Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Второе условие стационарности означает, чтоучетом(7.46)m(M) = q(M),поэтому вместоJ2[T,q,m]сможно записать.Iз[T,q] =J[T]-~ J(q+Л(т)\7T) 2 dV,(7.47)vгдеJ[T]соответствует(7.37). Ясно, что Iз[T,q] ~ J[T], а стационарныезначения этих функцианалов совпадают:Iз[T*,q*] = J[T*], причем,согласно (7.45), q*(M) = -л(Т) (T*(M))\i'T*(M), М Е V.Используем два оставшихся условия стационарности дляа именно, приняв во внимание, что\i'·q(M)=qv, MEV;J2[T,q,m],m(M) = q(M),q(P)·n(P)=-h, PESq,(7.48)7.274МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИв качестве дополнительных условий стационарности для функцианала(7.47)и после его иреобразования с учетом=-Т~- lq(P) ·n(P)f1 (P)dS~2dS~dV-~Т(Р)~fi (Р) -[34]dTvгдеполучим1('q(~)/ - 1 дqv~~,T) 1л<Т)(Т')dт')+ 1 1 дf ~iT) 1л<т)(Т')dТ',Т(М)2I[T,qj(7.37)ТdT~~функция, заданная в точках Р Е Sт =условиях первого рода вида(7.30).(7.49)S \ Sqв граии'ЧиыхДопустимыми для этого функцианала будут распределения Т( М) иq(M), удовлетворяющие (7.48), причемI[T*, q*J = J[T*].
Для исследования его экстреиреобразуем (7.49) с учетом (7.36) к видув его стационарной точкемальных свойств-11 1 дj ~:,1j;)ф(Р)q(P) · n(P)JI(P)dS +SтdS-'1/J2d'lj;,ОSqгде 7iv(M,'l/;) = qv(M,T('Ф)); ] 2 (P,'lj;) = h(Р,Т('Ф)) (см. 7.4).Функционал !,,,['1/J,q] будет строго выпуклым вверх [12, 34], еслипри любых допустимых распределениях 'Ф'(М) ф 'Ф"(М) (М Е V U Sq)и q' (М) ф q" (М) (М Е.ВI.['l/;',q'jЗдесь-1+ (1- .8)1.['1/J",q"J- I.['l/;"',q"'J'l/; 111 (M) =ПодставивV U Sт) выполнено строгое неравенство<О,.В Е(0, 1).(7.50).В'Ф'(М) + (1- .В)'Ф"(М);I.['l/;,q]в(7.50),с учетомq"'(M) = ,8q'(M) + (1- .В)q"(М).(7.40) получим, что~.В .в(J \q' -q"\ 2 dV- J88~ ('Ф' -'Ф") 2 dV- Jaz: ('Ф' -'Ф") 2 dS) <ОVVSq .,.при условии выполнения(7.41)Если неравенстваверны не только в стационарной точке функционала(7.49)(7.49),(7.42)или равносильных им неравенств(7.42).а на всем множестве допустимых функций Т(М), тобудет на этом множестве строго выпуклым вверх функционалом,ограниченным сверху, т.
е. будет иметь единственный максимумсоответствующий единственному решению задачи.[12],7.5.Двойственная вариационная форма моделиТаким образом, для функцианалов(7.37)и275(7.49)и их стационарныхI[T, q].(7.51)значений справедлива целочка неравенствJ[T]Поскольку J*['Ф*] =~J[T*],J[T*] = I[T*, q*]из(7.51)~следуют такженеравенства(7.52)Совместное использование альтернативных функцианалов(7.49)(7.47)(7.37)ипозволяет оценить точность приближенного решения задачи.
Изследует, что на допустимых распределениях Т(М) иq(M)ихразность равнадJ[T,q] =J[T]- I[T,q] =J~ iq+Л(T)V'Ti 2 dV.vЭто выражение также является функцианалом с единственным условием стационарности(7.45).В стационарной точке он равен нулю и достигает минимального значения. При выполнении неравенств(7.42)длялюбых допустимых значений Т этот минимум единственный. Поэтомузначение дJ[Т, q], совпадающее со среднеквадратичной логрешиостьюв выполнении условияq(M)(7.45),при допустимых распределениях Т(М) иможно рассматривать как критерий, характеризующий степеньблизости этих распределений к истинному решению нелинейной задачи. По изменению этого значения при последовательных приближенияхк истинному решению ветрудно контролировать сходимость итерационного лроцесса.Функционал для неустановившегося лроцесса теплопроводности,альтернативный по отношению к(7.43),следует из(7.49)при заменев нем и в относящихся к нему граничных условияхqv на iiv,k == qv(M, tk, Т)+ cv(M, Т) (Tk(M)- Tk-l (М))/ дtk (М Е V) и h на h,k == h(P,tk,T), РЕ Sq, где qv(M,tk,T) и f;(P,tk,T)- значения в моментвремени tk = tk-l + дtk заданных функций, входящих в (7.28) и (7.29)соответственно; дtk- промежуток времени (см.
7.4); cv- объе.мналтеn4ое.м:х;ость материала тела; Tk-l (М)- темлература в точке М Е Vв момент времени tk-l· При этом сам функционал (7.49) и все зависящиеот времени величины следует снабдить индексомна то,что рассматриваетсявремениk,указывающимтемпературное состояние тела в моментtk.Альтернативный по отношению к(7.44)функционал в случае неоднородного анизотропного материала ветрудно построить по той же схеме, что и(7.49).Если ко.мпоненты тензора men4onpoвoдnocmu можно7. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ276представить в виде л~J>(М,Т) = Aij(M)X(т), i,j = 1, 2, 3 (см. 7.4), товместо(7.49)Ia[T, q] = _получимJ(qi(M)Bij;M)qj(M) _vТ(Р)~Т-Jqi(P)щ(P)JI(P)dS+ J J дj ~iT) J;х<Т)(Т')dТ',2dSSтqi -гдеSqпроекции вектораных координат;Bij-матрице с элементамиго вектораn.qdTТ.на осит.Oxiсистемы пространствеиэлементы матрицы третьего порядка, обратнойAiji ni-направляющие косинусы единичноПри выполнении условий(7.42)этот функционал наистинном решении достигает максимума.
По аналогии сэтот(7 .43)функционал можно обобщить на случай неустановившегося процессатеплопроводности.Основная трудность практического использования альтернативныхфункдионалов состоит в сложности построения допустимых распределений(7.48).q(M),М ЕV U Sq,удовлетворяющих дополнительным условиямЭту трудность можно преодолеть путем представлениячерез функцию тока теплового потока7.6.q(M)[34].Сопряженная задача для неоднородного телаВ инженерной практике передко возникает необходимость в анализетемпературногосостоянияузловиагрегатовтеплотехническихустройств, состоящих из деталей сложной формы и выполненных изразнородных материалов.
Тепловой контакт между этими деталями вобщем случае не является идеальным, а на контактных поверхностяхмогут находиться теплоемкие массы и действовать источники теплоты.В таком случае возникает необходимость в построении .математической .моде.л.и (ММ) процесса теп.л.опроводности в.,_неоднородном теле сучетом выполнения ус.л.овий сопр.нжени.н температурных полей на контактных поверхностях соприкасающихся деталей.Для нелинейной сопряженной задачи теплопроводности в неоднородном теле, когда теп.л.опроводность среды зависит и от температуры, и от пространствеиных координат, в общем случае не удаетсяпостроить функционалы, которые бы имели такие же экстремальные7. 6.
Сопряженная задача для неоднородного тела277свойства, как и функцианалы для нелинейной задачи в однородном теле (см.7.4и7.5).Чтобы и в случае сопряженной задачи использоватьпреимущества двойственной вариационной фор.м.ы ММ и располагатькритерием для оценки сходимости и погрешности приближенных решений, целесообразно учитывать зависимость от температуры теплопроводностиматериалов,составляющих неоднородноетело,последовательными приближениями через зависимость от пространствеиныхкоординат. Тогда все остальные нелинейные факторы, связанные с процессом теплопроводности, удается учесть непосредственно.В каждой части с номеромизNn = 1, Nнеоднородного тела, состоящегочастей, которые занимают областираспределение температурыVn (рис. 7.10), установившеесяTn(Mn) (Mn Е Vn) удовлетворяет дифференциальному уравнению~('~~)(М+ Qv(n)(Mn, Т.n (М))л~n )дTn(Mn))дn =0 ,дXi1где л~;)-Xji, j= 1, 2, 3,(7.53)х:о.м.поненты тензора теп.л.опроводности материала этойчасти в пря.м.оуго.л.ьной систе.м.е х:оординат Ох1х2хз (если материалэтой части изотропен и имеет теплопроводность Л~Т)(Мn), то Л~j) == Лhт) бij, бij - си.м.во.л.
Кронех:ера); qt) - объе.м.ная п.л.отностьмощности внутренних источников теплоты в этой части неоднородноготела.Рис.7.10В общем случае поверхность каждой части может включать: участокSn,на котором заданынелинейные грани-чные ус.л.овия вида(7.29)(7.54)7.278МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИгдекni(Pn)- направляющие косинусы вектора n(Pn) внешней нормалиповерхности Sn в точке Pn; fn- известная функция своих аргументов; участок S~, на котором задано распределение температуры(7.55)и участки контактаS 8 n,на которых заданы условия теплообмена())\j(n) (Pn) дTn(Pn)дх. ni(Pn) = fsn Pn,Ts(Ps -Тп(Рп) , Pn, Ps Е Ssn,(7.56)Jс тонкой промежуточной прослойкой, имеющей одинаковую по толщинетемпературу Т8 (Р8 ).
Здесь f~ и fsn -известные функции своих аргументов. В частном случае fsn(Pn, Ts(Ps)- Tn(Pn)) = O'sn(Ps)(Ts(Ps)- Tn(Pn)), где asn - ~оэффициент ~онта~тного теn.ttооб.м.ена.Передача теплоты вдоль прослойки в силу ее малой толщины неучитывается.В прослойке могут действовать источники теплоты,мощность которых имеет поверхностную плотность qs(P8 ,T(Ps)), такчто в прослойке, разделяющей частинеоднородного тела с номерамит,n = 1, N,должно выполняться условие теплового балансаfsm(Pm, Ts(Ps) -Тт(Рт))+ fsn(Pn, Ts(Ps) -Тп(Рп)) ==qs(Ps,T(Ps)),Здесь символPm, Pn(7.57)операции пересечения множеств означает, что точкиSsm и Ssn поверхn.
Объединим всеучастки контактных поверхностей и обозначим их 8 8 , а точки Рт и Pnпримем совпадающими с соответствующей точкой Р8 Е 8 8 , хотя значения температур Тт(Р8 ), Tn(Ps) и Тs(Р.ч) в общем случае не совпадаютиPsnPm,Pn,PsESsmПSsn•принадлежат одновременно участкамностей контактирующих частей с номерами т имежду собой.В частном случае прослойка может разделять две части неоднородного тела, выполненые из одинакового материала, но при этом такимчастям следует присваивать различные номера. Пусть прослойка лишьчастично внедрена в областьV0,занятую однородным материалом,заполняя узкую щель или трещину. Тогда индексы т иnдают возможность различать функцииT0 (Ps)fsaи температурыразные стороны от такой прослой:ки.
Отметим, "'Что(7.56)ив(7.57)по(7.57)вслучае установившегася процесса теплопроводности обобщают условиявида(7.9).Таким образом, совокупность уравнений(7.53)-(7.57)является дифференциа.ttьной формой ММ установившегася процесса теплопроводности в неоднородвом теле. Для построения фун~циона.ttа, в стационарной точ.~е которого будут выполнены все эти равенства, умножим7.6. Сопряженнан задача для неоднородного тела2798Tn(Mn) (Mn Е Vn) и проинтегрируем по Vn, умножим (7.54) на 6Tn(Pn) (Pn Е Sn) и проинтегрируем по Sn, а (7.56) и(7.57) умножим соответственно на 8Tn(Ps) и 8T8 (Ps) (Ps Е 8 8 ) и проинтегрируем эти произведения по всем контактным поверхностям 8 8 •(7.53)на вариациюПосле сложения всех интегралов получим (аргументы функций опущены)~(-J(_!_(л(т_t)дТn)+q(n)) 8TndV +L.Jдхiдх .vtJVnn=I+jJ(A~j>r;::,;n.- !n) OT.dS) + jU,m +/т- q,)OT,dS +SвSn+\j(m)дТm ni- fsm ) 8Tm + ( \j(n)дTn!((s.дхj) ~) S-дхj Щ- fsn uTn d -О.Левую часть этого равенства, иреобразовав в ней первый интегралпод знаком суммы при помощи фор.м.у.л.ы Остроградсr.огоприняв во внимание, чтокак вариациюNJ8 [T] =8J8 [T,8T](8Tn(Pn)=О приPnTn(n)~Tn~flT8 m- J ( Js.Гаусса ифунr.циона.л.а~ j(~:: л~ ~;- jч~n)dт) dV- jds j--Е S~, можно представить~fsmd(Ь..T) +оflTвnJ~Твfsnd(!::1T)+Jо)fndT -чsdT) dS,(7.58)т.где Т*- нижняя грань множества ожидаемых значений температурыв различных точкахнеоднородного тела;и!::1Tsn(Ps) = T 8 (Ps)- Tn(P8 ), PsЕ88 •ATsm(Ps) = T8 (Ps)- Tm(Ps)Если тепловой контакт междуп-й частью тела и прослойкой является идеальным, тосоответствующих точках Р8 •Допустимые для(7.58)!::1Tsn=О враспределениятемпературы должны быть непрерывны, кусочно дифференцируемы вVnи должны удовлетворять условиям(7.55).J8 [T]Анализ экстремальных свойств функционалапоказывает[34],что на истинных распределениях температуры т~ и т:: он достигаетминимума при выполнении приn = 1, Nусловийд (п);~ /т=Т~ ~О, дfд; /т=т~ ~О,д fsn1~Одf::1Т llT=T;-т~ ""' 'дqs 11(7.59)~ОдТ Т=Т; "" .2807.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИЕсли условиявыполняются не только в стационарной точке, но(7.59)и для любых допустимых значений температуры в различных точкахнеоднородного тела, то этот минимум единственный.единственность решения сопряженной задачиАналогично функционалупо отношению к(7.58)(7.49)Это означает(7.53)-(7.57).можно построить альтернативныйфун-кционал, принимающий видгде q~n) - проекции на оси Oxi вектора qn nлотности теnловогоnото-ка в области Vn; r}7) -элементы матрицы, обратной матрицес элементами л~;); (/)п = ~T(8fsn/8(~T)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
