)44 + 2-EJхixi2 х22х2•-дифферен:и,иадъныи бигар-.мони'Чес-х:ий оператор, действующий в плоскости х1 Ох2. Несмотря наболее высокий порядок производных по nространственны.м -х:оордината.м. для(8.54)удается корректно сформулировать граничные условияв любой точке контура Г.Согласно физическому смыслу функции 7/Jз ее значение не изменяется на непроницаемом для жидкости участке контура, т.
е. 7/JзЕсли весь контур Г, ограничивающий односвязную областьF= const.(рис.8.8),является непроницаемым, то на нем можно принять 7/Jз =О. На участке Г. (рис.8.9),через который жидкость вытекает из области(илиFпоступает в Э'I'У область) и на котором задана скорость течения V0(P),РЕ Г., петрудно вычислить изменение функции токаs(P)7/Jз(Р) = 7/Jз(А) +1~ (P')n(P')0ds(P'),РЕ Г*'огде 7/Jз(А)- значение функции тока в точке А Е Г*' от которой отсчитывают длинуn(P')s( Р')дуги до текущей точки Р' Е Г* с единичным векторомвнешней нормали. Это позволяет задать одно граничное условие.8.4.Дзижение зязкой несжимаемой жидкости319АРис.8.8Рис.8.9Второе граничное условие на этом участке контура следует изи nринимает вид ~V::(<:i= v0•t(P),гдеt(P) -(8.51)единичный вектор внаnравлении касательной к контуру в точке РЕ Г., nовернутый относительноn(P) nротив хода часовой стрелки.F до решения задачи можно установить линию Госимметрии течения (см. рис.
8.9), то она будет совпадать с одной излиний тока, на которой Фз =Со= const, а в точках РЕ Го частицыЕсли в областижидкости не будут врашаться, т. е. Wз(Р) =О, и в соответствии с(8.52) \7 2 ф3 (Р) =О. Совмещая в любой точке РЕ Го оси координатс наnравлениями t(P) касательной и n(P) нормали к линии симметрии, в силу инвариантности дифференциального оnератора Лаnласаотносительно nоворота прямоугольной системы координат (см. П1.4)8 2 1/Jз(Р)nолучаем дt 2 (Р)+ ддп1/Jз(Р)2 (Р)2__-О. Но так как Фз(Р)- const, РЕ Го, тоa;~(h) =О и, следовательно, в качестве граничного условия можнод2 'Фз(Р)принять дп 2 (Р) =О.Аналогичные рассуждения можно провести nрименительно к свободной nоверхности жидкости (участок Г на рис.
8.8), если иренебречьтрением жидкости с воздухом (или иным газом) на этой nоверхности.Однако на участке Г*, соответствующем твердой стенке, в силу эффекта nрилиnания частиц жидкости в точках РЕ Г* векторжидкости равен заданному векторуv(P)скоростиv*(P) скорости движения стенки.Поэтому в соответствии с (8.51) на такой стенке ~~3/:/= v*(P). t(P),Р Е Г*.
Ясно, что в случае неnодвижной стенки ~v;:(~) = О.Таким образом, в каждой точке контура Г, ограничивающего двумерную областьF,удается задать по два граничных условия дляфункции Фз, необходимых для nостроения ММ, включающей(8.54).Эти граничные условия можно заnисать в достаточно общем виде8.320МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОдЕЛИ ЖИДКОСТИследующим образом:'Фз(Р) = 'ФЗ = const, а 'Фз(Р)=О22an (P)'Фз(Р) = fo(P),г де Г 1 -а-фз(Р)f 1 (Р)=an(P)'(8.55)'участки контура, соответствующие свободной поверхностижидкости или линии симметрии течения;fo(P)и-заданныеfi(P)функции точки на участках Г 2 контура, а число ФЗ обычно можнопринять равным нулю.Используя соотношенияrvr =-a-фjaz иrvz= aфjar [76],можноввести функцию тока 1/J(r,z) для осеси.и.иеmри-чного относительноосиOzmе-чени.н, в котором вектор скорости имеет в ци.л,индричес-х:ойсисте.м.е -х:оординат проекции Vr и Vz на радиальное и осевое направления соответственно.
Тогда уравнение неразрывностидтvr-1 -дr т+дvz-дz=(3.33) в виде(8.54 ) мож-О удовлетворяется тождественно, а вместоно получить уравнение относительнофункции по коорДинатамrиz1/J, содержащее производвые этойдо четвертого порядка включительно.Граничные условия для 1/J формулируются аналогично(8.55).Функциятока может быть введена и для осесимметричного течения, рассматриваемого в сферичес-х:ой систе.м.е -х:оординат.8.5.Модели тепломассопереносав несжимаемой жидкостиПри движении вязкой жидкости в силу диссипации механическойэнергии и теплообмена с обтекаемыми твердыми телами в общем случае может возникнуть леоднородное по объему жидкости распределениетемпературы, описываемое уравнение.м.
men.ttonepeнoca(8.8).В случаенесжимаемой изотропной жидкости и в отсутствие внутренних источников теплоты оно примет видr ..P"Vатат) =2нvVi·Vi·+а (л<)_т ат)( -+v·at,..,•XiXiXitаt}где р, Cv, J..LD и Л(Т) -t}ааi, j= 1, 2, 3,n.ttomнocmь, men.ttoe.м.-x:ocmь nри nостолнно.м.объе.м.е, дина.м.ичес-х:ал влз-х:ость и men.ttonpoвoднocmь жидкости; Ттемпература;t-время; щ- проекция вектора скорости на осьnрл.м.оуго.л,ьной систе.м.ы -х:оординат;'\lij = 21(дv·дх; + дv·)дх:-Oxi-х:о.м.nонентытензора с-х:оростей. В большинстве прикладных задач можно иренебречь диссипацией механической энергии и считать Л(Т)= const,что8.5.Модели тепломассопереноса в несжимаемой жщкости321позволяет представить уравнение теплопереноса в виде(8.56)где а(Т) = _х(Т) f(pev)- те.мпературопроводность жидкости.Помимо(8.56.)в .мате.мати-чесх:ую .моде.л.ь (ММ), описывающуюпроцесс теплопереноса, войдут уравнение неразрывностинени.н НавьеСтох:саболибо(8.50)-(8.52),(3.33)и урав(8.12), а в случае n.л.осх:ого те-чени.н - ли(8.51) и (8.54) с соответствующими х:раевы.миус.л.ови.н.ми.
Если в жидкости присутствует некоторое вещество, массу которого в единице объема определяет объе.мн.а.н х:он.цен.траци.н С,и происходят явления х:он.центрационн.ой диффузии, тер.модиффузии ибародиффузии, то ММ следуе-r; дополнить уравн.ен.ие.м переноса этоговещества вида(3.40)где D(C), D(T) и D(P) -х:оэффициен.ты х:он.центрацион.н.ой диффузии,тер.модиффузии и бародиффузии этого вещества; р-дав.л.ен.ие. Частоможно ограничиться учетом лишь явления концентрационной диффузии при условии D(C)= const, что приводит последнее уравнение к виду(8.57)В этом случае ММ описывает процесс теn.t~омассоnереноса внесжимаемой жидкости в предположении С<< р,что позволяет не учитывать влияние С на значения р, /1-D и аСТ).
Если движение жидкостивызвано внешними механическими воздействиями (например, nереnадом дав.л.ен.и.н, создаваемым насосом или возникающим при обтеканиитвердого тела), то говорят, что тепломассоперенос определяется вынужденной понвепцией. Плотность р несжимаемой жидкости в некоторой степени зависит от Т и С.Поэтому при их неоднородномраспределении в объеме жидкости возникает и неоднородное распределение р, что в поле силы тяжести или при наличии ускорения приводитк возникновению объемных сил и вызывает движение жидкости, называемое естественной понвепцией.
Если объем можно считатьнеограниченным (например, в случае тепломассопереноса в атмосфереили водоемах), то обычно говорят о свободной понвепции. При сопоставимом влиянии как вынужденной, так и естественной (свободной)конвекции тепломассоперенос определяется смешанной понвепцией.8.322МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОСТИИзменение плотности жидкости при сравнительно малом измененииТ и С можно представить в виде(8.58)где а{!'>- те.м.nературный ~оэффициент объе.м.ного расширения жидкости; ро плотность при температуре То и С= О. В неподвижной относительно выбранной системы координат жидкости, имеющейплотность ро, согласно(8.12), 8р /дхi0сmаmичеспое давление, Ьi и Wi -nлотности объе.м.ных сил иw= Ьi = щро,где рпроекции на оси0Oxi-гидровекторов Ьабсолютного ус~орения (например, еслина поверхности Земли ось Охз неподвижной системы координат направлена вверх, то w 3 = -go, где go ~ 9,81 мjс 2 -ус~орение свободногоnадения).
Тогда при неоднородных в объеме жидкости распределенияхТ и С можно принять в левой частис учетом(8.58)и равенства bi= WiP(8.12)vv -= const,а в правой частипроизвести заменугде р- давление жидкости. В итогегдер(8.12)примет вид~ине.м.ати-чес~ал влз~ость.Наряду с(8.56), (8.57)и(8.59)в ММ, описывающую процесс тепломассопереноса, должны входить так называемые услови.sс однозначности. Они состоят из геометрических, физических и ~раевыхусловий.В уравнениях(8.56), (8.57)и(8.59),входящих в ММ теплопереноса,перейдем к безразмерным переменным, выбрав в качестве масштабовдлины, скорости, давления, температуры и объемной концентрацииL, vo,ро, Т0 и Со соответственно (выбор масштабов целесообразносогласовывать с набором параметров, которые входят в условия од-8.5. Модели тепломассопереноса в несжимаемой ждцкости323нозначности).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
