Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Для их анализа применим закон сохраненш энергии в видеv2dqm = epdT + d2,г де Qm -(9.43)количество теплоты, сообщаемое извне единице массы газа;ер= кR9 j(к-удельная массовая теnлоемкость газа nри nо1) -стоянном. давлении. Положив т переменным, получим вместо(9.39)pvF. Продифференцировав его и разделив результат нат, запишем d~ = dp + dv + dFF. Исключив отсюда при помощи (9.8)равенство т=тdpj р,с учетомр(9.40)dpрvполучим= R 9 dT+ R9 т(dmтОтсюда, используя(9.23)v2(~_1и(9.43),dv- dF)vF= -vdv.находим)dv = dF _ dm _ (к-1)dqmvFт~.(9.44)Отметим, что при dт =О иdqm =О (9.44) переходит в (9.41).(dF = О) при dqm = Оиз (9.44) следует, что для ускорения газа (dv >О) необходимо при v <аувеличивать массовый расход газа (dт > 0), а при v >а уменьшатьрасход (dт < 0). Аналогично в случае dF =О и dm =О для ускорениягаза необходимо при v <а подводить к газу теплоту (dqm > 0), а при·и> а отводить ее (dqm < 0).
Таким образом, в канале постоянного попеДля канала постоянного поперечного сеченияречного сечения увеличением массового расхода газа и/или подводом кнему теплоты можно лишь достигнуть скорости, равной критическойскорости звука,а для перехода к. сверхзвуковому течению следует изменить знак расходного и/или теплового воздействия на обратный.Можно показать[24],что если газ при течении в канале постоянногопоперечного сечения совершает механическую работу (например, вращает турбину), то приv<а его скорость может возрастать вплоть до9. ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ354значения а,.,, а для дальнейшего ускорения газа необходимо воздействовать на газ (например, при помощи компрессора).
Затраты энергии напреодоление сил трения при течении газа в канале постоянного поперечного сечения приводят к ускорению газа приприvv < а и его торможению>а.9.5.Погравичвый слой, образующийсяпри высокой скорости газаПри обтекании в.нз11:u.м газо.м поверхности твердого тела (как и вслучае в.нз11:ой несжu.мае.мой жид11:остu) возникает пограничный сдой,впределахкоторогомодульвектораvскоростигазавозрастаетотнуля на этой поверхности (в силу зффе11:та прuдипани.н) до некоторогозначения в обтекающем потоке. Рассмотрим установившееся пдос11:оетечение вязкого газа, описываемое в координатной плоскости х1 Ох2при выполнении усдови.н(8.11)приi, j= 1, 2,Cmo11:caуравнени.н.ми Навьено без учета объемных сил(bi- Cmo11:ca в=О)где V i - проекции вектора скорости на координатные осиf.LD -виде[135]:Oxi;р, р ипдотность, давдение и дина.ми-ч.ес11:а.н в.нзJ~:ость газа.В случае обтекания плоским течением поверхности с криволинейным контуром (рис.9.8)ось Ох1 направим в каждой точке контура покасательной к нему, а ось Ох2-по нормали кнему.
Полагая текущую толщину б(х 1 ) пограничного слоя малой по сравнению с радиусомкривизны контура и расстоянием х1 вдоль негоРис.9.8от точки образования этого слоя, после оценкипорядка слагаемых в первом из приведеиных выше уравнений, аналогичной проведеиной в8.6,запишем(9.45)9.5. Пограничный слой, обраэующийся при высокой скорости газаЕсли в уравнении тen.ttonepeнoca(8.8)355учесть зависимость теn.ttоnроводности Л(Т) газа от температуры Т и работу, совершаемую вединицу временисилами давления и трения,ку порядка слагаемых,примет вида затем провести оценто оно для установившегося плоского течения[135](9.46)где ер-удельная массовая теn.ttое.м-х:ость газа nри nостоннно.м дав.ttении. Умножив2(9.45)на8211 D ( :~~ ) + VI ~ (11 D :~: )= const получимv1 и сложив с (9.46), с учетом равенства= 8~ 2 (11 D 8~ 2 ( vJ ) ) в предположении Ср =p(v 1 дТ* +v2 дТ*) _ _!_(PDдх1дх2 - дх2 PrдТ*) + _!_(PD ( 1 -дх2_!_)дv~)Pr дх '2дх2 2ер9 7( .4 )где Pr = /lDCp/Л(T)- чис.ttо Прандт.ttн; Т*= T+v~/(2ep)- температура, приближенно равная темnературе тор.моженин, если иренебречьвеличиной v~ по сравнению с величиной v~.При обтекании плоской стенки газом, для которогои(9.47)Pr= 1,(9.45)с точностью до обозначений станут тождественными, еслиучесть, что при этом дрjдх1 =О, и в этих уравнениях перейти кбезразмерным переменным v = VI/Voo и о*= (Т*- Тn)/(Т/'ю- Tn), гдеTn- температура поверхности стенки, Т/'ю = Т00 +v'?ю/(2ер), V 00 и Т00 скорость и температура газа за пределами пограничного слоя.Таккак при Х2 = 0 V = 0* = 0, а за пределами ПОГраНИЧНОГО СЛОЯ V = 0* == 1, то тождественность уравнений означает совпадение безразмерныхпрофилей скорости и температуры Т* в пограничном слое, являющеесядополнением к установленной в8.6тройной анадогии.в силу эффе-х:та nри.ttиnанин для вязкого газаn.ttотноститеn.ttовогоnото-х:а,соответствии с за-х:оно.м Био -°-•=Л (Т) ( Т/'ю - Tn) 88Х2(8.72)1Х2=О.VI =отФурье получимО.Поэтому длягазаqo =кстенке,Л(Т) 8ат 1Х2 Х2=Ов=Тог да первые четыре части цепочки равенствпримутвидCf = St =2гдепередаваемогоПри х2 =ОCJ -qopepvoo(T~- Тп).местный -х:оэффициент треншг,(тепловое); о:--х:оэффициент теn.ttооб.мена.PCpVooSt -(9.48)'чисдоСтантона9.
ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ356Из рассмотренной .мате.матичесх:ой .моде.ttи (ММ) пограничногослоя, образующегося на обтекаемой поверхности при высокой скоростигаза, следует, что в случае идеальной теплоизоляции этой поверхностиее температура Тп =Т~ превышает температуру Т00 газа за пределами пограничного слоя. Для большинства газовдля воздухаPr~ванной поверхности Тп<Т~, где Tr= TrPr<1(например,и температура идеально теплоизолиро0,71 [104]),= Т00 + rтv 2 /(2ер)-темnература восстан.овлен.uн, rт- поэффuцuен.т восстан.овлен.uнтемnературы, зависящий от значения Pr (при .ttа.минарно.м течении вдоль плоской стенки rт ~ Pr 112 , а при турбу.ttентно.м течении -rт ~ Pr 113 [104]). При полном торможении газового потока перед преградой, когда кинетическая энергия газа полностью переходит в те= 1.пловую энергию, rтВ этом случае в силу(9.48) qo= а(Т~ -Т0 ),тогда как в случае обтекания газом произвольной поверхности с учетоммодификации рассмотренной ММлениятемпературыгаза поqo = a(Tr- Т0 ).идеальной теплоизоляции поверхности (кривая2)и охлаждения (кривая3)Характер распредетолщине пограничногопоказан на рис.9.9.1),слоя дляОтметим, что для излучающей и идеально теплоизолированной поверхности ТпТ-случаевее нагрева (кривая=Т< Tr,гдеравновесная те.мпература.xz(Т п>зоРис.В случаеPr =/:.
1Т* не совпадают,(Т п)l(Т0 )2 Т9.9безразмерные профили скорости и температурычто приводит к зависимости а отPr,которуюможно установить тем же путем, что и при обтекании плоской стенкинесжимаемой жидкостью (см.8.6).При большой скорости обтекания газом поверхности в пограничном слое возникает весьма значительная разность температурTr -Тп.В интервале этих температур необходимо учитывать зависимость ерот Т.Кроме того, заметное влияние на процесс тепдо.массопереноса в пограничном слое оказывают диссоциация, а при более высокойтемпературе-ионизация газа, сопровождаемые затратами тепловой9.5. Пограничный слой, образующийся при высокой скорости газа357энергии на разрыв межатомных связей и связей электронов с атомами.Вследствие существенного изменения температуры по толщинепограничного слоя концентрация диссоциированных атомов и молекулгаза около поверхности меньше, чем на пекотором расстоянии от нее.Приближаясь к поверхности в результате х:онцентрационной диффузиии перемешивания, продукты диссоциации рекомбинируют, восстанавливая разорванные связи и освобождая накопленнуЮ энергию, чтоприводит к интенсификации теплообмена между газом и обтекаемойим поверхностью.Влияние перечисленных факторов можно учесть, если в рассмотренной ММ пограничного слоя перейти от температуры Т газа кприращению его mеn.л.осодержанин (энmальnии)тНт=JepdTТппри нагреве газа от температуры Тп до текущего значения Т.
Величина ер учитывает все затраты теплоты (включая тепловые эффекты придиссоциации и ионизации газа), необходимые для повышения температуры единицы массы газа. Так как процессы диссоциации зависят нетолько от температуры, но и от давления, то ер и Нт будут функциямиТир. Учитывая, что dНт =c-pdT,вместо(9.46)получаем(9.49)Снова умножив(9.45)на v1 и сложив с(9.49),запишемгде Нт = Нт +vU2. Если в случае обтекания плоской стенки (дрjдх1 =(9.45) и (9.50) перейти к безразмерным переменным v = v1 jv00 ин;= (НУ,)оо, где VI = Voo и (НУ,)оо- значение н;. при т= Тоо, то приPr = 1 эти уравнения с точностью до обозначений будут тождественными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
