Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 60
Текст из файла (страница 60)
жидкость при обтекании стенкиоттесняется от ее поверхности вследствие увеличения толщины пограничного слоя вдоль по течению[81].Зависимости00б*= j (1- :~) dx2 ~ 1,7зff!},о008**=/~(1~)dx2~0,664~VooVoov~о332. от8.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИдКОСТИх 1 называют соответственно mоо~&щиной выmеснени.н и mоо~&щиной nотери и..иnуо~&ьса. Величина v00 д* равна уменьшению объем.ного расхода вязкой жидr.:ости, проходящей через пограничный слой,по сравнению с расходом идеа.л.ьной жидr.:ости, а толщина д** характеризует потерю вязкой жидкостью количества движения вследствиетрения[104].
Напряжение трения на поверхности обтекаемой плоскойстенки то= flD8Vt/8x21x 2 = 0 ~ 0,332VflDPV~/x1 = 0,664(pv~/2)jy'Re';,где flD и р динам.и-чесr.:ал влзr.:ость и п.л.отность жидкости. Величину с1 = то/(рv~/2) ~ 0,664/y'Re; =д** jx 1 называют ..иесmны..ипоэффициенmо..и mрени.н [135].Используем введенные выше масштабы величин для оценки слагаемых в уравнениях Навье-Cmor.:ca (8.11),которые в случае установившегося обтекания плоской стенки при отсутствии объемных силпринимают вид228v18v1 1 8р8 v18 v1 )VI-8 +v2-8 +--8 =VD-82 +vD-82'Х1Х2рХ1ХХ128v28v2 1 8р8 2v 28 2v 2VI-8+v2-8+--8=VD-82+vD-82'Х1Х2рХ2Хх1где рдав.л.ение.8 69( · )2(8.65) и (8.66) по аналогии с (8.64)слагаемые в левых частях уравнений (8.69) имеют одинаковый порядок,-С учетомпричем в первом уравнении - О ( vt), а во втором - О ( v7:o) ==О ( v~).
Также по аналогии с (8.64) вторым слагаемым в правыхLvReLчастях этих уравнений можно пренебречь по сравнению с третьим,которое в первом уравнении имеет порядок О ( v~~=) = О ( vt), аво втором - o(vv;~дo) = o(L~)· При продольном обтеканииплоской стенки можно принятьпервое уравнение(8.69)8pj8x18v18v1Vt- +v28х1а из второго приReL»=О[76, 135].Таким образом,можно записать в виде8х21 следует,= VDчто8 2v18Х 22 ,8pj8x 2 ~О,(8.70)поскольку в нем всеслагаемые имеют порядок, малый по сравнению с порядком слагаемыхпервого уравнения.Оценивая аналогичным путем порядок слагаемых вполучим,что(8.56)и(8.57),теп.л.ом.ассоперенос в пограничном слое при установившемся обтекании плоской стенки несжимаемой жидкостью описываются уравнениямиVD 8 2 ТVI-8+v2-8=-р -82'хХ2r Х8Т18Т2(8.71)8.6.
Некоторые модели погравичвого слоя333где Т и С- температура жидкости и объе.м.на.а ?Сонцентраци.а некоторого вещества в жидкости; Pr = vvfa(T) и Sc = vv/ D(C)- 'Чисда Прандт.tt.а и Ш.м.идта; а(Т) - те.м.nературоnроводность жидкости; D(C) ?Соэффициент ?Сонцентрационной диффузии этого вещества. При этомдля масштабов дат) и &ас), оценивающих порядок толщины теnлового и понцентрационного пограничных слоев[76],с учетом(8.66)получим соответственно даТ) /до= 0(1/VPr) И баС) /до= 0(1/VSc).Если ви(8.70)_(8.71)VlV=-,перейти к безразмерным переменнымТоо -Тп'Vooгде Тп, Т00= const-Т-Тп-0=---С-Сп-С= Соо-Сп'температуры поверхности стенки и жидкости запределами пограничного слоя; Сп= const,С00= const -объемная концентрация вещества около стенки и за пределами пограничного слоя, топриPr = Sc = 1эти уравнения станут с точностью до обозначений тождественными, а толщины всех пограничных слоев одинаковыми.
Этоозначает совпадение безразмерных профилей скорости, температуры иобъемной концентрации по толщине по граничного слоя, т. е. v= 7J ==С, характеризующее так называемую тройную ана.~&огию междупереносом количества движения, теплоты и вещества. Поскольку на поверхности стенки при х2 =О в соответствии с за?Сона.м.и Биои Фи11:а соответственно n.ttomнocmь теnдовогоqo =и nдотностьЛ(Т) дТ 1дх2 х2=Оnomo?Ca=-Фурьеnomo?CaЛ(Т)(Тоо- Тп) дО1дх2 х2=Овеществалс) = D(C) дС 1дх2 х2=О= D(C)(Coo- Сп) дС 1дх2 х2=О,передаваемые от жидкости к стенке, из тройной аналогии следуетVooгдеStиStc -(8.72)'Число Стантона (тепловое) и 'Число Стантонапонцентрационное; а и ассообмена; Cv -'[135]-?Соэффициенты теnдооб.м.ена и мастеnдое.м.?Сость жидкости nри nосто.анно.м.
объе.м.е.Тройную аналогию широко используют при построении ММ тепломассопереноса.После подстановки в первое уравнение(8.71) выражений для щ и-11v2 и перехода к безразмерной температуре (} получим ОДУ е (ry) ++ Prf(ry)()~ (ry)/2 =О с граничными условиями -8(0) =О и -О(оо) = 1,8.334МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОСТИинтегрирование которого даетв силу(8.68)~~Jо!"'(~)!"(11)!"(~) d~ = -2ln /"(О),JJ )2j(~)d~ = -2о~ехр ( -Prf(~)d~=(j"(17))Prf"(O),ов итоге получаемJ(J"(~)(r d~Т/ё( 11) =-=::000-:-----/ (!" (11)) Pr d17оОтсюда приPr = 1следует уже установленное совпадение безразмерных профилей температуры и скорости.Использовав (8.72) и аппроксимацию [135) dё(O)jd17 = 0,332Pr 113(0,5~Pr ~50),запишемили Nux = 0,332Pr 1 1 3 Re~12 , где Nux = axtfЛ(T)- ~uсдо Нуссельmа,вычисленное по текущему значению :ю 1 .
Для плоской стенки длинойL=в направлении обтекания интегрированием по х 1 получим2aL Л (Т) = 0,664Pr 113 Re ~ , где а - значение коэффициентаJNuL =теплообмена, усредненное по поверхности стенки. Преобразованием второгоуравнения(8.71)можно получить аналогичный результат и для коэффициента массообмена.8.6. Некоторые модели пограничного споя335При обтекании криволинейной nоверхности изменение давления внаnравлении обтекания может стать суrцественным. Но за nределамиnограничного слоя вязкость движуrцейся жидкости nроявляется слабо.Поэтому можно восnользоваться интегралом Бернулли(8.23)и, nолагая nри малой толщине nограничного слоя по сравнению с радиусамикривизны обтекаемой nоверхности течение nо-nрежнему nлоским, nриВ= О nринять.!.
--'->"ддр =Р-v(xt) dvd(xi),XlXlгде х1- координата, отсчитывае-мая по nоверхности в наnравлении обтекания, аv-скорость жидкостина внешней границе nограничного слоя, которая может быть найденаnри nомоuци ~~ безвихревого обтекания nоверхности идеальной несжимаемой жидкостьюучитывая, что v::1=[76].Тогда, nодставляя это равенство вО ( vt), вместо(8. 70)(8.69)иnолучаем(8.73)дv1Исnользовав уравнение неразрывности -дХ}шегося nлоского течения и(8.73),дv2+ -д= О для установивХ2заnишемВычитая nочленно из nервого равенства второе, nолучаемПосле интегрирования по х2 в nределах от О до оо с учетом измененияnорядка интегрирования по х2 и дифференцированияnoх1 заnишемЭто интегральное соотношение nозволяет, задаваясь nриближеннымnрофилем скорости v1 в nределах nограничного слоя, найти связь междуместным коэффициентом трения на обтекаемой nоверхности и изменением скоростиvна внешней границе nограничного слоя.
Аналогичныеинтегральные соотношения можно nолучить для теnлового и концентрационного nограничных слоев[135].9.ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИГАЗОВОЙ ДИНАМИКИГазовал дина.мипа- раздел механики жид-к:ости и газа, в котором изучают движение сжимаемой сnдошной среды с большой скоростью и ее взаимодействие с тверды.м.и тедами. Малая пространствеиная протяженность области взаимодействия газового потока с твердымтелом позволяет отбросить в уравнениях газовой динамики объемныесилы, а большая скорость движения требует учета сжимаемости рассматриваемой среды.При большой скорости движения влз-к:ость газа не играет существенной роли и область ее влияния ограничивается сравнительно тонким пограни-ч.ным сдоем.
За nределами этого слоя движение газа можетбыть описано математической моделью, содержащей уравнених движенил идеадьной сжи.м.ае.м.ой жид-к:ости (см.8.2),но без учета объемныхсил. Поскольку термин <<идеальный газ» часто используют как синонимтермина совершенный газ, чтобы избежать путаницы, для краткостивместо идеальной или вязкой сжимаемой жидкости в этой главе будемговорить о невлзпо..и или влзпо..и газе соответственно.Наличие большой скорости движения отличает газовую динамикуот других областей механики сжимаемой жидкости (таких, как акустика или метеорология) возможностью образования поверхностей, припереходе через которые параметры потока претерпевают разрыв.
Наличие таких поверхностей заставляет с осторожностью подходить кпостроению математических моделей. При очень больших скоростяхза поверхностью разрыва температура потока может достигать весьмабольших значений, возможна диссоциацил молекул газа на атомы илина молекулы с меньшим числом атомов, а при еще б6льших температурах- ионизацuл, связанная с утратой атомами или молекуламигаза электронов. Указанные особенности выделяют газовую динамикув отдельный раздел механики жидкости и газа.9.1.Дифференциальная форма модели газовой динамикиСостояние движущегося в областиный момент времениtVневлз-к:ого газа в произвольхарактеризуют локальные значения его nдотности р, давденил р, массовой пдотности внутренней энергии и ипроекций Vi(i = 1, 2, 3)вектораvскорости на осиOxiпрл.м.оугодьной9.1.ДИфференциальная форма модели газовой динамики337декартовой системы координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
