Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Этот функционал будет строго выпуклымраспределение7.4. Нелинейвые модели теплопроводностивниз(М Е269[34], если при любых допустимых распределениях ф'(М)V U Sq) и {3 Е (0, 1) выполнено строгоенеравенствоф ф"(М)(7.39)где ф"'(М)= {Зф'(М) + (1- {З)ф"(М),левую частьR( Ф', Ф")(7.39),=1М ЕV U Sq.Подставив J*[ф] вполучим; f3 f3f ('\1 (Ф' - Ф"))2dV-v~~~~-J~J~~-J~~)~-J~Jh~-Jh~)~V'1/J"'1/J"Разложим зависимости'1/1 11Sq7fv ираспределения ф*(М) (М Еf2V U Sq)'1/J"от 'lj; в ряд Тейлора относительнои, предположив близость ф'(М)и ф" (М) к ф* (М) и ограничившись в разложении первыми двумяслагаемыми, запишем(7.40)где 'iiv = 'iiv(M,ф*) и q~ = Оqv/д'ФIФ='Ф*' м Е V; у;= 72(Р,-ф*) и л== дf2 /д'ФI'Ф='Ф*' РЕ Sq. Подставив (7.40) в выражение для R(-ф',-ф"),получимR(-ф',-ф") = 1 ; {3 rз(J ('\1(-ф'- 1/1")) 2dV--Jaqvv1д-ф 1/J=t/J*J('Ф'- Ф")2 dV- дf21('Ф'- 1/1")2 ds).д-ф 1/J=t/J•VSqОтсюда следует, чтоR( -ф', 1/111 ) >О, если выполнены неравенства(7.41)или равносильные им неравенствадqvlдТТ=Т•Если неравенствационала(7.37),~0,(7.42)MEV;д];l-дТ Т=Т*о р Е sq·~,(7.42)верны не только в стационарной точке функа на всем множестве допустимых функций Т(М), тоМАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ2707.(7.37)будет на этом множестве строго выпуклым вниз функционалом,ограниченным снизу, т.
е. будет иметь единственный минимум[12],соответствующий единственному решению задачи.Условияили на его(7.42)могут быть нарушены при наличии в объеме телаповерхностиисточников теплоты,мощность которых возрастает с повышением температуры Т. Такие источники могут быть,например, связаны с протеканием в материале тела экзотермическихреакций, скорость которых растет с увеличением Т в соответствии сзаконом Аррениуса пропорционально множителю ехр (п;>Оэнергия ах:тивации реакции, а kв--n; / (kв Т)), гдеnостоянная Больц.м.ана.
Аналогичная ситуация возникает при поглощении в объеме телаионизирующего излучения, когда коэффициент поглощения возрастаетс повышением температуры. Для электропроводных тел при постоянной плотности проходящего через них электрического тока мощностьобъемного энерговыделения пропорциональна удельному электросопротивлению. Она обычно возрастает с увеличением Т, что также можетстать причиной нарушения первого условияВторое условие(7.42)(7.42).выполняется для большинства известных законов теплообмена на поверхности тела. Например, при комбинированном теплообмене путем х:онвех:тивного nереноса и излучения (см.в случае стационарного процесса теплопроводности правая чась7.1)(7.29)имеет видh(P, Т)= а(Р, Т) (Те(Р)- Т(Р))-Е:т(Р,Т)О"оТ4 (Р)+Ат(Р,Т)qп(Р), РЕ Sq,где а- х:оэффициент теnлооб.м.ена с окружающей средой, имеющейтемпературу Те;E:rверхности; O"Q -nостоянная СтефанаиAr- коэффициенты-излучения и поглощения поБо.t~ьц.м.ана; Qп-плотностьпотока излучения, падающего на поверхность.
В этом случае получим8hат =8(а(Те-Т))ат- 4Е:тО"оТ3 -&rат О"оТ4+8Arат Qп.Влияние двух последних членов в правой части этого выражения обычно мало вследствие слабой зависимости E:r и Ar от Т для реальныхматериалов. Поэтому заведомо 8hf8T:::;; О, если~ повышением температуры Т поверхности возрастает плотнос·1ъ Qк= а(Т- Те) тепловогопотока, отводимого от поверхности тела посредством конвекции. Этосправедливо для различных режимов конвективного теплообмена, заисключением режима кипения жидкости на поверхности,от пузырькового к пленочному.щественно отрицательноусловия(7.42).[34],переходиогоВ этом случае значение 8qкf8T сучто может вызвать нарушение второго7.4.Нелинейвые мqцели теплопроводностиНарушение условий(7.42)271означает, что решение нелинейной задачитеплопроводности может быть не единственным или вообще отсутствовать.
В последнем случае функционал не имеет стационарной точки ине достигает экстремальных значений. При нескольких возможных решениях функционал имеет несколько экстремумов, причем устойчивымраспределениям температуры соответствуют его минимальные значения, а неустойч:Ивым- максимальные[34].(7.28) аппроксимировать производную по времени t соотношением дТ~М,t) ~ Tk(M)~Tk-l(M), М Е V, где Tk-1(M) и Tk(M)Если вttkраспределения температуры в теле в моменты времени= tk- 1 + Ь.tktk-1иtk =соответственно, т. е. в начале и в конце конечного промежутка времени Ь.tk, то обобщением(7.37)на случай нестационарнойзадачи теплопроводности в изотропном однородном теле будет функционалгде qv,k = qv(M, tk, Т)+ cv(M, Т) Tk(M) ~~k-I(M), М ЕV; J;,k == ];(Р, tk, Т), РЕ Sq, причем для п~рвого промежутка времени (kв'iiv,k(M, Т)значениюTk_ 1(М)0температуры Т (М), М ЕФункционалМ ЕV,(7.43)V.следует рассматривать на распределенияхудовлетворяющихстационарной точке= 1)соответствует начальное распределение(7.30)Tk(M)в видеTk(P) = ft(P,tk),Tk(M),РЕ Sт.
Вон достигает минимума при выполненииусловийкоторые следуют из(7.42).Благодаря тому, что теплоемкостьcvположительна и она увеличивается при возрастании температуры длябольшинства веществ, первое из этих условий будет не более жестким,чем первое условие(7.42).Для леоднородного анизотропного тела построение вариационнойформы ММ возможно в некоторых частных случаях зависимости компонент л~J> (М, Т) тензора теплопроводности от координат точки М Е Vи температуры Т [34]. Например, если л~J)(М,Т) = Aij(M)"X(T)(T), гдеAij(M) - компоненты симметричного тензора А(М) второго ранга, соответствующего положительно определенной матрице третьего7.272МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОЛЕЛИ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОЛНОСТИпорядка (см. П1.2), то, положив в (7.33)w=>.(Т) 8Т, вместо (7.37) получим-(Т) 2la[TJ=j((Л 2)vТдТ Аi·дТ -Jqv'X(Т)dT)dVдхi J дхjт.т- J dS J j;).(T) dT.(7.44)Т.SqОтсюда несложно перейти к функционалу для неустановившегося процесса теплопроводности, аналогичномуфункционал(7.42)нала(7.44)(7.43).При выполнении условийсохраняет экстремальные свойства функциа(7.37).7.5.Двойственная вариационная форма моделиПри количе~твенном анализе .м.ате.м.ати'Чесх:их .м.оде.л.ей (ММ) процессов теп.л.опроводности приближенными методами первостепенноезначение приобретают контроль сходимости последовательных приближений и оценка точности полученных результатов, позволяющаясудить о достоверности найденного температурного состояния тела.Осуществить контроль сходимости и получить оценку точности удается на основе двойственной вариационной фор.м.ы ММ таких процессов,включающей два а.л.ьтернативных фунх:циона.л.а, которые в своих стационарных то'Ч.х:ах достигают совпадающих значений, но для одного изфункдионалов оно является минимумом, а для другого-(см.
П2.3). Впри определен7.4установлено, что фунх:циона.л.(7.37)максимумомных условиях является строго выпух:.л.ы.м., т. е. имеет единственныйминимум, соответствующий истинному распределению Т* (М) (М Етемпературы в теле, занимающем областьим альтернативный по отношению к(7.37)VV)пространства. Построфункционал, достигающиймаксимума на истинном решении стационарной задачи теплопроводности.Расширим область определения функдионаланую функциюq(M)(7-.37),введя векторп.л.отности теп.л.ового потох:а, удовлетворяющуюусловиюq(M)= -Л(Т)(Т(М))"JТ(М),М Е VUSq,(7.45)где Л(Т)(Т) -зависящая от температуры теп.л.опроводность материала тела; '\1 дифференциа.л.ьный оператор Га.м.и.л.ьтона, а Sq ~ S участки поверхностиSтела, на которых заданы грани'Чные ус.л.ови.н7.5.видаДвойственная вариационная форма МQДели273(7.29).
Тогда вместо (7.37) получим функционал (аргументыфункций опущены)(7.46)где Т*- нижняя грань множества ожидаемых значений температурыв различных точках тела; qv(M, Т) - объе.м:н,ая п.лоm'Н.остъ мощностивнутренних источников теплоты; h(P,T) - функция, заданная вточках РЕ Sq в граничных условиях вида (7.29). Затем при помощивекторного множителя Лагранжа m(M), определенного в точках М ЕVUSq, введем условие (7.45) в (7.46):Jm · (q + Л(T)\i'T)dV.I2[T,q,m] = I1[T,q]-vРавенство нулю вариации этого фун:1щио·н,а.ла, иреобразованной припомощи формулы Острограас",.ого- Гаусса,б12[T,q,m,8T,8q,8m] =1(\7 ·m-qv )Л(Т)дТdV +v-J( + Л(Т)qVгдеn(P)J(\i'T) · дm dV-J(q-m) ·дqdV-vm ·n+ h) Л (Т) §Т dS = О,Sq-единичный вектор внешней нормали в точке РЕ Sq, дает условия стационарности \7 · m(M) = qv(M,T(M)) и q(M)= m(M),М Е V, а также m(P) ·n(P) =- h(P,T(P)), РЕ Sq, причем (7.45) играет роль дополнительного условия стационарности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
