Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Если такой источник движется из начальнойточки О прямолинейно с постоянной скоростьюvo,то для неподвижнО:.го наблюдателя сферическая волна в различные моменты времени небудет представпять собой концентрические сферы. Примоменту времениt1, 2tl, 3tl, . . .v0 < а 0соответствует сфера, охватывающаявсе сферы для предшествующих моментов времени (рис.чаеvo = аокаждому9.3, а).В слувсе сферы имеют общую точку касания, соответствующуюначальному положению точечного источника (рис.9.3, б).9.3,все сферы касаются прямого кругового конуса (рис.мого пон.усо.мMaza.vo > а0Вершина этого конуса совпадает с начальнымположением источника, а полууголу гл о .м Мaza.Прив), называеarcsin(ao/vo)при вершине называют9.2.9.2.343Одномерное течение невязкого газаОдномерное течение невязкого газаПри установившемся одномерном течении н.евяз'll:ого газа в прямолинейном канале постоянного поперечного сечения изpv = const, где р - пдотн.остьОтсюда pdv + vdp =О, илиdpгаза, а(9.2)(9.1)следуетмодуль вектора скорости.+ dv =О.(9.21)vрДля такого течения изv -получимpvdv + dp =О, где(9.21), находимр- давден.иегаза.
Используя последнее равенство иdp2dp =v.(9.22)При иэоэн.тропичес'/\:о.м. процессе движения газа(9.9),dpjdp, согласно(9.22) опреявляется функцией только р или р. В этом случаеделяетскоростьраспространениявканале малого возмуъцениянеизменной формы, удовлетворяющую как уравнению неразрывности, таки уравнению движения, называемую .местной споростью звупа иобозначаемую через а[64].нения состоянияи уравнения адиабаты Пуассона(9.8)Для совершеиного газа с учетом его урав(9.9)запишем(9.23)гдеR9Из-газовая постоянная; Т- абсодютн.ая температура газа.(9.3)с учетом(9.6)получимрv22 + evT + Р =(9.24)const,= const- удельная массовая тепдое.м.'ll:ость газа приобъе.м.е, или, учитывая (9.8) и (9.23),где Cvv2CvPрv2крv2а2постоянном.а2-+--+= -+= -+-- =const= - 02R p р2(к -1)р2к -1к -1'(9.25)9где к= 1 +Rg/Cv- по'll:азатедь адиабаты; ао = Jкро/Ро = JкR9 Toскорость звука в полностью заторможенном газе при давлепuu тор2+ pv /2, которому соответствуют темnературатор.можепu.sс То= Т+ v 2 /(2epv) (ер - удельная массовая тепдое.м.'li:ость при постоянном.
давден.ии) и плотность ро = Po/(R9 To)..можепu.sс Ро = р9. ОСНОВНЫЕ МОдЕЛИ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ344Изv2(9.25)с учетомимеем(9.9)2а2о_ ( 1 - ( -р) 1- ~) '= __к,-1Х: - 1 (V )р = Ро ( 1- -2- аоРоСкорость v достигает максимального значения2) к~ 1.Vmax=(9.26)ао ~ прир=О.Если в(9.25)положитьv =а,т. е. приравнять скорость потока местной скорости звука, то получим значение приmичеспой споростизвупа:а* = ао J"' ~ 1 .(9.27)кЕй соответствует давление р* = Ро(-2 -) к:-l. Течение газа называютк+lдозвуповы.м, если О< v <а*, и сверzзвуповы.м, если а* < v < Vmax·v/а,Безразмерный параметр М =емости газа, называют число.мхарактеризующий влияние сжимаMaza.Используя это число, вместоквторого равенства (9.26) получаем ~ = (1+ "; 1 м 2 )к- 1 и с учетом1(9.9) ~ = ( 1 + к; М 2 ) к:- , а в соответствии с (9.8)11То = 1 + х:- 1 М2тчто позволяет, согласно2(9.23)и(9.27),(9.28)'записать(9.29)Отсюда следует, что а*< а при М<1и а*> а при М>1.При изоэнтропическом процессе неустановившегося одномерного течения невязкого газа в прямолинейном канале постоянного поперечногосечения из(9.1), (9.2)и(9.9)др+ д(рv) -Одtгдеt---ах-- 'имеемдv +vдv =-!дрдtдхр дх'()р= р р '(9.30)время; х- координата, отсчитываемая вдоль оси канала.
Длямалых отклонений др= р- Рои др= р- родавления р и плотности рот соответственно давления р 0 и плотности р0 газа в невозмущенномсостоянии при малой скоростиvи ее производных из(9.13)следуютодномерные волновые уравненv..н(9.31)9.2. Одномерное течение невязкого газа345+ 9р(х + aot)общие решения которых имеют вид р(х, t) = fp(x - aot)иv(x,t) = fv(x- aot)+ 9v(x + aot).Анализ этих решений показывает,что если, например, др(дх,t) \ =О в начальный момент времени t =Оtt=Oи р(х,О) = Fp(x) = fp(x) + gp(x), то по nрошествии времени t1 криваяраспределения плотности газа сдвигается без искажения вдоль оси Охвправо и влево на рассtояниеa0 t 1.
Вдоль линий х- aot = const решенияfp(x - aot) = const и fv(x - aot) = const, а вдоль линий х + aot = constрешения gp(x + a 0 t) = const и 9v(x + aot) = const. Эти линии называютжapanmepucmuna.мu волнового уравненUJС.Если возмущения скорости не являются малыми, то необходиморешать системунелинейных уравнений(9.30),и, как правило, численно.
В частном случае зависимости р только отv, т. е. р = f(v) [7],(9.30), с учетом третьегоудовлетворяющей первым двум уравнениямуравнения(9.30)получимдv2!' дvдv-+v-=-a - - .дtдхf дхrdОтсюда следует -1 = а 2 -, или _!!_уравнения(9.30)f'fР=d±~,что позволяет первые двапредставить в видедрдрдtдх-+(v±a)- =0дv'дtадv+ (v±a) дх=О.Непосредственной проверкой можно установить, что этим уравнениямудовлетворяют соотношенияр(х, t) = Fp(x- (vгдеFp± a)t), v(x, t) = Fv(x- (v ± a)t),(9.32)иFv- произвольные функции./v/a/-+ О соотношения {9.32) переходят в общие решения волуравнений (9.31).
Из (9.32) следует, что в подвижной системеПриновыхкоординат, начало которой имеет скоростьv ±а,плотность и скоростьчастиц газа остаются постоянными. Отсюда можно сделать вывод, чтовозмущения будут распространяться со скоростьюv ± а,в общем случае различной в разных точках потока газа, поэтому пространствеинаяформа возмущений будет изменяться во времени.Примем в {9.32) v(x,t) = Fv(x- (v=0+ a)t)и в момент времени t =волнообразное распределение возмущения скоростиОх (рис.9.4, а).Поскольку возмущения в области, гдестраняются быстрее, чем в области, гдеvvv<О, то привдоль оси>О, распроt >О гребеньволны будет стремиться нагнать впадину, что приведет к более резкому изменению скорости в зоне смены ее знака (рис.9.4,б). В рамках9.
ОСНОВНЫЕ МОдЕЛИ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ346баРис.в9.4рассматриваемой .мате.матичес~ой .моде.л.и (ММ) это изменение, сопровождаемое скачкообразным изменением давления и плотности газа, кt > О также должно принять форму скачпекоторому моменту времени 1ка (рис.9.4, в).Таким образом, эта ММ описывает формирование в газедвижущейся поверхности разрыва, которая соответствует волне сжатия, называемой сnа'Чnо..и уплотненu.в, так как перед движущимсяфронтом этой волны возрастают плотность и давление газа.
Если в(9.32) принять v(x, t) = Fv(x- (v -a)t), то возмущение скорости в виде,9.4, а, со временем будет, наоборот, сглаживать-изображенном на рис.ся, т. е. волна разрежения по мере распространения растягивается, чтоисключает возможность возникновения скачков разрежения.Мате.матичес~ую .моде.л.ьодномерного неустановившегося(9.30)п.л.ос~ого те-ч.ен'Шl невязкого газа несложно модифицировать для общегослучая одномерного движения, включающего также цuлuндрu'Чеспоеи сферu'Чеспое mе'Ченu.в, когда поле скоростей обладает осевой ицентральной симметриями соответственно. Такая модель в случае изоэнтропического процесса течения отличается лишь первым уравнением(9.30), которое примет вид 8 Р + д(дрv)8tх+ Npv=О, где Nх= 0,1, 2 для плос-кого, цилиндрического и сферического течений соответственно.9.3.Скачки уплотнения и ударные волныЕсли поверхность разрыва в газе, соответствующая с~а-ч.~у уп.л.отненил, перпендикулярна направлению движения газа, то такой скачокуплотнения называют nр.в..иы..и.
Рассмотрим адиабати-чес~ий процессустановившегося одномерного п.л.ос~ого~ого газа с уравнением состолнилте-чен'Шl совершенного(9.8),невлзсчитая положение прямогоскачка уплотнения неизменным относительно выбранной системы координат. Тогда из(9.1), (9.2)и(9.25)получимгде к,- по~азате.л.ь адиабаты, а индексамискоростиv,1и2отмечены значениядав.л.ен'Шl р и плотности р перед скачком уплотнения ипосле него соответственно.9.3.Исключаяv2Скачки уплотнения и ударные волныиз первого и второго уравненийV}(9.33),находим+ Р2)+ Р2) .к,р2(РI=347PI(PI(9.34)Если отсюда при помощи третьего уравнения(9.33)исключитьv1 ,тополучим уравнение"'Р2- Р1Арк.(р1Р2 - Pt = Ар =Pl+ Р2)+ Р2(9.35)адиабаты Гюгонио.При малой интенсивности скачка уплотнения различие в состоянияхгаза до и после скачка незначительно, т.
е.этому(9.35)пределе соответствующего уравнениюцесса. В этом случае изля,Pl~ Р2 ~ р иPI~ Р2 ~ р, попринимает вид приближенного равенства Ар/ Ар~ к,рf р, вдвижущегосясо(9.34)д.л.л адv.абатv:чес-кого nро(9.9)следует, что относительно наблюдатескоростьюv1вместесневозмущеннымпотокомгаза, прямой скачок уплотнения малой интенсивности перемещаетсянавстречу в виде слабой ударной во.л.ны со скоростью D* ~ VКiJ!P, близкой к .местной с-корости зву-ка а1 =к,р 1 / Р1 в невозмущенном газе.JПреобразовав(9.35)к видуР2Plк+ 1+ Plк-1Р2= 1 + к+ 1 .
Pl 'к-1для скачка большой интенсивности (р2р2» Pl)получим, что Р2 ~ к+ 1\Plк-т. е. в адиабатическом процессе сжатия газа вследствие диссипацииэнергии увеличение его плотности ограничено,тропическом процессе сжатия из(9.9)тогда как при изоэнследует, что с ростом давлениягаза его плотность возрастает неограниченно.Для скорости такогоскачка относительно подвижного наблюдателя согласноD* ~(9.34)найдем(к+ 1 )Р2 • При этом верхняя граница для D* превышает как а1,2plтак и местную скорость звука а2 =J к.р2/Р2 в газе после скачка.Изменение давления, плотности, скорости и абсо.л.ютной темnературы Т газа в прямом скачке можно представить в виде зависимости от чис.л.а Маха М 1uуравнении(9.33)= v1/atимеем -V2Vl+ (к, -21) ( :: )= 1-перед скачком. Из второго и третьегок1м21(Р2--1)Plи1 + ( к, - 1) -М~ = -Р2 -V22~~ • Отсюда следует уравнение2Р2 1 + к.М~ -2(к.-1)(к.+1)-2-=0,к.М~-2( Р2)PlPl к, + 1к, + 1Pl Vl+9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
