Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Поскольку v =н;= о при Х2 =о, а за пределами пограничного-*слоя v = Н тоо = 1, то из тождественности этих уравнений следует со=О) ввпадение профилейv и -*Н т в пограничном слое, являющееся еще однимдополнением к тройной аналогии (см.записать с! = Stн2=(qo *)PVoo Нт оо.8.6).Тогда вместо(9.48)можно9. ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ358Различные модификации ММ пограничного слоя объединяет сопоставление характерного размераLповерхности в направлении обтекания и масштаба с50 , характеризующего порядок толщины этого слоя.Однако при уменьшении плотности газа увеличивается средняя длина.Iсвободного nробега молекул газа, что ограничивает применениеММ сnдошной среды.Оценить границу области применения такихММ можно следующим образом. Если в(1.4)среднюю скорость свободного пробега молекул газа представить в виде [76} v = аJ8/(-тrк),где а скорость зву?Са, а к. nо?Сазатедь адиабаты, то получимI:::::::: 1,15vD.J'К,fa (здесь VD = J.lD/P- ?CtiНe.wamuчec?Ca.a влз?Сость газа).Тогда, полагая до/L:::::::: 1/.JR:ёL (см.
8.6), где ReL = v00 L/vD- чисдоРейнодьдса, находим lfбo:::::::: M/JRёL (здесь М= v00 fa - чисдо Маха). Ясно, что в случае lfдo ~ 1 ММ пограничного слоя не применима.Ее надежное использование целесообразно при lfбo ~ 0,01, т. е. приMjy!RёL ~ 0,01. Для сильно разреженных газов M/.JRёL" ~ 10. В этомслучае необходимо применение ММ молекулярио-кинетической теориигазов. В интервале значений М/ JRёL между этими границами используют ММ течений со скольжением, допускающие отсутствие эффектаприлипания и основанные на предположениях, что10. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИТЕРМОВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫМатериал твердоzо тела с повышением абсолютной температуры, сохраняя свойство упругости, может приобрести и вязкие свойства.В этом случае при нагружении тела возникает так называемая вJCзnoynpyгaJC дефор.м.ацuJС, которая изменяется во временц даже припостоянной нагрузке, а после снятия нагрузки постепенно исчезает.Свойства таких материалов,к которым относятся многие поли.м.еры, описывают .м.ате.м.атические .модели (ММ) тер.м.овJСзnоуnругойсn.~~ошн.ой среды.
В этой главе ограничимся рассмотрением линейныхММ этой среды, для построения которых использован термодинамический подход (см.4.5).При этом будем считать справедливым принципначальных раз.м.еров, т. е. полную провзводную по времениравной частной производной:d(-)jdt =tпримемд(·)/дt, а плотность среды рне зависящей от времени.10.1.Термовязкоупругая среда скоростного типаТермодинамический подход, использованный при построении .мате.матической .модели (ММ) жидкости как среды скоростного типа (см.8.1),отличается от используемого при построении ММ тер.мовязкоупругой сплошной среды тем, что в(8.1)вместо якобианав качестве аргумента принят тензор .малой дефор.мациита.миEkt, k, l = 1, 2, 3, заданными(8.1) примет вид€J*с ко.мпоненв пря.моугольной систе.ме координатОх1х2хз.
ТогдаА= A(e:kt, Vkt, т, 'l?k), h = h(e:kt, Vkt, т, 'l?k),}aij = aij(e:kl, Vkt,T,'I?k), Qi = Qi(Ekt, vk/,т,'l?k),i, j, k, l = 1, 2, 3,(10.1)где активны.ми пере.менны.ми являются .массовые плотности свободной энергии А и энтропииu и проекции Qi вектора qh, ко.м.поненты бij тензора напряженийплотности теплового потока на осиа в качестве реактивных пере.менных помимоты vkl = дt:kt! дt тензора скоросте'fJ.fklOxi,приняты компоненv' абсолютная те.мпература т ипроекцииПри'!9k = дТ jдxk ее градиента fJ на оси Oxk.Vkl =О соотношения (10.1) должны совпадатьсоотношениями для тер.м.оупругой сплошной среды.с аналогичнымиПоэтому можно10.
ЛИНЕЙНЫЕ МОЛЕЛИ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ360записать(10.2)где первые слагаемые в правых частях равенств соответствуют функциям для термаупругой среды и не зависят от Vkl, а вторые-зависяттолько от vkl и обращаются в нуль при vkl = о.Если с учетом(4.11),(4.21)подставить(10.2)в уравнение nереноса энергииа затем полученное равенство вычесть из(4.19),то выражениедля второго за?Сона тер.м.одина.м.и?Си примет видгде р- n.ttomнocmь среды;t-время. Это неравенство линейно относительно производных дVij / дt, дТ / дt и дiJi/ дt, которые в соответствиис(10.1)не являются реактивными перемеnными. Тогда при произвольных значениях этих скоростей и линейности относительнослагаемого в левой части(10.3)первогоVijполучим в качестве достаточных условий реализуемости рассматриваемого тер.м.о.м.ехани'Ч.ес?СогоnроцессаравенствадА(D)д v:.~J=о,дАд{}i =о,дАh=--дТ'(10.4)и общее диссиnативное неравенство вида(4.23) бv- QiiJi/T ~О, где вданном случае диссиnативная фун?Сцил б D = o"iJJ) Vij.
Так как из первогоравенства (10.4) следует, что A(D) не зависит от Vij, далее можнопринять А= А о. Если считать, что процессы вязкого деформирования ираспространения теплоты независимы, то должно выполняться каждоеиз неравенств(10.5)характеризующих диссипацию энергии в этих двух процессах.За?Сон сохранения энергии(4.22)в данном случае принимает вид(10.6)гдеqv -плоты.объе.м.ная n.ttomнocmь мощности внутренних источников теДальнейшая конкретизация(10.6)связана с заданием вида10.1.Термавязкоупругая среда скоростного типа361функций А, qi и O"h). В случае рассматриваемой среды и:_пользуем дляА иqiте же соотношения, что и в5.1,и введем теюорRпоэффициен.тов вJlэnocmu с компонентами ~jkl, удовлетворяющими условиямсимметрии ~jkl= Rjikl = Rijlk = Rklijи неравенству ~jkl Vkl Vij ~ О дляпроизвольных \lij-~. Положив O"h) = ~jkl Vkl и подставив в (10.6) соотношения из5.1,получим форму записи закона сохранения энергии в видеуравнения теn.tt.оnроводности(10.7)где Се: -.м.ации;удельная массовая теn.tt.ое.м.~ость nри nостоянной дефор€lJ> -компоненты тензора те.м.nературной дефор.м.ации, и сучетом равенства \lij=O€ij / дt придем к соотношению(10.8)где Cijkl -компоненты тензора ~оэффициентов уnругости, котороеопределяет анизотропную термавязкоупругую среау Кельвин.а(10.
7)Фойгта. Отметим, что последнее слагаемое в правой частиимеет при \lij-tО более высокий порядок малости по сравнению состальными слагаемыми и им можно пренебречь.Для изотропной среды ~jkl = Лvбijdkl + /Lv(бikбjl + di!djk), где Лv иILD- коэффициенты (см. 8.1), аналогичные ~онстанта.м. Ла.м.е).. и р,.При этом(10.9)Если вязкие свойства среды не проявляются при объе.м.ной дефор.м.ации,т.
е. выполняется ус.tt.овие Сто~са, то (10.9) принимает вид O"~D) == 2~-Lv(Vij- Vkkдij/3). В этом случае, учитывая (5.5), вместо (10.8)получаем(10.10)где €(Т) -те.м.nературная дефор.м.ация среды, а eij= €ij -€kkdij -компоненты девиатора деформации.С учетом(10.8)уравнения движения(3.62)по аналогии с(5.8)длярассматриваемой термавязкоупругой сплошной среды примут вид(10.11)10. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ362где Ui ипроекции на осиbi -п.л.отности объемных си.л..вместод2щр дt 2(10.11)векторов и пере.мещени.н и ЬOxiЕсли среда изотропна и однородна, тоимеемд2ui= /-L дхjдХjд2щд2iц+(Л+ J.t) дхjдХi + /-LD дхjдХj +lflи ·дс(т)+ (Лv + J.LD) дхjд~i + bi- (3Л + 2~-t) дхi,(10.12)где()= д(·)/дt. Для получения единственного решения системы дифференциальных уравнений (10.7) и (10.11) (или (10.12)) используюткраевые условия (5.20), (5.21) и (5.10)-(5.12).Рассмотрим более подробно вопрос о различии между вязкоупругим твердым телом и жидкостью.
Интуитивно ясно, что упругая средаявляетсятвердымтелом,авязкаясреда-жидкостью,длявязкоупругой среды ситуация существенно сложнее, так как она проявляетпризнаки как упругого, так и вязкого поведения.Будем различать жидкость и твердое тело при помощи следующего простого, но пестрогого рассуждения.Пусть рассматриваемоетермавязкоупругое тело изотропно и однородно. Тогда компоненты девиатора напряжений SijSij=2~-teij=CГij - CГkkбij /3 связаны с eij соотношением+ 2~-tvёij, откудаe;;=~>2~Jexp((t- t')~-t) дsij dt'./-LDо(10.13)дt'Для однородной вязкой жидкости в случае малой деформации компоненты девиатора скоростей совпадают с компонентами девиатора-.скоростен деформации, т. е. eij ==1 ( дvi2дх;·)+ дvдх:дvk 8i ·- дхk:f• и тогда Sij =2~-tvёij· Если ёij =О, то для вязкоупругой среды sijдля вязкой жидкости Sij=вать на микроуровне (см.=2~-teij =/=О, аО. В случае полимеров, если их рассматри1.4),различие между твердым и жидкимсостояниями достаточно простое: в жидком состоянии отдельные цепимолекул не связаны между собой и за длительные промежутки времениобладают леограниченной подвижностью по отношению друг к другу, а в твердом состоянии между цепями молекул имеются дискретныехимические связи, называемые поперечными, которые и препятствуютнеограниченному течению.На рис.(10.13)10.1представлен .механический аналог, соответствующийпри одноосном растяжении.
Он состоит из упругого элемента,перемещение и которого линейно зависит от приложенной силы Ре, т. е.10.2. Модель среды, учитывающая аюрость измевеви• напряжений363и= Ре/С, причем жесткость этого элемента С пропорциональнакоготрения,2j.l,и элемента вязрскорость перемещения которого связана с приложенной силой РТ/ соотношениемduf dt =пропорционаленРТ// 'r/, где коэффициент 'rl2pv.Тогда в случае переменной во времени суммарной силы=Pc(t) + РТ/(Т)=P(t) =Рис.Cu(t) + 'rl d~~t), или10.1tu(t) = P(t) _с_.!._с/ехр (- (t- t')C) dP(t') dt'dt''rlочто с точностью до обозначений совпадает с(10.14)'(10.13).Отметим, чтомеханический аналог, соответствующий ньютоновской жидкости, содержит лишь элемент вязкого трения.Если в(10.13) принять Sij = sijH(t), где s'tj = const, а H(t)(H(t) = 1 при t ~О и H(t) =О при t < 0), тофун.пция Хевисайда(10.15)где б(t)dH(t)= ---;It" -де.л.ьта-фун~v,ия, обладающая в данном случае поотношению к произвольной непрерывной в точкеto Е (0, t)функцииf(t')свойствомtj f(t')б(t'-to)dt' = f(t0 );оф(t)= 1- ехр( -tjt*) -фун.пция nо.л.зу'Ч.есmи;t* = J.lD/ J.l -вре.м.язаnаздыван.ия.10.2.Модель среды, учитывающаяскорость изменения напряженийВлияние скорости изменения тензора напряжений на поведение термавязкоупругой среды можно учесть введением при помощи преобразования Лежандра тер.модина.ми-ч.ес~ого потенv,иа.л.а Гиббсаi, j, k, l = 1, 2, 3,(10.16)10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
