Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Тогда получимТгде(}=-·vv· = __;_.То '~vo 'voLФурье; Ре= а(Т)-х·~х·= __;_СС=-· Ь.р-L 'Со 'число Пепле;р-р 0a<T>t= - - · Fo = - 2роLu =а<т>D(C)L'-числочисло Лыпова-Льюиса; Re = ~: - чис.л.о Рейнольдса; Sc = ;;<~>-число Ш.м.идта;число го.м.охроппости; Eu = Ро2-число Эйлера;Но =_Ra -vLot -lwiL aV>тovva<т>3RacPVo3lwiL C= pvvD(с~ -._ vvчисло РэлеJС, Pr - а<т> -число Прапдтл.sс;попцептрациоппое число РэлеJС.Не все безразмерные комплексы в(8.60),являющиеся притери-JС.ми nодобиJС процессов тепломассопереноса, независимы (например,Но=FoRePr иРе=RePr).Совокупность комплексов, состоящих из параметров, входящих в условия однозначности, называют оnределJСющи.м;и притериJС.ми nодобиJС. Эти критерии могут быть вычисленыпо исходным данным до количественного анализа ММ процесса илиего экспериментального исследования.При геометрическом подобииобластей протекания двух процессов, имеющих одинаковую физическую природу, подобии их условий однозначности и попарном равенствезначений одноименных определяющих критериев говорят, что эти nроцессы nодобны[135],т.
е. для таких процессов в моменты временисоответствующие равенству значенийFo иt,Но, совпадают зависимостибезразмерных распределений О, С, р и Vi от безразмерных координат Xi·Для установления совокупности независимых определяющих критериев подобия удобно использовать основные положения теории размерностей, которая на основе анализа связей между размерными параметрами, характеризующими рассматриваемый процесс, позволяетопределить структуру ММ этого процесса в виде зависимости междубезразмерными комбинациями, составленными из таких параметров.Раэ.мерпостью величины илИ параметра называют произведениестепеней независимых единиц измерения физических величин, принятых в качестве основных (стандартных).Известно, что в качествеосновных в Международной системе единиц СИ(Systeme International)8.324МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОЛЕЛИ ЖИЛКОСТИприняты следующие единицы измерения:сыкилограмм (кг), времени-длины-метр (м), массекунда (с), силы электрического-тока- ампер (А), температуры- кельвин (К), силы света- капдела(кд), количества вещества- моль.
Дополнительными (безразмерными) единицами являются радиан (рад) для измерения плоского угла истерадиан (ер) для измерения телесного угла.Например, размерность модуля• 1,(w)в виде• 1,(w)wвектораwускорения записывают2[w] = [l]'~'c [t]'~'t = м/с , где [l] =м и [t] =с- размерностидлины и времени соответственно, 1/J}w) = 1 и Фiw) = -2 - nопазатед-и этих раз.мерн.осmеt'J. в выражении для размерности ускорения.Размерность силы Р в системе СИ вводят на основе второгозакона Ньютона Р=[w] ==Н (ньютон), где ф~) = 1,тw, где т- масса.=кг· м· с- 2=кг· мjс 2Отсюда [Р] =[т]= [т ]'Ф!:> [l]'ФfP) [t ]'Ф~Р)Ф}Р) = 1, ФiР) = - 2 - показатели размерности массы, длины и времени соответственно в выражении для размерности силы.
Ясно, что длявеличины, равной произведению размерных величин, показатели размерности равны алгебраической сумме соответствующих показателейсомножителей. Например, размерность мощностиQ следуетиз выражения[ Q] = [Р] [l] = [т ]'Ф!:> [l]'ФfP) [t ]'Ф~Р) [t]Фfl) [t ]-Ф~t) =[t]= [т j,p$:> [ [ ]Ф~Р) +Фf > [ t jФ~Р) -Ф~t),1где 1/1}1) = Фit) = 1. В итоге получаем [Q] =[т] [l] 2 [t]- 3 =кг ·м2 jc3 =Вт(ватт).Отметим, что для припятой системы основных единиц измеренияразмерность любой величины может быть представлена лишь единственным образом.
Итак, наиболее важное предположение теории размерностей состоит в том, что размерность любой рассматриваемойвеличины(jможно представить в виде так называемого степенногоодночленаk[(j] = П[Li]Фij,(8.61)i=lгде[Li] -размерностиединиц измерения;k величин, припятые в качестве основных1/Jij- некоторые показатели степени.Наименьшую совокупность размерных и безразмерных величин, необходимых и достаточных для однозначного описания рассматриваемого процесса, в теории размерностей называют оnредед.нющи.миnapa.мempa.мu. К ним относят геометрические и физические характеристикипроцессаинезависимыепеременные,включаяпростран-8.5.
Модели тепломассопереноса в несжимаемой жцдкости325ственные координаты и время. Величины, зависящие от определяющихпараметров, называют оnределне.мы.ми nара.метра.ми. Определяющие и определяемые параметры образуют совокупность основныхnараметров данного процесса.Пусть рассматриваемый процесс характеризуютметровnосновных пара(j >О,. j = 1, n, для каждого из которых справедлИво (8.61).Рассмотрим степенной одночленnП=П(?,(8.62)j=lгде Zj -некоторые показатели степени, и найдем числоn степенных одночленов этого вида при условии, что они являются независимыми (т. е.ни один из них нельзя представить произведением степеней других) ибезразмерными. При помощиединице, через размерностиk(8.61)выразим размерность П, равнуювеличин, припятых в качестве основныхединиц измерения:nfЗi = ~ 1/JijZj.j=lТаким образом, условием равенства единице размерности степенного одночлена П является выполнениеkравенств fЗi =О,i = 1, k,илиn~ 1/JijZj = 0,(8.63)i = 1, k.j=lИзвестно, что фундаментальная система решений однородной системылинейных алгебраических уравнений (СЛАУ)(8.63) относительно nj = 1, n, матрица которой с элементами 1/Jij имеет рангr, состоит из n- r линейно независимых решений [50].
Таким решениямсоответствуют ровно n- r независимых степенных одночленов Пq, q == 1, n-r, размерность которых равна единице, поскольку показателинеизвестных Zj,степени Zj любого другого степенного одночлена П, будучи решениямиСЛАУ(8.63),можно представить линейной комбинацией решений изфундаментальной системы, а это означает, что П можно представитьпроизведением степеней Пq.Рангrпрямоугольной матрицы размераназываемой .матрицей размерностей, приn~наибольшее возможное значение, равное числуkчае изn=nс элементами 1/Jij,kxnосновных параметров можно составитьkможет принятьее строк. В этом слуn- kбезразмерныхкомбинаций, т. е. степенных одночленов, что и является одним из утверждений основной теоремы теории размерностей- П-теоре.мы[129].8.326МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОЛЕЛИ ЖИДКОСТИrуточнитьимеющую физический смысл зависимость между[76, 153]:~k,Но в общем случаеи поэтому формулировку П-теоремы следуетnосновными параметрами, характеризующими изучаемый процесс, можно представить в виде зависимости междубезразмерными комбинациями, гдеrn=n -rих независимыми-ранг матрицы размерностей,элементами которой являются показатели в выражениях вида(8.61)для размерности этих параметров.Из этой теоремы также следует, что при помощи безразмерных комкритериев подобия-можно привести к безразмерномувиду любую зависимость между-nпараметрами, имеющую физическийбинацийсмысл.
Действительно, если такая зависимость содержит слагаемые, тоих размерность должна быть одинаковой, а аргументы показательных,тригонометрических, обратных тригонометрических и других функций(кроме, может быть, степенных) должны быть безразмерными. Поэтому такую зависимость путем элементарных операций можно представить в безразмерном виде.В большинстве прикладных задач rкогда r< k,= k.Однако возможны случаи,что заставляет при использовании теории размерностейпроверять ранг матрицы размерностей[35, 153].Применим теориюразмерностей к процессу тепломассопереноса в вязкой несжимаемойжидкости.При фиксированной форме области, имеющей характерный размерL,и характерных значениях скоростиvo,температуры То, давления Ро и объемной концентрации Со, входящих в условия однозначности,в число основных размерных параметров для рассматриваемогопроцесса тепломассопереноса необходимо также включить времядульJwlплотностьt,мовектора ускорения и теплофизические свойства жидкости:р,кинематическуювязкостьvv,температурапроводностьа(Т), концентрационную диффузию D(C) и температурный коэффици-ент объемного расширения а{!').
Пространствеиные координаты Xi(i = 1, 2, 3) и проекции щ вектора скорости на оси координат, а также Т,р и С можно не включать в основные параметры, поскольку их можнопривести к безразмерному виду Xi =xi/L, Vi =щ/vо, 0= Т/То, р= pfpo иС = С/ Со непосредственно при помощи уже выбранных основных параметров, имеющих с ними одинаковые размерности, образовав так называемые безразмерные си.м.n.~~епсы, которые следует включить в безразмерные зависимости на заключительной стадии их формирования.Таким образом, общее число рассматриваемых определяющих размерных параметров, которые должны войти в независимые определяющие критерии подобия, составляетn= 12.Элементы матрицы размерностей для этих параметров представлены в табл.8.1.8.5.327Модели тепломассопереноса в несжимаемой жидкостиТаблицаПараметрЕдиницаизмерения8.1Jwltа(Т)D(C)(Т)voТоРоСомL111-3222о-11оооо-3кг1оо1ооосоо-1о-2-2о-1-1-1о1ооо1ооооооо-1крVDavооПерестановкой столбцов в этой таблице соответствующую ей прямоугольную матрицу можно привести к ступенчатому виду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
