Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Однако при использовании приближенных методов анализа ММ значения дJ*[Т] и 81 неизвестны. Для достоверной оценки логрешиости К 2 (Т) достаточно располагать значениями дJ =J[T]- I[T,q]-2~ дJ*[Т] и Щ ~ 81. ТогдадJд (Т)~ 2-=,v·(7.78)~1Из(7.65)и(7.66)получимдJ =J( + \jqi(Т) дТ ) (Т) ((Т) дТ )дхj rij qj + \j дхi dV.vНахождение нижней оценки 3~ собственного значения3 1 рассмотрено в П2.4.Изложенный подход к построению оценки среднеквадратичной погрешности можно обобщить применительно к нелинейной ММ процесса7. 7.289Двусторонние оценки ивтегральвых дараметровтеплопроводности в однородном теле (см.Используя7.4).(7.38),запишемllJ*[1/J] = J.[1/J]- J.[1/J*] =~J((V'1/J)2- (V'1/J*)2) dV-vф-j jdV1/J*-7ivd1/J-Ф*Vгдеф(7.40)Ф*Sqфункция, минимизирующая функционалпомощи разложенийj dS j ]2 dф,(7.38).и фор.м.у.ttы Остроградс.".огоОтсюда при-Гаусса впервом приближении получим2дJ*[1/JJ =jVгде8 = 1/J -1/J*.j f~82 ds,((\78) 2 -q'v8 2 )dv-(7.79)SqПравая часть(7.79)представляет собой функционал,минимальное значение которого равноs1j82dV =в1 vLS.
2 (1/l),vг деLS. 2 ( ф) -среднеквадратичная погрешность полученного распределения1/J(M), М Е V = VUS, связанного с распределением температурысоотношением (7.36), а § 1 - наименьшее собственное значение задачидля однородного дифференциального уравненияV' 2 8(M) + (q'v(M) + В)8(М) =о,где\7 2-м Е v,дифферен:циа.ttьный оператор Лan.ttaca, с однородными граничными условиямид~~~) ni- f~(P)8(P) =О, РЕ Sq и 8(Р) =О, РЕ Sт.При анализе нелинейной ММ функцииq'v(M)но, располагая полученным распределениеми f~(P) не известны,1/J(M),М ЕV = V U S,ихможно в первом приближении заменить соответственно функциямиOqv(M,1!J)/д1fl/Ф=Ф(M)' М Е V, и дf2 (Р,1!J)/д1!J/Ф=Ф(Р)' РЕ Sq.
При этомдля S1 следует найти гарантированную нижнюю оценку §~ :::;; § 1 , азначение дJ*[1/J], согласно (7.51) и (7.52), оценить сверху разностьюдJ[T,q] = J.[1/J]- 1.[1/J,q] (см. 7.4 и 7.5). Тогда с учетом (7.79) получим3. 2(1/l):::;; 2дJ[T,q]/(B~ V).8.МАТЕМАТИЧЕСКИЕМОДЕЛИ ЖИДКОСТИСплошная среда, заполняющая некоторую пространствеиную область и рассматриваемая как изолированная тер.модина.мичесх:ая система, в соответствии с нулевым зах:оно.м тер.модина.мих:и имеет хотябы одно естественное состояние.
Характерным свойством веществав жидком и газообразном агрегатных состояниях является то, что оноимеет несчетное множество естественных состояний. В качестве постулата считают, что все состояния, для которых плотность р средысовпадает с начальным значением ро, являются естественными. Поэтому в качестве одного из аргументов ах:тивных пере.менных принимаютях:обианJ*= Ро/ р,определяющий в окрестности рассматриваемой точки изменение плотности среды при ее течении. В этой главе под жидх:остью будем понимать как жидкое, так и газообразное агрегатныесостояния вещества (см.1.1-1.3).Чтобы различать эти состояния, вгидромеханике собственно жидкости часто называют капельными8.1.[116].Жидкость как сплошная среда скоростного типаПримем в качестве аргументов ах:тивных пере.менных- .массовыхплотностей свободной энергии А и энтропиитензора напряжений- реах:тивные переJ* = р/ ро, равный отношению плотности !!.
средык значениюров естественном состоянии, тензор сх:оростей V, абсолютную температуру Т и ее градиент {}, т. е.;;и вектораh,.менные:qплотности теплового потох:аях:обианA=A(J*,Vkl,T,'!?k), h=h(J*,Vkl,T,'!?k),}(8.1)~iJ. = aij(J*, Vkl, Т, '!?k), Qi = Qi(J*, Vkl, Т, 'l?k),z, J, k, l = 1, 2, 3,где Vkt и aij х:о.мпоненты тензоров V и и соответственно; 'l?k иQi - проекции векторов соответственно iJ и q на оси прямоугольнойсистемы х:оординат Ох1х2хз.Подставив первое и третье соотношения(8.1)в уравнение(4.11)зах:она сохранения энергии (уравнение переноса~энергии), с учетом(4.21)запишемдАр дJ*dJ*дАdViJдАdt- aij\lij + р дViJ dt + р д'l?id'!?idt++ Р(дА + h) dT + pTdh + дqiдТdtdtдхi- qv=О, (8.2)8.1.гдеt -Жидкость как сплошная срЕЩа скоростного типавремя;объе.м:н.ал n.л.отность мощности внутреннихqv -источников теплоты.
Так как, согласногде ak -291(3.30),.м.атериа.л.ьные -координаты, определяющие положение -частицы жид-кости в на-ча.л.ьной -конфигурации, а Vk скорости на осиOxkдАр дJ*dJ*дАdt = р дJ* JдА*\tijdijИспользуя это равенство и вычитаяДюге.м.а в видепроекции векторасистемы nространственных -координат, то(4.19),(8.2)= Ро дJ* \tij&ij.из неравенства К.л.аузиусаполучаем_(род··t) дJ*дА -~··)V:·-p(дA+h)t)t)дТ'dT _dtдА d\tijдА diJiqi дТ-р---р-----~07д\tij dtоткуда в силу того, что скоростиреактивныхпеременныхдiJi dtdT/dt, d\tij/dtпроизвольны,следуютТ дхiиdiJi/dt(83)'·изменениядостаточныеусловияреализуемости рассматриваемого процесса:дА дАдА(дА • )qi дТh = - дТ, д\tij =О, дiJi =О, ~ij - Ро дJ* Oij \tij- Т дхi ~О. (8.4)Представим каждую функцию из(8.1)в виде(8.5)где первые слагаемые в правых частях равенств, отмеченные индексом0(·),не зависят отVkl, т.е.
представляют собой значения активныхпеременных при Vkl =О, а вторые слагаемые, отмеченные индексомзависят от vkl и обращаются в нуль при \tij =о. Тогда сучетом (8.4) получим, что A(D) =О, т. е. А= А 0 , а также h(D) =О,(-)(D)'т. е. h = h 0 • Введем диссиnативную фун-кцию дv = ~l.f)Vij и представимнеравенствов виде(8.4)о(дАо)~ij- po&ij дJ* Vijqi дТ+ дv- Т дхi~О.Так как первое слагаемое в левой части этого неравенства линейнозависит от\tij,то(8.6)292МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОдЕЛИ ЖИДКОСТИ8.Поэтому второй за".;он тер.м.одина.м.и".;и в данном случае принимаетq· дТвид дv--;j дхi~О. Если не учитывать взаимного влияния процессапереноса теплоты и диссипации энергии, то получим два неравенства:дD = cтff) Vij ~ О и-qi :~~ О, причем в случае дD > О говорят о вJСзnойжидпост и.Жидкость, как правило, изотропна, в связи с этим в линейномприближении теюор вJСзnих наnрJСжений имеет компоненты cтff) == Лv Vkkдij + 2J-Lv Vij, где Лv и f.-LD - коэффициенты, аналогичныех:онстанта.м.
Ла.м.е,(или сдвиговой)причем f.-LD принято называтьвJСзnостью.дина.ми'ЧеспойОсновной единицей измерения Лv иf.-LD является Па·с. Если принять, что р = -р0 дАjдJ* жидкости, то с учетом(8.6)давлениеполучим реологи'Чеспое уравнение(8.7)характеризующее линейную вJСзnую (или ньютоновспую) жидпость. Из(8.7)следует, что при контакте с твердой поверхностью всилу конечных значений напряжений возникает зффепт nрилиnаниJСчастиц линейной вязкой жидкости к этой поверхности, подтверждаемый экспериментально и объясняемый наличием сил молекулярногосцепления[73].Это означает, что вектор скорости частицы жидкости,находящейся в контакте с твердой поверхностью, совпадает с векторомскорости соответствующей точки этой поверхности.Если положить Аплотноститепловогов виде зах:она Био-= А( J*, Т) и определить зависимость векторапотокаотреактивныхФурье, то, учитываяпеременных,(8.2), (8.4)инапример,(8.7),посленесложных иреобразований можно получить уравнение теnлоnереноса в жидкостиdTрее: dtгде Се=[88]а2(ст) ат )= Лv Vkk + 2J-Lv Vij Vij + дхi \j-Тд 2 A(J* Т)дт 2 '-дхjдр+ qv -Т дТ Vkk,(8.8)теплое.м.х:ость nри постоянной деформа-ции.
Отметим, что в механике жидкости и газа используют терминыудельнаJС теnлоемпость nри nостоJСнном рбъеме или изохорнаJС теnлоемпость, соответствующая изохорному (при постоянном объеме среды) тер.м.одина.м.и-чесх:о.м.у процессу, и обозначение Cv.Подставляявье--(8.7)в уравнения(3.62),получаем уравнениJС НаСтопса- Дюгема для вязкой сжимаемой жидпости(8.9)8.1.гдеbi -293Жидкость как сплошная среда скоростного типапроекции вектора Ь n.л.отности объе.м.ных си.л.
на осиOxi·Полная система уравнений, описывающих течение жидкости, в рассматриваемом варианте .м.ате.м.ати-чес-х:ой .м.оде.л.и содержит шесть неизвестных:р, Т, р и три проекции щ вектораvскорости.определения необходимо совместно решить уравненияуравнение неразрывности(3.31),Согласно-р(8.7)+ 3xv vkk,(8.10)среднее нор.м.а.л.ьное наnрлжение в жидкости O'kk/3где XDииспользуя уравнение состолнилр= р(р,Т).=Для их(8.8), (8.9)= Лv + 2p,v/3 -=объе.м.наJС 6JСЗпость. Еслипринять, что это напряжение в движущейся жидкости определяется(как и в покоящейся) лишь давлением, то приходим к условию Стоп-саxv=О.
При этом с учетом равенства \lij = ~ (:;; + ~~~) изследуют уравненuJС НавьеdщдрСтопса[135]д ( /-LD ( дщ+дVj))д (2J.LDдVj) + Ьi·- -----р-+-=-дхidt-дхjдхjдхiдхi3Если жидпость несжи.м.ае.м.аJС и однородная (р= 0),а также 1-LDгде '\1 ж иv; -= const,то из(8.9)дхj= const,(8.11)дVjfдxj=(8.9) получимдифференциа.л.ьные оnераторы Га.м.и.л.ьтона и Лаn.л.аса,вычисляемые в системе nространственных -х:оординат с радиус-ве-х:торо.м. х. Вместе с(3.31)эти уравнения образуют замкнутую системуотносительно неизвестных функцийv(x, t)и р(х, t), однако не удаетсякорректно задать грани-чные ус.л.овил для давления на непроницаемыхграницах областиV,в которой рассматривается движение жидкости.При сравнительно малой скорости течения жидкости и выполненииперавеяства IVjдVi/ дхj 1кости[76],«iдщ/ дti говорят о ползучем движении жидописываемом уравнениямикоторые отличаются от(8.12)отсутствием инерционных сил, вызванных nереносны.м.
ус-х:орение.м, частиц жидкости. Придрд2v·bi=О и установив-шемся движении (дvifдt =О) имеем дх; = 1-LD дх;д~;. Дифференцируя8.294МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОСТИобе части этого равенства по Xi и суммируя по индексу(3.33)i,с учетомполучаем2-д-р- =J.LDдхiдХi82дхjдхj(дvi)=0,дхiт. е. для такого движения давление является гармонической функцией:V'~p =о.Если существуетnomeнцuaJ& Ввепmорногоnол.в объемныхсил, т. е. Ь= -У' жВ, то векторную форму (8.12) с учетQм (П1.21) иdv / dt можно представить в видедvjдt- v х (V' z х v) =-У' z(P/ р + lvl 2 /2 +В/ р) + (J.LD/ p)V'~v. Затемвыражения для полной производнойвычислим ротор левой и правой частей этого равенства и с учетом(П1.22) запишемд(V' z хдtv)- (Y'z · (V'zпоскольку-(У' ж· (V'z Х v))v+ (Y'z Х v)Y'z ·v+ (v · Y'z)Y'z Х v-х v))v = 88Wt + (v · У'ж)W- (W · Y'z)v = 1-LDv;w,рвектор завихренности, У' ж·Y'zXV = W -(V'zxv)(8.13)=О каксмешанное произведение векторов с двумя одинаковыми сомножителями (см. Пl.l), У'ж·V=О в силу(3.33)для несжимаемой жидкости,У' z х ((У' zf ( х)) = О для любой дважды дифференцируемой скалярнойфункции f(x) (см.
П1.4) и Y'zx(V'~v) = V'~(V'zxv) = V'~W. Так какдW jдt+ (v ·У' z)W =dW jdt, в итоге получим уравнение nереносазавuхренносmudWdt =где VD= J.LD/ р-2(W · Y'ж)v+IФV'zW,(8.14)пuне.маmuчеспа.в в.взпосmь, м 2 jc.Исключение давления из системы уравнений снимает и проблемуформулировки граничных условий для функции р(х, t) на непроницаемых границах областиотношению к функцииV,но порождает аналогичную проблему поW(x,t). Равенством v= У'жхФможно ввестивекторную фунпцuю топа ф, тождественно удовлетворяющуюТогда с учетом (П1.19) W = Y'zx(Y'zxф) =подстановки этого равенства в(8.13)(3.33).Y'z(Y'z ·1/i}- V'~ф. Послеполучим единственное уравнениеотносительно векторной функции ф(х, t), содержащее ее провзводныепо пространствеиным координатам до четвертого порядка включительно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
