Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Дифференциальная форма .математической .м.оде.л.и газовой дина.миtъи включает уравнение неразрывности (закон сохраненШI .массы) в дивергентной формедр(3.32)д(pvi)- одt + дхi -(9.1)'уравненШI движенШl ( заtъон сохранения коди'Чества движения сn.л.ошной среды) в дивергентной формед(pvi)дt(3.63)+ д(pviVj+ pбij)д=О,Xj(9.2)i, j = 1, 2, 3,в которых учтены лишь нор.ма.л..ьные наnр.нженияO:ij =-pбij(бij -си.мво.л. Кронекера) и не учитывается влияние n.л.отности объемныхси.л.(bi=0),и уравнение заtъона сохраненШl энергии в виде(4.12)(9.3)внем опущены слагаемые:n.л.ового noтotca,qv -qj -проекции вектораn.л.отности теобъе.мна.н n.л.отность мощности внутреннихисточников теплоты и мощностиbivi объемных сил.Условия на nоверхности разрыва S*, которая может возникнуть придвижении газа, согласно (4.36) и (9.1)-(9.3), имеют видгде D~= D* · n* ~О- проекция вектора D* скорости движения произвольной точки М ЕповерхностиS*,S*на направление вектораимеющего проекцииn*вектора нормали кni на координатные оси Oxi; [· J -скачок соответствующей величины в этом направлении (см.4.4).Еслиперейти к системе координат, связанной с этой точкой и движущейсясо скоростьюD*,то вместо(9.4)получимТ +и ) Vj[ р ( ViViгдеVj -проекции вектораv=v- D*+ pvj ] nj* =О,(9.5)скорости частиц газа на осиподвижной системы координат.При адиабати'Ческо.м nроцессе движения газа и отсутствии объемных источников энерговыделения исследуемый процесс можно рассматривать и как изоэн.троnи'Ческий, т.
е. считать массовую плотностьh9. ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ338энтропии постоянной, положивh =О.Тогда в силу(4.21)и можно отождествить с массовой плотностью А свободной энергии и записатьти= А= j(9.6)evdT,оCv -гдеТудельная массовая теп.п.ое.м:х:ость при постоянном, объе.м,е;абсолютпая те.м.пература газа.-уравнениеТогда при(9.5) примет вид [р(ViVi/2 + CvT)vjCv= const+ рщ]пj =третье0.Если объединить (9.3) с (9.6), то с учетом равенств Vj :~=д~::)дVj-р- идхjdщPVjdtdщ = d ( -ViVi)Vi-dtdtnолучим2дрdTдщ+ PCv dt + Vj дх.J + р дхJ. =dщдр)дvjdTдщdT= ( р dt + дх. Vj + PCvdt + р дх.
= PCvdt + р дх.JJтак как справедливы уравнения Эйлера(8.15)Jприbi =О.=О,(9.7)Далее, nолагаягаз совершенпьш, уравнение состонпи.а которого имеет вид(9.8)p=pR9 T,гдеR 9 = Rf..t/ 11; -газова.н nостояннаJl;11; -Rf..t -упиверсмьпая газоваяпостоянная;.м,оле-к:улнрпая .масса газа, и используяdpдv·1-+р- =0 имеемdtдхj'Р(~ dTR 9 T dtОтсюда Tfpк-IСр_! dp) = Р(~ dlnT _р= const,dtR9где к,=dt(9.1)в видеdlnp) =О.dtepfcv- nо~азатель адиабаты, а= Cv + R 9 -удельная массовая тетмое.м~ость газа nри nостоянном давлении, или uзобарна.н тетмое.м~ость, соответствующаяuзобарно.му (при постоянном давлении газа) тер.м,одипа.м.и'Чес-к:о.м.упроцессу.
Тогда с учетом(9.8)получаем уравнение адиабаты Пуас-сон а]!_ = const.(9.9)рКТаким образом, для изоэнтропического процесса движения газа р в силу(9.9)зависит лишь от р. В этом случае газ называют баротроnньш.Отметим, что всегда к,>атомного газа к,=5/3,1.При нормальной температуре для одноа для двухатомного газа к,=7/5.9.1.Дифференциальная форма модели газовой динамики339Если газ не является совершенным, т.
е. его параметры не удовлетворяют(1.5)(9.8),то в качестве уравнения состояния можно использоватьв видерpR9 T2= 1 (З - alp .- IP(9.10)Кроме того, для реа.л...2иого газа следует также учитывать зависимостьCv от Т, которую можно задать в видеCvТогда вместо(9.7)=ео+с1Т+с2Т2 .получаем(ео + с1Т + с2 Т2 ) dT- (Р ~~Р2 - а1) dp =О.(9.11)Если для изоэитропи-чес-х:ого процесса представить зависимость Т от рв виде Т(р)= Т( 0 )(р) + а1Т( 1 )(р) + fЗ1Т( 2 )(р) +с1Т( 3 )(р) +с2Т( 4 )(р) и принять коэффициенты а1, fЗ1, с1, с2 малыми, а в дальнейшем пренебречьслагаемыми, содержащими произведения этих коэффициентов, то послеинтегрирования~=.LQ(9.11)найдемр"~1 (1 + а11'1 1- pl--y[7]1-1-')'1f3I!'1P0(1-+и, учитываяfi)) +р"~ 1 (с1То (1 еос2Тб (1 _ р2 -у 1 ))2ео(9.10),!!_ = pl+'Yl (1 + ii111~ р --у1--!'1РоfЗ1 (1 + !'1)Ро(1- р)) ++ pl+'Yl (с1То ( 1 - j)'Y1 ) +еогде а1j)'Y1 ) += Ot.lPOR/'1т;Rg р= -;= -;рсо9Роро, рои,.,..,.1.0-с2Тб (1 2еоp2'Yl )) ,(9 .12 )параметры газа в пекоторомначальном состоянии (например, в состоянии покоя).В случае малости скоростии изменения Ь.р=р-Ро и Ь.рvи ее производных, считая малыми=р-Ро давления р и плотности р посравнению с давлением Ро и плотностьюрогаза в его невозмущенномсостоянии, из(9.1)и(9.2)с учетомдр1 дрдщдtа 0 дtдхi(9.8)и(9.9)получаем-~2-~-ро-,(9.13)где ао = JddplР р=Ро = У!§_= JкВ9 Т- с-х:оростъ зву-х:а (скорость раср;;пространения в газе малых возмущений Ь.р и Ь.р).
Заменив в(9.13)9. ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ГАЗОВОЙ диНАМИКИ340приближенные равенства точными, приходим к известным во.~tн.овы.муравн.ен.ил.м.(9.14)аналогичными описывающим распространение малых возму(8.25)щений. Пространствеиную форму распространяющегося возмущенияназывают волной.Если до возникновения возмущения плотности газа векторное полескоростей обладало nотен.цuа.~tо.м Ф 0 (х, t), где х- радиус-ве-х:тор точки с nростран.стоенны.ми -х:оордината.м.и Xi, то и при распространениималого возмущения это поле остается потенциальным.
Действительно, из второго соотношенияполагая, что возмущение возниклов момент временидФо(х,О)jдхi, интегрированием повремениtt=О и(9.13),vilt=O =получаемt2- ао ~ jpdt = дФ(х,t)'Vi = щjt=OРо дхiФ(х,t)дхiа2 Jt pdt= Фо(х,О)- _QРооопотенциал поля скоростей газа в процессе распространения малоговозмущения плотности газа,(8.25).удовлетворяющий первому уравнениюПри установившемся движении невозмущенного газа потенциалФоне зависит от времениt.В этом случаедФ2 РдtРо(9.15)-=-ао-·Пусть в момент времениt=О в неподвижном газе плотностью Ров пределах шаровой области радиусомroвозникает малое возмущениедр плотности. Это возмущение в силу центральной симметрии пораждает сферичеспую волну p(r, t)=ро+ !::..p(r, t),распространение ко-торой описывается первым уравнением (9.14) в виде(r-д2(rl::!..р)дt 22д 2 (rl::!..p)= а0дr 2расстояние от центра этой области).
При этом потенциал Ф(r,t)поля скоростей будет удовлетворять аналогичному уравнениюд 2 (rФ)_,;__..:..-адt2-2од 2 (rФ)(9.16)дr2с начальными условиями Ф(r,О) =О и дФ~,О) = -aбf(r), где с учетом(9.15)f(r) = 1 +дрРоприr < r0 ,f(r) = 1приr > ro.(9.17)ДиффереiЩиа.льная форма мQЦели газовой динамики9.1.341Общее решение (9.16) имеет вид Ф(r,t) = !(JФ(aot-r)+gФ(aot+r)),rгде fФ и 9Ф произвольные дважды дифференцируемые функции.Поскольку приr=О потенциал остается конечным, вместо последнегоравенства следует записатьФ(r, t) = !Ф(аоt- r)- !Ф(аоt + r).(9.18)rТогда с учетом(9.15)получимp(r, t) = _ ро дФ(r, t) = po(f~(aot + r)- f~(aot- r)).а~дtaorИспользуя начальные условия,(9.18)fФ( -r)- fФ(r) =О и f~( -r)- f~(r) =и(9.19)приведем к видуОтсюда находим-aor f(r).f~( -r) =- f~(r) =- aor f(r).(9.20)2При t> О для(9 _19 )точек за пределами возмущенной шаровой областиaot ++ r > ro, т.
е. аргумент функции f~ (aot + r) всегда больше ro. Поэтомудля этих точек в силу (9.17) и (9.20) и f~(aot+r) = ao(aot+r)/2.Для вычисления f~(aot-распространения возмущенияr)выделим три промежутка времени[65]r -ro r+ro)( -ао- , -ао- ;(r+ ro '00 ) оаоr- aot > ro, и из (9.17) и (9.20) следует, чтоf~(aot- r) = f' (-(r- aot)) =- ao(r; aot); во втором- aot- r < ro, что вВ первом промежуткесилу (9.17) и (9.20) дает f~(aot-r) =ao(aot-r) (1+2D.po); в третьемРоaot- r > ro и, согласно (9.17) и (9.20), f~(aot- r) = ао(ао;- r).
Такимобразом,изследует,что в первом и третьем промежуткахp(r, t) = р0 , т. е. газ остается_ + llp (r- aot)р (r, t) - Ро2r.невозмущенным, а во втором промежутке(9.19)0Изменение плотности газа в рассмотренных промежутках времени представлено на рис.9.1,причем на границах этих промежутковплотность газа изменяется скачком. При фиксированном значенииr изменение плотности происходит в течение промежутка времени 2ro/ao.В момент времени t > О передний фронт сферической волны (позиция 1на рис.
9.2) достигает точек, расположенных на расстоянии r = aot + roот центра О шаровой области начального возмущения плотности газа.При t> 2r0 /a 0за пределами этой области формируется задний9. ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ГАЗОВОЙ дИНАМИКИ342фронт2 сферическойна расстоянииволны, который достигает точек, расположенныхr = aot -то от центра О, и эта волна располагается в2r0 , равномерно расширяющемся со скороr = a0 t делит этот слой на внешнюю (р > р0 )сферическом слое толщинойстью а0 . Сфера 3радиусоми внутреннюю (р< ро)Рис.части.Рис.9.1ба9.2вРис.9.3В случае точечного источника возмущенияro =О и шаровой слойпереходит в сферическую поверхность, также равномерно расширяющуюся со скоростью ао.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
