Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Тогда из уравнени.н неразрывности (3.33) следует дvз/дхз ==О, т. е. v3 = vз(х 1 ,х 2 , t), а из (8.12) при i = 1, 2 и отсутствии объемныхсил (bi =О) получим, что давдение р не зависит от координат х1 и х2.В этом случае с учетом равенства dvз/ dt = дvз/ дt + vз дvз/ дхз = дvз/ дtиз (8.12) при i = 3 следуетдvзд2 vздtдхiдхi---vvгдеt -время;vvи р-1 др=----р дхз'i=1,2,(8.40)х;инематич.есх;а.н в.нзх;ость ижидкости, значения которых приняты постоянными.nдот'Н.остьТак как vз независит от хз, то при таком движении жидкости др/ дхз может зависетьлишь от времени, а в случае установившегася движения дрjдхзт. е. давление изменяется линейно вдоль оси Охз.= const,МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОСТИ8.312В .мате.матичесх:ую .моде.ttь (ММ) прямолинейного движения жидкости помимо(8.40)входят нача.ttьные и граничные ус.ttовил для искомой функции vз ( х1, х2, t) и заданная зависимость давления от временипри каком-либо значении хз.
Эта ММ описывает так называемое ламинарное (слоистое) течение жидкости в прямолинейных каналахпостоянного поперечного сечения площадьюшемся течении произведение Ь..рFF= const.При установив-lFdpjdxз, где Ь..р -=nерепаддавлепил в жидкости на пекотором выбранном участке канала длинойl,равно суммарной силе, уравновешиваемой силами сопротивлениядвижению вязкой жидкости со стороны стенок канала.Рассмотрим один из простых случаев установившегося течения, называемого течением Куэтта, когда канал в виде плоской щели сшириной зазора2hобразован двумя параллельными между собой иосью Ох 3 инеограниченными в наnравлении оси Ох1 плоскими стенками (рис.8.7).Тогда vз= vз(х2) и (8.40) становится обыкновеннымдифференциальным уравнением (ОДУ)d2 vзdx~=-Пусть стенка с координатой х 2с координатой х2 =Ь..рf.LDl= -h движется со скоростью v*, а стенкасо скоростью v*.h -(8.41)= const.Тогда для(8.41)в силуэффе~та при.ttипанил частиц жидкости к стенкам получим граничныеусАовил vз( -h)= v*,vз(h)= v*_ v* + v*Vз ( Х 2 ) 2На рис.8.7и решение+(v*- v*)x22hЬ..р(h2 - х~)+ 2f.LD[ .(8.42)приведены зависимости vз(x2)/v* при v* =О и различныхзначениях параметра 'Г/р= h2f)..pj(2f.LDlv*).При неподвижных стенках и Ь..р >О изную скорость жидкостиv = v3 (0) = h2(8.42)Ь..pj(2f.LDl), объемный расход-xzv•0,4Рис.находим максималь0,88.71,2313Движение вязкой несжимаемой жидкости8.4.жuдnocmu, приходящийся на единицу ширины канала,hQж2t::.pJvз(х2) dx2== --lh3Зр.v-hи среднюю скорость в каналеv= Qж/(2h) = h 2 t::.pj(Зp.vl) = 2v/3.В рассматриваемом случае отличны от нуля лишь компоненты2V2з = Vз2 =! dv~(x ) тензора скоростей, поэтому, согласно (8.7), отличны от нуля ~ол:~о компоненты a~f) = a~f) = 1-LD dvdз(x 2 ) тензора вязкихХ2наnряжений.
На неподвижных стенках (при х 2возникновению пасате.л.ьных наnряжений т== ±h) это приводит к(hjl)t::.p,действующих состороны стенок на жидкость в направлении, противоположном оси Охз,и создающих conpomuвлeнue движению, называемое гuдравлuчеспu.ч и характеризуемое отношением Rг3p.Dl/(2h3 ).Rг= D.p/Qж. В данном случае=При течении жидкости в трубе с круглым поперечным сечениемрадиусомroвместо(8.41)получим ОДУ~ !!._ (r dvз(r)) = r drгдеdrt::.pp.vl= const(8.43)'r - радиальная координата, отсчитываемая от оси трубы, с граничными условиями dvdз(r) 1r=Oтдующему решению:v3 (r)=О и vз(ro) =О, что приводит к сле-~p(r2=4 ~_;;;r2). В этом случае касательноенапряжение, действующее на жидкость со стороны стенки трубы инаправленное противоположно оси Охз, т= /-LD) dvdз(r) 1симальпая скоростьrr=ro= r ol t::.p,2мак-v= vз (О) = r~4JLD~Pl , а объемный расход жидкоститоQж = 271"Jvз(r)rdr =7rr6t::.p1-Lvl ,8оr~~pvv = -Qж2 = -= -_7tT 08!-Lnl2иR г = -~р = -8!-Lnl4- .QжИспользуя соотношение7tT02t::.
_ Лгl pvР- d 2 'гдеd = 2ro,(8 .44 )кроме гидравлического сопротивления Rг канала вводяткоэффициент Лг сопротивления движению жидкости. Из полученныхрезультатов следует, что для круглой трубы).. - 2d t::.p - 64г- lpv2 - Re'(8.45)8.314гдеReМАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОЛЕЛИ ЖИДКОСТИ= vdfvv -чис.ло Рейн.о.льдса, характеризующее соотношение между силами инерции и силами вязкости при течении жидкости.ЗначениеReиспользуют в качестве критерия, устанавливающего границу сохранения ламинарного течения в канале.
Для круглой трубыпринимают, что течение сохраняется при условииRe~хотя при2300,снижении возмущений на входе в трубу с достаточно гладкой поверхностью стенки удавалось сохранить ламинарный режим течения приRe ~ 50000 [116].При более высоких значенияхReпроисходит потеряустойчивости ламинарного режима и течение переходит в mурбу.лен.mн.ое, при котором частицы жидкости совершают неустановившиеся беспорядочные движения по сложным траекториям[113].Точное решение в аналитической форме удается получить для течения вязкой жидкости в цилиндрических каналах с поперечным сечением в виде кругового кольца, прямоугольника,угольника и эллипса[76].равностороннего треДля оценки сопротивления цилиндрическихканалов с произвольным поперечным сечением площадьюют(8.44) и (8.45), но в (8.44) и в выражение для Red = 2ro круглого поперечного сечения подставляютгидрав.личеспий диа.меmр dгFиспользувместо диаметратак называемый= 4F/Пж, где Пж- <<смоченная>> жидкостью часть периметра контура поперечного сечения канала.
Ясно,что для трубы с круглым поперечным сечением dг= d.Однако такаяоценка значения Аг может оказаться слишком грубой. Например, длярассмотренной выше плоской щели dгд_ 64р-= 4h и, согласно (8.44) и (8.45),_ 2J.Lvlv _ J.LvlQжvv dг 2vdг - -,;г- h3l pv2т. е. др/Qж = J.Lvlfh 3 , что в 1,5 раза меньше значения Rг, которое следует из точного решения.
Этот пример показывает, что гидравлическоесопротивление канала при ламинарном течении надежнее находить путем непосредственного анализа исходной ММ.Двустороннюю оценку гидравлического сопротивления канала произвольного поперечного сечения площадьюFс полностью смоченнымконтуром Г можно получить при помощи двойственной вариационнойфор.м.ы ММ, включающей а.л.ьтернативные фующиона.л.ы2др ) dFJ[vз ] -_ j((V2vз)2- J.Lvl vз'FгдеV2 =(д/дхi)еiJ[f] =-! l/12F-2J.Lv[35]dF,(8.46)дифференциа.л.ьный оператор Га.м.и.л.ьтона, действующий в плоскости х 1 Ох2 поперечного сечения канала.Первыйиз этих функцианалов допустимо рассматривать на функцияхv 3 (M),8.4.М ЕДвижение вязкой несжимаемой ж.и:цкостиимеющих кусочно непрерывные производвые и удовлетворяюF,щих условию 1Jз(Р) =О, РЕ Г, а второйf(M),315М Ена векторных функциях-удовлетворяющих уравнениюF,'V2 · f =д.pfl.
Уравиеиие.мЭйлера- Лаграижа по отношению к J[vз] является обобщение уравнения(8.41):(8.47)где \7~- диффереициальиый оператор Лапласа, определенный в плоскости х1 Ох2.Функция vЗ, удовлетворяющая(8.47),на допустимом множествефункций vз минимизирует функционал J[vз], а функцияна допустимом множестве функцийfпри этом выполняются неравенства J[vз] ~ J[vЗ] =I[f*]зуя теорему Остроградсх:ого -Гаусса и учитываяг де пf* = -pv'V2v3максимизирует функционал~I[f].(8.47),I[f],Испольнаходимединичный вектор внешней нормали к контуру Г. В итоге-получаем двустороннюю оценку для Rг в виде(д.р)22pvlJ[vз]Например,~ R ~_(д.р)2г2pnll[f] ·"'"'(8.48)в случае течения в канале с квадратным поперечным сечением площадью F = 4а 2 при выборе начала координат в=центре квадрата допустимой для J[vз] будет функция vз(х1,х2)= С(а 2 - xi)(a 2 - х§), С= const.
Подставляя эту функцию в первоеравенство(8.47),2J[vз]= ~аполучаема2222j j(4xi(a -x§) +4x§(a -xi) )dx1dx2-а-аJJад.р-С-а2-х1 ) аи з необходимого условиядJ[vз]дСf..LDl(а2 (2 - x 2)dx1dx22128 2 816д.р459f..LDl=-С а --С-а6.-а-а5станту С= 16aь,2:Vl,=wО минимума функцион:ала наидем кон-5 ( а2 ь,а затем вычислим значение J[vз] = - 181-lD! ) 2.3168.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОСТИВ качестве функции, допустимой дляПодставляя ее во второе равенствоI[f] = -J[f],примем(8.47),находимfдр+х2)= -l\l2 (х2Т.22~2(~~)]]4(xi+x~)dxldx2=-~(a~~f).2-а-аТаким образом, учитывая (8.48), имеем 1,5f.J,Dl/a4 ~ Rг ~ 1,8f.J,Dl/a4 .Из точного решения [76] следует Rг ~ 1,775f.J,Dl/a4 , что достаточноблизко к полученной верхней оценке. Для рассматриваемого канала= 2а, поэтому, согласно (8.45) и (8.45), получим Rг = др/Qж == 2f.J,Dl/a 4 , т.
е. примерно на 11% выше полученной верхней оценки ипочти на 13% выше значения Rг, которое следует из точного решения.dгПри прямолинейном движении вязкой жидкости в канале в некоторых случаях удается получить точное решение и для более сложныхпо сравнению с(8. 7)рео.логu'Чесrо,их уравнений, описывающих свойстватак называемых н.ен.ьюmон.овспих жидпосmей. В частности, этиуравнения применяют для описания свойств широкого класса сред, используемых втехникеи технологических процессах:расплавленныхметаллов, полимеров, нефтепродуктов, бетонов, силикатов, грунтов ит. п.[76, 148]. Некоторые из таких уравнений представлены в 10 и 11.Здесь в качестве примера рассмотрим уравнение-V2з = _2т +kптп,f.J,Dkп,n = const,(8.49)связывающее компоненту V2з тензора скоростей с возникающим приэтом касательным напряжением т.Учитывая условие равновесия 2lтной 2х2 и длинойли (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
