Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Так как8.3.Неуста.новившееся движение идеальной жидкости в трубопроводеРис.3018.2стенки трубопровода могут деформироваться под действием давления,то площадьиt.F(x, t)поперечного сечения также является функцией хМассовый расход жидкости через трубопровод обозначимm(x, t).Все указанные функции предполагаем дифференцируемыми по своимаргументам.С точностью до бесконечно малых более высокого порядка в фиксированный момент времениtв объеме выделенного участка трубопровода находится масса жидкости р(х, t)Из за-х:она сохраненияF(x, t) dx..массы следует, что скорость ( д(рF) 1дt) dx изменения массы жидкости в пределах этого участка равна разности m(x, t)- m(x + dx, t) == - ( дm1дt) dxрасходов через его входное и выходное сечения соответственно (см. рис.8.2).Таким образом, получаем уравнение неразрывности для движения жидкости по трубопроводу в видед(рF)дt= -ат(8.30)дх.Перепад давления между входным и выходным сечениями выделенного участка создает действующую в направлении оси Ох силуx+dxp(x,t)F(x,t)-p(x+dx,t)F(x+dx,t)+Jp(~,t)8F(~,t)Щd~,хпричем интеграл соответствует проекции на эту ось равнодействукrщей сил давления со стороны стенок трубопровода.
В соответствии сза-х:оно.м сохранения -х:оличества авижения эта сила равна скоростиd x!+dxd x!+dx .p(~,t)v(~,t)F(~,t)d~= dt= dtхm(~,t)d~хизменения в этом направлении -х:оличества авижения массы жидкости в объемеVвыделенного участка(v -проекция вектора скорости8.302МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОСТИжидкости на ось Ох,v- среднее значение этой проекции по поперечному сечению трубопровода). В итоге, отбросив бесконечно малые болеевысокого порядка, запишемд(рF)дFдрdrh---dx+p-dx=-F-dx= -dx.дхдхдхdtЕсли неустановившееся движение жидкости в трубопроводе рассматриватькакдвижениявозмуuценноеилисостоянияотносительнопокоя,топриизвестногомалыхустановившегасявозмуuцеНИ.sJХполнуюпроизводную по времени в последнем равенстве можно заменить частной производной.
Тогда получимдrh(x, t) = -F(дtЗависимостьFx,t) др(х, t)дх .(8.31)от р в предположении линейной упругости материала стенок трубопровода можно представить в виде, аналогичномF=(8.29):Fo( 1 + х(Р~ Ро)),(8.32)гдеFo -плоuцадь поперечного сечения трубопровода при давленииро;Емодуль упругости при растяжении материала стенок,-акоэффициент Х зависит от формы поперечного сечения и толuциныстенок.Так, для толстостенной трубы с внутренним радиусом r итолuциной стенкиhпри давлении Ро увеличение давления на др приотсутствии осевой силы приводит к радиальному перемеuцениюна внутренней поверхности трубы (здесьv -"'оэффициеит Пуассонаматериала стенки).
Это вызывает прираuцение дF = 7r(rплоuцади поперечного сечения.малой по сравнению сFr,+ дr)2- 7rr 2В итоге, пренебрегая величиной дr,получаем= р,0 (1 2rдr+ (дr)2) ""'R0 (1+[145]r2Сравнивая это выражение с2(12r/h""'++v+ 1+h/(2r)(8.32),заключаем, что х ~)др)Е·2(1 + v) ++ 1 + ~~~2 r). Для тонкостенной трубы с круглым поперечным сечением2приh « r и v ~ 1/2 получим х ~ 2rfh.8.3. Неустановившееся движение Идеальной жидкости в трубопроводев(8.29) и (8.32) (р- ро)/ Ижд(рF) =дtРоR (~0Х303« 1 и х(р- Ро)/ Е« 1. Следовательно,~)др~ Fo ( 1><ж + Е + ИжЕ дtafi +Х><ж) дрЕ(8.33)дt 'где ао = J ><ж/ Ро- с-х:орость зву-х:а внеограниченном объеме жидкостипри давлении р0 .
В трубопроводе благодаря деформированию его стенокскорость звука в жидкости меньше ао и равнааоа(8.34)---г=====J1+х><ж/Е.Например, для стальной трубы внутренним радиусом r11щина стенки которой равна h = 5мм, при Е= 2 ·10найдем х ~8,135=16мм, толПа и v= 0,3и для воды при ао ~ 1483м/с получим а~ 1422мjс,т. е. скорость звука уменьшается примерно наНо для тонкостен4%.ной алюминиевой трубы внутренним радиусом 100мм, толщина стенки10которой равна h. = 2 мм, имеем х = 2r / h = 100, и при Е= 7,2 · 10Па скорость звука в воде, находящейся в такой трубе, составит а ~745 м/ с,что почти в2раза меньше скорости звука в неограниченном объеме.Для трубопровода с изменяющимися по его длине площадьюFo (х)поперечного сечения и толщиной стенок коэффициент х зависит от х.Поэтому а= а(х), и с учетом(8.33)и(8.34)Fo(x) _;:__...:....__..:..др(х, t)=2а (х)Дифференцируя(8.35)поа2дt 2=запишем(8.35)дхпо х, можно исключить т и(8.31)записатьд р(х, t)(8.30)дrh(x, t)дtt,вместо2а (х) !.___ (F(x t) др(х,Fo(x) дх'дхt)).Наоборот, исключая р, находим~(дt1F(x, t)дrh(x,дtt))2= !.___ ( а (х) дrh(x,дхFo(x)дхt)).В случае трубопровода с постоянными по его длине поперечным сечеconst и Fo(x) = Fo = const.х(р- ро)/ Е« 1 можно принять F ~ Fo.нием и толщиной стенок имеем а(х) =а=При этом в силунеравенстваТогда получим одномерные волновые уравненияд 2 rh(x, t)дt2=а2д2rh(x, t)дх2.(8.36)3048.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОдЕЛИ ЖИДКОСТИРассмотрим некоторые варианты граничных условий на концахтрубопровода.
В концевом сечении трубопровода при хзадан закон изменения во времени=О может бытьдавления жидкости, т. е. р(О, t)t== po(t). В этом случае из (8.35) получимдm(О, t)дхFo(O) dpo(t)= - а2(О) -;л-(здесь и далее для аналогичных ситуаций запись дm(О, t)jдx означает,что частная производпая по х вычислена при хро ( t)=0р =constх =О закрыт, то= О).В частном случаеимеем дm( О, t) / дх = О. Если конец трубопровода приm(O, t)=О. Тогда в соответствии с(8.31)др(О, t)jдx ==О. При задании в этом сечении массового расхода жидкости в видезависимостиm(O, t)=изm 0 (t)F(O, t)следует(8.31)др~; t)=- dm;t(t).В концевом сечении трубопровода с координатой хустановлен демпфер-=lможет бытьустройство, в котором объем жидкости изменяется в зависимости от ее давления.
Если изменение д V этого объемапроисходит за счет упругости стенок демпфера, то, пренебрегая инерцией стенок, д V можно считать пропорциональным изменению дрдавления жидкости, причем д V /Vo= К (р- Ро) / Ро = К др/Ро, г де Voобъем жидкости в демпфере при давлении ро, а Ккоэффициент пропорциональности. Тогда с учетомdд VKV0 др(l, t)di=p;; дt--безразмерный(8.35)получимa 2 (l)KVo дm(l, t)poFo(l)дхНо скорость изменения объема жидкости в демпфере равна объемномурасходу жидкости через сечение трубопровода при х= l, т.
е. dд V / dt == m(l, t)/ p(l, t), и в итоге"(l)т,t+a2(l)p(l,t)KVoдm(l,t)_poFo(l)дх-.,. 0 .Отметим, что при установке демпфера в концевом сечении с координатой х= О при dд V / dt > О объемный расход жидкости через это сечениеотрицателен и поэтомуm(O, t) _ а (0)р(О, t) KVo дт(О, t) =О.2poFo(O)дх8.3. Неустановившееся движение ндеапьной жидкости в трубопроводеДемпфер может представпять собой полость объемомзаполненную газом (воздухом).V*,частичноПри повышении давления р жидкости газ сжимается, что приводит к увеличению объемав таком демпфере жидкостью.Связьиа.м.ичесх;ого nроцесса сжатия газа.p(V*- V) = Po(V*- V0 ),305VV,занятогои р зависит от тер.м.одиПри изотер.м.ичесх;о.м.
nроцессепоэтому в случае малых изменений давленияпо сравнению со значением Ро имеемdV = Po(V* _ Vo) dp ~ V*- Vo dp.dtр2dtРоdtПоскольку dдVjdtтой х= in(l,t)/p(l,t)в сечении трубопровода с координа= l, то с учетом (8.35) получим.
(l ) a 2 (l)p(l, t)(V*- V0 ) дin(t, l) _т ,t +poFo(l)дх -О.Вгидравлических системах частовстречаются разветвленные трубопроводы.Пусть концевые сеченияnтрубопроводов объединены в один узел, откоторогоi = 1, n,да (рис.ведетсяотсчеткоординатXi,вдоль оси каждого трубопрово8.3).Тогда в этих сечениях влюбой текущий момент времениние жидкости одинаково, т. е.tдавлеPt(O,t) =Рис.8.3= ... = Pi(O,t) = ... = Pn(O,t) при Xi =О,i = 1, n, что с учетом (8.35) позволяет написать равенствоа~ (О) дin1 (0, t)Fot(O)дха;(о) дini(O, t)дх...
= Foi(O)а~(О) дinn(O, t)8х= ... = Fon(O)Кроме того, в узле равна нулю алгебраическая сумма массовых расходов:пL: ini(O, t) =О.i=lОтсюда в соответствии с(8.31)следует, чтоtFi(O,t)8pi(O,t) =0.i=lдхВ большинстве случаев граничные условия в концевых сеченияхтрубопроводов удается сформулировать относительно искомой функцииin(x, t)массового расхода жидкости. Поэтому в .м.ате.м.атичесх;ую3068.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОСТИ.м.оде.л.ь (ММ) неустановившегося движения жидкости в трубопроводахпомимо таких граничных условий должны входить второе уравнение(8.36)и начальные условия, включающие распределения по длине каждого трубопровода в момент времениt=О, примимаемый за начальный, расхода жидкости и скорости его изменения.
Однако на практикеобычно известны начальные распределения т(х,О)=р0(= то(х)и р(х,О)=х) расхода жидкости и давления соответственно. В этом случаеиз последнего равенства при помощи(8.31)иполучим необходи(8.32)мое для завершения построения ММ начальное условие дт(х,О)jдt== -F(х,О)др 0 (х)jдх. При определении собственных частот и фор.м.х:о.л.ебаний жидкости в трубопроводах и анализе установившегася процесса колебаний под действием внешних возмущающих факторов необходимость в задании начальных условий отпадает. После нахожденияфункции т(х, t), как правило, несложно установить зависимость р(х, t)давления жидкости от времени и от координаты.Пусть трубопровод длинойl имеет постоянные площадь Foпоперечного сечения и толщину стенки, т.
е. для скорости звука в жидкости,находящейся в этом трубопроводе, имеем а=ниt=const.В момент времеО давление и массовый расход жидкости постоянны по длинетрубопровода и равныРои то соответственно. Приt>О на одном конце трубопровода (при х =О) поддерживается постоянное давление р0 ,т. е. р(О, t)= ро, а другой его конец (при х = l) перекрывают.
В этом случае искомая функция т(х, t) должна удовлетворять второму уравнению(8.36),однородным граничным условиям дт(О,t)jдх =О, т(l,t) =О иначальным условиям т(х,О) =то и ат(х,О)/дt =О.Искомое решение сформулированной краевой задачи представим ввиде т( х, t) = Х ( х) Т( t). Подставляя это равенство во второе уравнение(8.36), получаем а 2 Х"(х)/ Х(х) = T"(t)/T(t) = J3 = const.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
