Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 69
Текст из файла (страница 69)
(или линейным при аа jac:= const)тельно,=уnро-чнение.м. (рис. 11.1, е). Для таких ММ с;(Р) =с:, следовапроцессы разгрузки и повторного нагружения на диаграммахдеформирования соответствуют вертикальным отрезкам.Вернемся к достаточно общей ММ упругопластической среды снелинейным упрочнением (см. рис.11.1, в)и предположим, что образец,нагруженный сначала до напряжения а 1 (точка С на рис.разгружен до напряжения а0(точкаD).11.2),затемПри нагружении образцабудет совершена работа, пропорциональная площади под диаграммойдеформирования.
На единицу объема образца эта работа составит11.384МОдЕЛИНЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ СРЕДЫ(Jноg(P)+dE(p)1Рис.Е11.2Часть этой работы будет запасена в виде потенциадьной энергии упругой деформации объе.м.ной пдотностью П1= О"1е1/2 = O"f/(2E).Приполной разгрузке эта часть работы обратима, а остальная часть, равная разности А1- П 1 и называемая работой rмастuчеспого дефорJКuрован.uJС, необратима.
При разгрузке образца до напряжения0"0потенциальная энергия упругой деформации уменьшится и ее объ0 2)емная плотность составит по=/(2Е), а разность П 1 - по может(0"быть использована для совершения работы во внешней по отношениюк образцу системе.Примем состояние образца в точкеDпроведем его нагружение до напряжения(см. рис.0"1+ dO"за исходное и11.2)(точка Н), что приведет к приращению de(P) >О пластической деформации е~р), и разгрузку0до напряжения 0" (точка D 1 ). При этом работа пластического деформирования будет пропорциональна сумме площадей nараплелограммаDCC1D1и криволинейного треугольника СНС 1 , причем(11.2)Отсюда следует условие dO" / de> О,которое можно рассматривать каккритерий устойчивости пластического деформирования[82].Рассмотренные ММ являются в определенной степени идеализированными.В частности,при разгрузке и повторном нагруженииреальных материалов их поведение отличается от линейно-упругого.Даже если приближенно считать это поведение линейно-упругим, тооно соответствуетмодулю упругости,воря, отличается от значения Е[119].значениекоторого,строгогоОднако nри построении ММ11.2.Условие текучести385пластического деформирования эти особенности обычно не учитывают и принимают, что пластическую и упругую деформации можнорассматриватьнезависимо.11.2.Рассмотренные в11.1Условие текучестипростейmие .мame.4tamu-чec-x:ue .4tоде.ли (ММ)n.ласти-чес-х:ого дефор.м.ирования сn.лошной среды при одноосном нагружении позволяют подойти к выяснению условия, при выполнениикоторого начинают возникать n.ласти-чес-х:ие дефор.м.ации в случае произвольного наnряженного состояния.вие.ч n.aacmи'Чнocmu[119]Это условие называют ус.л.оили условием meny'Чecmu, посколькупроцесс пластического деформирования среды часто называют nласmи'Чеспи.ч mе'Чение.ч.Так как для уnругой сn.лошной среды деформированное состояниев окрестности фиксированной точки однозначно определено тензоро.м.наnряженийu с -х:о.м.nонента.м.и aij ( i, j = 1, 2, 3) и абсо.лютной те.м.nературой Т и не зависит от последовательности нагружения, то условиетекучести можно записать в вИдеfi (aij, Т) = О.Для материала, обладающего свойством изотроnии, функция в левой части этого равенствадолжна одинаковым образом зависеть от главных наnряжений а а, а== 1, 2, 3.
Тогда можно записать71 (аа, Т) =О,но возможна записьусловия текучести и в вИде !2(Iнr, /2;;, / 3;;, Т) =О, где /1;;, /2;; и 13;; -первый, второй и третий инварианты тензораu.До определенногоуровня всестороннего сжатия или растяжения пластические деформации обычно не возникают. Поэтому влияние первого инварианта можноне учитывать и представить условие текучести в вИде(11.3)При фиксированной температуре(11.3)в трехмерном пространствеглавных напряжений а а геометрически соответствует цилиндрическойповерхности, называемой nоверхностью meny'Чecmu или nоверхкостью n.aacmu'Чнocmu.Эта поверхность пересекает оси Оаа вточках с координатами ±ат(Т), где ат(Т) -зависящий от температуры Т nреде.л те-х:у-чести материала при растяжении.
Образующаяэтой поверхности одинаково наклонена к осям О а а и перпендикулярнак плоскости, заданной уравнением а1+ а2 + аз =О и называемой девиаторн.ой nлоспостью, поскольку любой лежащий в ней векторсоответствует девиатору напряжений для некоторого напряженногосостояния. След пересечения этой плоскостью поверхности текучести11.386МОДЕЛИНЕУПРУГОГО дЕФОРМИРОВАНИЯ СРЕДЫобразует привую meny-чecmu (рис.щими свойствами-если11.3),которая обладает следую[82]:пластическаянагружения материала,деформацияневозникаетто кривая не проходитссамогоначалачерез начало системыкоординат (в противном случае кривая текучести стягивается в точку,совпадающую с началом системы координат);-луч, проведенный из начала системы координат, пересекает кривую текучести только один раз (иначе существовало бы два подобныхнапряженных состояния, удовлетворяющих условию начала пластического деформирования, что невозможно);-кривая симметрична относительно проекцийOsaосей О а а надевиаторную плоскость;-если свойства материала при растяжении и сжатии одинаковы,то кривая симметрична относительно штриховых прямых,перпендикулярных этим проекциям.Рис.Рис.11.311.4Из этих свойств следует, что кривая текучести должна состоять из12одинаковых дуг (см.
рис.11.3).Так как косинусы углов между осями О а а и их проекциями на девиаторную плоскость равны fi!З, то вэтой плоскости эта кривая пересекает осиOsa в точках с координатамиsa = ±fi!Зат(Т). В 11.3 показано, что поверхность текучести должнабыть выпуклой, откуда следует, что выпукла и кривая текучести, т. е.она должна быть заключена между двумя правильными шестиугольниками, пересекающими осиотносительно осейOsa(рис.Osa в11.4).тех же точках и симметричнымиВнутренний шестиугольник образован пересечением девиаторнойплоскостью гранейaz -азпризмы,заданных уравнениями а1- а 2= ±ат и аз - а1 = ±ат.=±ат,Приняв боковую поверхность этойпризмы в качестве поверхности текучести, придем к условию текучести(11.4)11.2.Если 0'1?0'2;?0'3,то вместо?Сасательного напряжения(см.3.5).Условие текучестиполучим условие наибольшего(11.4)Tmax387= О'т/2,поскольку Tmax= (0'1- О'з)/2Это условие не учитывает влияние промежуточного позначению главного напряжения0'2·Внешний шестиугольник (см.
рис.11.4)образован пересечением девиаторной плоскостью граней призмы с уравнениями0'2- О' с= ±20'т/3 и0'1- О'с= ±20'т/3,0'3- О'с= ±2ат/3, где О'с= (а1 + а2 + аз)/3- среднеенапряжение. Если боковую поверхность этой призмы считать поверхностью текучести, то условие текучести примет вид(11.5)Его называют условием наибольшего приведеиного напряжения.Если поверхность текучести задать уравнением(11.6)то ее пересечение девиаторной плоскостью будет представлять собойокружность радиусом V2730'т, вписанную во внешний шестиугольники описанную вокруг внутреннего шестиугольника (см. рис.11.4).Сучетом (3.56) вместо (11.6) можно записать II2 иl = а;(Т)/3, т.
е. в этомслучае в(11.3)не учитывается влияние Iзи·Эксперименты показывают[82],что условие(11.6)достаточно хорошо выполняется для большой группы материалов (металлов, некоторых видов пластмасс и др.).Ему можно дать энергетическуюинтерпретацию. Если объе.мную плотность п(е) потенv,иальной энергии упругой дефор.маv,ии представить через главные напряжения, тополучим[145]п(е)=ar +О'~+ О'§- 211(0'10'2 +0'20'32Егде 11 -?Соэффиv,иент Пуассона; Е-Вычитая отсю~а объемную плотностьгии,связаннои с изменением объема,+ 0'30'1)'.модуль продольной упругости.П~) = 1 ;~v (0'1 0'2 аз) 2 энер+ +находим объемную плотностьnоmеи:циа.л.ьн.ой эн.ергии фор.моиз.мен.ен.ияп~) = (1 + v) (а1- 0'2)2 + (0'2- О'з? +(аз- 0'1)26ЕСравнивая это равенство сЗЕП(е)1+~(11.6),получаем условие текучести в виде= 0';.
Эта интерпретация хорошо согласуется с представлениямио микромеханизме пластической деформации, связанном со скольжением по определенным плоскостям в твердом, ?Сристалли'Чес?Со.м теле.Такой процесс приводит к изменению формы в окрестности рассматри-38811.МОДЕЛИНЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ СРЕДЫваемой точки и объясняет для{11.6)название энергетического условиятекучести.Из(3.56)и(11.6)следуетTN= V2и;(Т), гдеTN -о",_таэдри'Чес",.ое ",.acameJf,ъ'Н.oe '1-tаnряже'Н.ие.
Если ввести ипmепсивпосmь паnряжений(11.7)значение которой при одноосном растяжении напряжением а совпадаетсо значением этого напряжения, то(11.6)примет вид аи = ат(Т). Дляматериалов, обладающих свойством а'Н.изотропии, предложено достаточно большое число условий текучестиют собой обобщения условий[82, 119], которые представля(11.4)-(11.6) или их комбинации.При продолжении процесса нагружения за пределом текучести уконструкционных материалов, как правило, увеличивается сопротивляемость пластическому деформированию. Для материалов с выраженным пределом текучести упрочнение связано с изменением как размеров, так и положения начальной поверхности текучести в пространственапряжений. Последующие поверхности текучести, которые образуются в процессе нагружения и отделяют области упругих и пластическихдеформаций друг от друга, называют nовержпосmнми пагружепин.Соотношение, определяющее характер изменения начальной поверхности текучести в зависимости от текущего напряженного состояния ипредыстории деформирования, называют условием уnро-чпепин.
Вслучаеизотроn'Н.огоупро'Ч'Н.е'Н.ияповерхностьнагруженияоднороднорасширяется, сохраняя свою форму, и в простейшем виде может бытьописана фуппцией пагружепин(11.8)где х-скалярный в'Н.уmре'Н.'Н.ий параметр сосmоЯ'Н.ия, называемый nара.меmром уnро-чпепин. В процессе пластического деформированияего значение возрастает.Параметр упрочнения можно определить различными способами.Один из них заключается в его приравнивании достигнутой интенсивности деформации сдвига 2.Jf"];l, где 12-е -второй инвариантдевиатора деформации е, другой- в его приравнивании диссипацииэнергии при пластическом деформировании JG'ij dE~j), где c~j) = E"ij - c~j) - E~J) компоненты menзopa nласти-чеспой деформации,-c~j) и E~J)- компоненты mе'Н.зоров соответственно упругой и температурной деформации, а mе'Н.зор € маJ~,ой деформации с компонентами E"ijв данном случае принято называть mепзором nолпой деформации.Условие текучести11.2.389Третий способ связан с выбором в качестве меры упрочнения накопленной пластической деформациих=J(11.9)называемой nараметром Удпвиста[82].Если начальным считать состояние, при котором пластические деформации отсутствуют, и использовать условиезаписать в виде SijSij= 2т;(х, Т),(11.6),то(11.8)можногде правая часть равенства определяет изменение предела текучести при чистом сдвиге, обусловленноеизотропным упрочнением и температурой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
