Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 66
Текст из файла (страница 66)
ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ364где р- п.л,отность среды; А- .массовая п.л,отность свободной энергии;Ekl --х:о.мпоненты теюора .м,а.л,ой дефор.маv,ии.Аргументамиэтого потенциала являются -х:о.мпоненты akl тензора напряжений иих скорости akl= дakl/дt изменения во времениратура Т и ее градиент с проекциями {}kt, абсо.л,ютна.н те.мпе= дТ jдxk на оси Oxk системыпространствеиных -х:оординат.Общее диссипативное неравенство(4.23),выражающее второйза-х:он тер.модина.ми-х:и, с учетом (10.16) можно представить в видедG.h дТ q;iJ; :>::: 0hрдt+ G"ijEij + ра qi -дt+ т """проекции на оси,Oxi-где.массовая п.л,отность энтропии,вектора п.л,отности теп.л,ового пото-х:а,илиЭто неравенство линейно по отношению к величинамaij,Т иiJi,которые не являются реа-х:тивны.ми пере.менньши.
Поэтому достаточныеусловия его выполнения имеют виддG-а· =О,G'ijдGд{}i =о,(10.17)т. е. G не зависит от aij и {}i·п аложим Eij = Eijо - Eij(D) , где Eijоне зависят от•G"ij,а(D)Eijне зависят= -pдGjдaij, и в(4.23) в данном случае диссипативна.н фун-х:v,и.н бv = E~f)aij, а за-х:онот G"ij· Тогда из неравенства всохранен ил энергии(10.17) следуетEij(4.22) принимает вид(10.18)гдеqv -объе.мна.н п.л,отность мощности внутренних источниковтеплоты.При малых скоростях изменения компонент тензора напряженийможно принять E~f)= -DijkltYij+ Gijk{}k, где Dijkl и Gijk должны бытьвыбраны так, чтобы выполнялось(4.23).Если по аналогии с(10.5)считать, что механическая и тепловая диссипации энергии независимы ипо отдельности неотрицательны, т.
е.c§&ij= -DijkltYkttYij + Gijk{}kд"ij ~~О и -qi{}i ~О, то в силу произвольности {}k и aij достаточным условием выполнения неравенстваEij=(4.23)является Gijk =О. В итоге получимдG-рG'ij8.+ D ijklG'kl·(10.19)10.2. Модель срецы, учитывающая скорость изменения напряжений365Дальнейшая конкретизацияG((щ,Т). С учетом(10.19) связана с выбором функции(1.13), (5.1), (5.2) и (5.14) вместо (10.16) запишем(10.20)где Sijkl,Cijklи f:~J)- компоненты тензоров ~оэффициеитов податливости, упругости и температурной деформации соответственно, аВ(Т) включает все остальные слагаемые, зависящие только от температуры. Тогда(10.19)E:ijпримет вид.= S ijklO'kl +DijklO'kl(Т)+ f:ij'что определяет анизотропную mер.м.ов.нзпоуnругую сn.л.ошиую среду Мапсве.л.ла.
Для изотропной среды положимгде Oij -f:· ·~зси.м.вол Kpoue~epa, и с учетом2_J..l (и··~з=где Л иИз2J.L-ЗЛ(5.6)получим+Л 2J..l O"kko~з.. ) + D1irkkб~з.. + 2D2&~з.. + f:(T)§..~з'(10.21)~оистаиты Ла.м.е.(10.21)следует, что связь между компонентами девиаторовдеформации eij и напряжений Sij имеет вид eij= Sij/(2f..l) + 2D2Sij,откуда( Jts·· = 2н е··~з,..~з8е(t - t' ) · · )ехр - - - _!l.dt' .4J.LD28t'(10.22)оЕсли щ =ef1H(t), где ef1 = const, H(t) - фуи~ци.я Хевисайда, топо аналогии с (10.15) Sij = 2J.Leij'Ф(t), где ф(t) = 1 - ехр( -tjt*) фуипци.н релапсации, а вре.м.я рела~сации в данном случае равно= 4J.LD2.t* =Явление, при котором напряжения измененяются во временипри постоянной деформации, называют релапсацией иаnр.нжеиий.В соответствии с(10.20)и третьим равенством(10.17)имеем36610.
ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫгде а~р=дс:~J) 1дТ = const -компоненты тензора -коэффициентовтемпературной деформации. Подставляяhв(10.18)и вводя удельнуюмассовую теплоем-кость Си =сЕ+ TCijklaiГ а~р 1р при постоянных напряжениях, где сЕ= -Т d2 В jdT2-удельная массовая теплоем-костьпри постоянной деформации, с учетом(5.17)получаем уравнение теплопроводности, в котором учтена связь между полями температурыи напряжений:дТТ.(Т)PCuдt = - CТijaijгде л~рд ( , (Т) дТ )+ дхiлij дхj+qv+D..ijklCТklCТij,- компоненты тензора теплопроводности. Для решения этого уравнения помимо зависимостейCrijот времени и пространствеиныхкоординат должны быть заданы -краевые условия10.3.с(5.20)и(5.21).Термавязкоупругая средавнутренним параметромсостоянияОдин из возможных вариантов построения .математичес-кой .модели(ММ) тер.мовяз-к:оупругой сплошной среды основан на использованииее внутренних параметров тер.модина.ми'Чес-к:ого состояния.
Введемтензорный внутренний параметр с -компонентамиизменение которых во времениtXij, i, j= 1, 2, 3,в линейном приближении описываетобыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ)t*.uXijгде t~-= -Xij- Xij,дxij.Xij = at'(10.23)вре.мя рела-ксации параметра с компонентамизначение в равновесном тер.модина.ми'Чес-к:о.м процессе.Xij; Xij-егоЭтому ОДУудовлетворяетфункцияtXij = Xij-J (t-t')дX··ехр -тдt:з dt'.(10.24)оПо аналогии сучетомIXijl «1(5.69).массовую плотность свободмй энергии А спредставим в видеCijkl(Т)pA(c:kl, Т, Xkl) = - -c:klC:ij- Cijklc:kl C:ij- HijklXklC:ij +2+ Kijkl~klXij + рВ(Т),k, l= 1, 2, 3, (10.25)10.3.где р -Термавязкоупругая среда с внутренним параметром состоянияплотность среды; C:ijr Cijkl и C:k~) -367комnоненты тензоров.малой деформации, х:оэффициентов упругости и температурной деформации соответственно; Т-абсолютна.н температура.
Примем,что при температуре То естественного состоянuл C:ij = с:~Г = Xij =О иВ(То) =О. ТогдаA(OrTo,O) =О ис учетом первых двух равенств(4.39),отождествляя при малой деформации тензоры напряжений Коши иПиолы -Кирхгофа, получаем с использованием(10.25)соотношениядля компонент тензора напряжений и .массовой плотности энтропиигде a~J) = дс:~Г / дТ = const -компоненты тензора х:оэффициентовтемпературной деформации.Соотношение длясохраненuл энергии,h в сочетании с выражением (4.22) для зах:она(5.17) и (10.25) дают возможность получить уравнение теплопроводности(10.26)где се;= -Td2 BjdT2 -удельная массовая теплоем.х:ость при постоянной деформации; л~Г qv -компоненты тензора теплопроводности;объе.мна.н плотность мощности внутренних источников теплоты, а диссипативна.н фунх:ция(10.27)С целью дальнейшей конкретизации соотношений дляO'ijпримемлинейную зависимость Xij = Xijk!C:kt + "fij (Т- То) + Fijk :: и с учетом(10.23)и(10.27)подставим в общее диссипативное неравенство( KijklXkt- Hijkt(c:kl-(4.23):c:k~))) (XijmnC:mn + 'Уiз(Т-То) +дТ)* Qi дТ+ Fijm дхт- Xij + tит дхiОтсюда, полагая, что процессы деформирования и изменения~О.Xijсвязаны между собой и не зависят от изменения температуры и распро-10.
ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ368странениятеплоты,получимдостаточныеусловияреализацииэтихпропессов в виде'Yij =О,Fijm =О,KijklXijmn~mnXkl ~О,-KijklXklXij ~О,дТ~о.qi-8 XiТогда с учетом первых двух равенств получим(10.28)Используя(10.24)и(10.28), соотношения для O'ij можно представитьв виде(Т)O'ij = Cijkl(~kt- ~kt ) -1(t1Rijkl(~kt-t - t ) д~klехр -~дt'1dt1),(10.29)огде R~jkl = HijmnXmnkl, причем R~jkl = R~lij = Rjikl = R~jlk· Если продифференцировать (10.29) по времени, полученный результат умножить на t~ и сложить с* дO'ijtит+aij=(10.29),то получимСijkl ( 1+tидt* д)Это равенство в сочетании с((10.26)(Т))&kt-ekt1-Rijkl~kt·(10.30)определяет анизотропную стандартную дuнейную термавязкоупругую сплошную среду.
Для изотропной среды R~jkl = Л бijбkt1Kponex:epa,стапта.ми Ла.мегде бij -си.мвол>.. и JL·Подставив соотношенияКоши+ Ji(бikбjl + бilбjk),1а коэффициенты Л и Ji совпадают по размерности с х:оп(3.12),(10.29)в(3.62)и использовав соотношенияполучим уравнения движения в перемещениях, которыедля изотропной и однородной стандартной линейной среды имеют видгде Ui иbi -проекции на осиOxiвех:торов nере.мещепия и nлотностиобъе.мпых сил соответственно. Для совместного решения этого уравнения с (10.26) необходимо добавить х:раевые условияи (5.21).(5.10)-(5.12), (5.20)10.3.Термавязкоупругая срtЩа с внутренним параметром состоянияДля изотропной среды вместо(10.30)можно записать* 8sijt(]'3698eijat + Sij = 2J.L ( ta-* 8t+ eij ),- 2J.L eij,(10.31)где Sij = CТij - СТkkбц/3 и eij = &ij - &kkбij/3 компоненты девиаторов напряжений и деформации; бij си.м.вол Кро'Н.ех:ера. Тогда.м.еха'Н.и'Чесх:ий а1tалае ММ рассматриваемой среды можно представить в виде аналога среды Кельви'Н.а -(см. рис.Фойгтас параметрами С и fJ, по10.1)следовательносоединенногос упругимэлементом жесткостью С1 (рис.учетом10.2).Сзапишем(10.14)и(t)рРис.10.2t= P(t)с1+ P(t)с_ _!_ /ехр (- (t- t')C) dP(t') dt',сfldt'огде и -перемещение точки приложения силы Р.
После дифференцирования этого равенства по времени, умножения полученного результата на f//C и сложения с исходным равенством получим= С1 (t-*(1 dudtс1с + с = !!.._J-L1+ и)-C'fuс+cl'где- dPt;dt + Р =t-*(]' = с+Т] cl ' что при условиях t*q = t*q ис точностью до обозначений соответствует (10.31).1Условия на nоверХ'Н.ости разрыва в рассматриваемой термавязко-упругой сплошной среде можно получить, если считать, что отклонениеабсолютной температуры от температуры естественного состояния невелико, т. е. /Т- То/ /То«1.Полагая, что возмущения в однороднойсреде распространяются со скоростью D~, из(10.26)при Т~ То и бD =Онаходим(10.32)где[ ·] -скачок соответствующей величины на поверхности разрыва;n i - направляющие косинусы нормали к этой поверхности (см. 4.4).Остается в силе второе равенство(5.30),из которого следует, что таккак в общем случае л~J)nj :f.
О, то [Т]= О, т. е. абсолютная температуранепрерывна, поскольку в рассматриваемой среде скорость распространения теплоты бесконечна.Используя(5.27)и(5.28),из(10.30)получаем систему*(p(D~) 2 бik- Cijklnjni) [itk] + ~jkl[иk] nj ;; =О(]'(10.33)10. ЛИНЕЙНЫЕ МОдЕЛИ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЫ370трех однородных линейных алгебраических уравненийстью неизвестнымине больше трех,гутбытьжителей.ис шеТак как ранг матрицы этой СЛАУ[uk]·то неизвестные значения скачков параметров моопределенысточностьюдонекоторых постоянныхмноЕсли из решения х:раевой задачи термавязкоупругости ссоответствующимискачки[uk]( СЛАУ)[uk],граничными ито скачки[uk]нача.11.ьными ус.11.овшсми определенымогут быть найдены из решения этойСЛАУ. Скорости распространения скачков[uk]удовлетворяют равенству det(p(D~) 2 дik- Cijklnjni) =О, которое в случае изотропной средыимеет решение(5.31).Согласно соотношениям(10.23)и(10.28)с учетом(3.12)можнозаписать -t;[Xij]D~ = ~Xijkl ([иk]п; + [щ]пА;), что позволяет с использо2ванием (10.32) и (10.33) получить [qi) ninj = - p[ui] а~Гто (D~) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
