Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 47
Текст из файла (страница 47)
е.Граничные условия и условия сопряжениярассматриватьсопряженнуюзадачу255радиационно-кондуктивноготеплообмена. Решение такой задачи существенно усложняется, если вполости находится поглощающая, излучающая или рассеивающая излучение средаS[2,46].При наличии вогнутых участков на поверхностипроисходит их взаимное облучение, что также приводит к необходимости построения ММ радиационно-кондуктивного теплообмена.Для произвольной точки обеих поверхностей тела запишем граничноеусловие(7.12)которое для последующего анализа удобно привести к безразмерномувиду(7.13)Здесь Bi =ahj>..(T); Xi = Xijh, h - характерный размер, в качествекоторого можно принять толщину тела (в общем случае переменную)в направлении, нормальном к срединной поверхности, одинаково удаленной от внешней и внутренней поверхностей тела и отмеченнойна рис.
7.3 штриховой линией; fJ=T/f, T=Tc+Arqnfa- приведенпая температура, которая позволяет единым выражением представитьтепловой поток, подводимый путем конвективного переноса, и погло=щаемое поверхностью излучение; N C:rcroT 3 ja.Если в (7.13) N{) 4 « 1- {), то собственное излучение поверхностиможно не учитывать. Тогда (7.13) по виду аналогично граничным ус.л.овил.м. третьего рода, но в отличие от (5.21) нелинейно относительнотемпературы Т.Чис.л.о Био Вi в(7.13)является отношением термического сопротивления hj )..(Т) тела в направлении нормали к срединной поверхностик термическому сопротивлению1j апри теплообмене путем конвективного переноса между телом и окружающей средой или теплоносителеми характеризует степень неравномерности распределения температуры тела в этом направлении.
ПриBi » 1 отводомтеплоты внутрь телаза счет теплопроводности можно пренебречь, приравняв правую часть(7.13)нулю, и считать, что на поверхности устанавливается равновесна.JС темnература Т, соответствующая равновесию конвективного илучистого тепловых потоков в рассматриваемой точке поверхности иудовлетворяющая неливейному уравнению4N19 + 19 =где N="€rcroT3 ja;означает,1,(7.14)19 =Т jT; Т= Те+ Arqп/Ii (черта над параметрамичто их значения в случае зависимости от температуры поверхности следует брать при искомой температуре Т).
Зависимость197.256МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОЛЕЛИ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОЛНОСТИо2Рис.отNпредставлена на рис.7.5.47.5Отметим, что случайBi » 1соответствует грани-ч.ны.м. условил.м. nервого рода.При Bi"' 1 уравнение (7.13) с учетом (7.14) при условииN~ Nпринимает вид:! щUXi= Bi(i9- {} + NfJг де Bi = Bi (1 + N (i9 + ""J32{}4-NfJ 4 )~ Bi(i9- fJ),(7.15)+ ""JfJ 2 + {} 3 )) , что вновь аналогично граничным условиям третьего рода.7.2.Модель термически тонкого тела(7.15) Bi « 1, то тер.м.и-ч.еское соnротивление тела с полорис. 7.3) в направлении нормали к его срединной поверхностиЕсли встью (см.мало по сравнению с суммарным термическим сопротивлением теплообмена на его поверхности.Тогда изменением температуры в этомнаправлении можно иренебречь по сравнению с разностьюравновесной те.м.nературы Т и температуры поверхности Т.IT- TlТакоедопущение характеризует .м.ате.м.ати-ч.ескую .м.одель (ММ) mер.мичеспи mон.пого тела (иногда говорят о теле, тонкостенном в тепловомотношении).
В этом случае граничные условия, заданные по этому направлению, необходимо объединить с диффере:t;циальным уравнение.м.теnлоnроводности в одно выражение, исключив в нем производные поуказанному направлению. Рассмотрим эту процедуру на примере областиVв виде длинной круглой трубы внутренним радиусомным радиусомR2,поперечное сечение которойR 1 и наружизображено на рис. 7.6.Трехмерное температурное поле в стенке трубы удобно представитьв цилиндри-ческой систе.м.е координатOr<pz,причем осьOzсовпадет сМодель термически тонкого тела7.2.Рис.2577.6осью трубы. В случае неустановившегося nроцесса теn.л.оnроводностираспределение температуры Т( М) (М ЕуравнениемV)в стенке трубы описывается[34]дт- =1-д- ( >..< т )rат) +--.л<)_1 д ( т дт) +-.л<)_д ( т дт) +qv,cvдtr дrдrr 2 дr.рдr.рдzдzt-гдевремя;qv -объе.м.ная n.л.отность мощности внутренних источников теплоты.
Материал стенки трубы будем считать однородным,т. е. его объе.м.ная теn.л.ое.м.?~:ость cv и теn.л.оnроводность >,(Т) не зависят от координат, но могут зависеть от Т. Умножим это уравнение наr и проинтегрируем по тотцине hR2= R2 - R1стенки трубы:J дТдТIдТI)cv-rdr = >..< т ) ( R2- R1дt _дr r=R2дr r=R1R1д+дr.рJ>..ст) дТR2д----dr+rдr.рдzR1+J т дт JR2R2.л< >-rdr+qvrdr.
(7.16)дzR1R1Граничные условия на каждой из боковых поверхностей трубыпримем в виде(7.12),ат ni =-аатlпричем -ана наружнои поверхностиXir r=R2uат ni =--аатlu-ана внутреннеи.Кроме того, при выполненииXir r=R1условия Bi1 примем, что Т не зависит от r. Тогда вместо (7.16)и«запишем.
ат _ __!_~(.л ст> ат) ln(R2/ R1)cv дt - R 2 дr.рдr.рh/ Rд (.л<т)дТ)+ дzдz+а(Т-Т)-€тстоТ _+2h+ qy.4(7.17)2587.ЗдесьRМАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ= (R1 + R2)/2- средний радиус трубы(см. рис.7.6);а- -х:оэффициент теn.л,ооб.мена наружной поверхности трубы со средой, имеющей температуру Те;-коэффициент поглощения наружной поArверхностью трубы падающего на нее потока излучения плотностью qп;er-коэффициент излучения наружной поверхности; О'о-nосто.ннна.нСтефана- Бо.л,ьц.мана (параметры, отмеченные штрихом, относятсяк внутренней поверхности трубы);Т= R2(aTc + Arqп)+ R1(a'T~ + A~q~)2aR'R2Qv=h~~ qvrdr.R1Отметим, что(7.17)отличается от уравнения для двумерного температурного поля Т(у, z) (у= R<p) в пластине толщиной h коэффициRR2RR+h/2wентом h ln R = h ln R _ h/ при первом слагаемом в правои части и21R = 1 + 2hRR2коэффициентамиR1hR= 1- R2и--в выражениях для Т, а иПервый из этих коэффициентов меньше единицы на величину не2( Rh-h) ,h/R 0,10,5%,€r·более2т.
е. приотличие не превышает<чтосущественно меньше той погрешности, с которой определены теплофизические свойства материалов. Таким образом, приh/ R < 0,1ММпроцесса теплопроводности в трубе с однородной по толщине стенкиhтемпературой можно заменить ММ этого ~роцесса в пластине той жетолщины, но при вычислении параметров Т, а и €r следует учитыватьразличие площадей наружной и внутренней поверхностей трубы.Когда тело имеет малое термическое сопротивление во всех направлениях, его температуру Т можно считать одинаковой по всемуего объему. При этом отдельные участки внутренней поверхноститела с полостью (см.
рис.7.3)S'будут находиться в состоянии температурного равновесия и при наличии в полости диатер.мичной средыAr(N')qп(N')=er(N')e7oT (N'), N'4Е S' (см. 7.1). В этом случае теплообмен излучением в полости не оказывает влияния на температурутела.Если внешняя поверхностьто приer = constEr = ( + ~вместо значения1 Clr -1))-l[38],гдеSerSo-тела имеет вогнутые участки,следует исПОльзовать значениеминимальная по площади певогнутая поверхность, <<обтягивающая>> такое тело.В результате интегрирования уравнения теплопроводности по объемуVтела с малым термическим сопротивлением получимСт dTSdt =~(~)а Т- Т -~4erO'oT ,[34](7.18)7.2.г де Ст =а=~Jcv dV -259полная теплоемкость тела;vjМодель термически тонкого тела~ &.S1 / aTcdS+ &.S1 / ArqndS+ &.S1 / qvdV.Т=adS,s~~SUS'Ясно, что в случае сплошного телаS' = eJ,vследовательно, интегралыпо внутренней поверхности исчезают.Когда условия теплообмена постоянны во времени t, т.
е. в случаеа = const и Т = const, температура Т тела при t ~ оо стремится кравновесному значению Т, определяемому из (7.14) при N = €ra 0T3 /&.и 19 = Т /Т. Если в некоторый момент времени, принимаемый заначальный (t = 0), температура тела То отличается от температуры Т,то связь междуиз решенияt и(7.18):текущим значением температуры1T(t)тела следуетT(t)1t=СтdТ€raoT 4 .S То &.(Т- Т) -При отсутствии теплообмена путем конвективного переносаT(t)=О) получим - - =То(St) -l/31 + 3€raoTJ--,Ст. Наоборот, если собственнымизлучением с поверхности тела можно пренебречь,зависимостиВеличину( St)~~T(t) =Т- (Т- То)ехр -&.
Ст .1/(&.S)(&. =то приходим к(7.19)можно рассматривать как термическое сопротивление при теплообмене путем конвективного переноса и проводитьаналогию этой величины с электрическим сопротивлением резистора.Это позволяет при использовании аналогии между полной теплоемкостьюСтиемкостью электрического конденсатора перейти от расчетной схе.м.ьz теплообмена тела (рис.7.7)к эпвива.аен.mн.ой э.аепmричеспой схеме (рис. 7.8). Эта схема представляет собой электрическуюцепь, состоящую из источника разности потенциалов дИ = [}- Ио,пропорциональной разности температур дТ =Т- Т0 , резистора сопротивлениемReи конденсатора емкостью Се. Аналогичными будут иРис.7.7Рис.7.82607.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИММ, описывающие процессы изменения температурынияU(t)ваемый телу, будет пропорционален силеа(7.19)T(t)и напряжеQ,при зарядке конденсатора, причем тепловой потокIeпередатока в электрической цепи,будет соответствовать зависимость~~(te )U(te) =И- (И- Ио)ехр - ReCe ,в которой масштаб для временимасштаба дляt,teв общем случае может отличаться отно должен удовлетворять условиюte/t =ReCeaS/Cт.Установленную аналогию между ММ принято называть э.л.ептротеn.л.овой.
Она позволяет для сложной тепловой системы построитьэквивалентную электрическую схему,включающую резисторы и конденсаторы, относящиесяк пассивным элех:тричесх:и.м. двухnолюсних:а.м.,а затем использовать хорошо разработанные и формализованные приемы получения ММ электрических цепей для построения ММ тепловойсистемы.7.3.Линейные модели теплопроводностиВ линейных .м.ате.м.атичесх:их .моделях (ММ) nроцесса теnлоnроводности в твердо.м. теле теплофизические свойства тела принимаютне зависящими от температуры, а условия теплообмена с окружающейсредой- зависящими от температуры поверхности тела лишь линейно.
В этом случае уравнение теnлоnроводности и граничные условиябудут линейными. Построение и анализ таких ММ в дифференциальнойфор.м.е подробно рассмотрены в литературе (см., например,[53,54,80]).Эта форма следует из(5.18), (5.20) и (5.21), если пренебречь первым(5.18). Для изотропной среды с теnлоnроводностью _\(Т) в (5.18) и (5.21) компоненты тензора теnлоnроводно~сти следует представить в виде -X~J) =_\(Т) дij, i, j = 1, 2, 3, где дij -слагаемым в правой частиси.м.вол Кронех:ера.
Интегральную и вариационную фор.м.ы линейныхмоделей процесса теплопроводности в однородном теле можно получитькак частный случай соответствующих форм нелинейной ММ (см.Более сложная ММ для неоднородного тела рассмотрена в7.4).7 .6.Здесь остановимся на построении для процесса теплопроводностив однородном изотропном теле варианта ММ в виде граничного интегрального уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
