Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Таким образом, соглас-ноdи(11.29) r drr =r0r2(ат- а ) ~r+а0• Отсюда следует, что при ат = а039611.МОДЕЛИНЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ СРЕДЫусловие текучести будет выполнено во всем поперечном сечении трубы, что соответствует иеусmой-чиво.м.у пласmи-чеспо.м.у mе-чеиию> 0" 0 ,материала трубы. Если О"тто область упругой деформации занимает внешнюю часть поперечного сечения трубы приr~r0,посколькупри углублении в эту область величина rdO"rr/dr должна убывать. Отметим, что это неравенство заведомо справедливо, когда {)а< О, т. е.температура Т(а) внутренней поверхности трубы ниже температурыТ(Ь) наружной поверхности.При О"т> 0"с2 = -демт ( rб= -0' -О'r20согласно граничному условию O"rr(Ь) =О, из=rl)ь02,С1Ь22-(11.29) най-0(а -Ьат)r3 и в итоге при r Е [ro, Ь] получим О"rr =220Ь_ О'т - 0' Х0- О" ln ;: , далее из ( 11.22) следует О" 'Р'Р 2х с~ +~о + 0" 1-ln ~)' а затем из (11.26) - O"zz = v(О"т- (7°) ~~ ++ 0" (v- 2ln~). Приравнивая при r= Ь значения Ur из (11.27) и из0(0второго уравнениянаходим Со={11.28),(1v2) (аj;- а о )r20 •-Для области пластической деформации из условия rr Е [а,= ro)ro]d;;r = О"т припутем интегрирования (с учетом непрерывности O"rr при r=имеемьrоО"т-О" (O"rr=O"тln--O"ln-1 -ro)-.оroИз граничного условия O"rr(a)аО"т ln ro+р =0"0ln roЬro2Ь22= -р с учетом(11.30)(11.30)получим уравнениеr5) относительно ro.
Еели в трубе сна-а - 0' ( 1- Ь+~20чала возникло установившееся распределение температуры, которое невызвало пластических деформаций, а затем стало возрастать давление,то из последнего уравнения приro = а следует,мация возникнет при значении давления р* =Случай р*<Очто пластическая дефор0"0Ьln roа - ао (+~1-r2)Ь~ .означает, что пластические деформации возникают ещедо повышения давления.Используячала найти11.4.(11.30), в области пластической деформацииО"'Р'Р из (11.24), а затем O"zz -из (11.26).можно снаДеформационная теория термопластичностиСреди задач механики деформируемого твердого тела, связанныхс анализом напряженно-дефор.мировшн:н.ог.о состояния элементов конструкций из упругопластичного материала, встречаются такие, когдав процессе нагружения изменение всех -х:о.мпонент девиатора напряжений в окрестности каждой точки материала происходит в одном и11.4.Деформационная теория термапластичности397том же отношении.
Такое пагружен:ие называют nроnорциона.л.ьпы.м. В этом случае вместо исследования непрерывного процесса изменения напряжений и деформаций можно использовать связывающиеихконечныесоотношения,учитывающиеитемпературноесостояние материала. Эти соотношения вытекают из деформационной теориитермопластичност..и[136]и для изотропного материала могут быть получены из ассоциированного зах:она пластичесх:ого течения(11.20).Для случая одноосного ах:тивного нагружения при постоянной абсолютной температуре Т диаграммы деформирования (см. рис.11.1)дают однозначную зависимость между напряжением а и деформацией с:. По аналогии с зах:оно.м Гух:а можно записать с:= а/Ес(с:,Т), гдеЕе-сепущий .модуль. В отличие от .модуля продольной упругостиЕ(Т), зависящего для данного материала только от температуры, секущий модуль зависит и от деформации.
Так как упругая деформацияс;( е) =а/ Е(Т), то для пластичесх:ой деформации получим(11.31)При произвольнам напряженном состоянии, характеризуемом х:о.мпонента.ми aij(i, j = 1, 2, 3)тензора напряжений, основные положениядеформационной теории термопластичности, базирующиеся на большом числе экспериментов, формулируют следующим образом-[136]:компоненты тензора полной деформации представляют собойсумму компонент тензоров упругой с~;), пластичесх:ой с~;) и температурной c:~J) деформации, т. е.(11.32)причем обратимы только упругая и температурная деформации;-изменение объема происходит только вследствие изменения упругой и температурной деформаций, поэтому объемная деформация= Ek~ + cki), k = 1, 2, 3,c:v == 3x(Ekk- cki)), где х- .модуль объемнойупругости, и, следовательно, cr~ = о, а компоненты тензора пластиakkчес-х;ой деформации совпадают с х:о.мпонента.ми ее девиатора, т.
е.с:(р) =е~~).t]t]-'компоненты eij девпатара деформации пропорциональны компо-нентам Sij девпатара напряжений,(11.33)11.398где'1/Jp~МОДЕЛИНЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ СРЕДЫ('1/Jp = 1nараметр nдасти'Чности1-деформации);в области уnругой.м.оду.л.ь сдвига.J.t -Введя интенсивность деформаv,иис:и = J~eijeij, вместо (11.33)получим.1,<vp3рЕи= --;;:;:-'j3.где О"и =у2sijSij-uинтенсивность напрлжении.Для материала, обладающего свойством изотропии, компоненты девиатора температурной деформации равны нулю. Поэтому с учетом=е··-е~:)= ('1/!р - 1 )щ а интенсивность nдасти'Че( 11 . 33) c:~I:')~~~2р'спой де-R.ормаv,ии с:~) =~c:~I:')c:~I:') = ('1/!р - 1 )сти, следовательно, С:и =1Р3tJ3рtJ= '1/Jрсти =с:~) + О" и =с:~) + 2(1 + v)сти, где v 3р3р3Еr.оэффициент Пуассона.При одноосном растяжении аи =а, с:~)= с;(Р) и, следовательно, С:и == с;(Р) + 2 ( 1 + v)ст или с учетом (11 31)3Е'.С:иТаким образом,= аи(с:и,Т),=с:-(1- 2v)a3Е= с: -(1- 2v)аиЗЕ(..
)11 34при фиксированном значении Т зависимость а и=определяющая обобщенную диаграмму деформирования, может быть найдена по диагра.м..м.е дефор.м.ированил а= а( с:, Т) приодноосном растяжении, причем эта зависимость одинакова для любогонапряженного состояния.Из (11.34) следует, что параметр пластичности '1/Jp = 3 Jlcи = 3Jlc_ p(l-211Е) =1+ 21+v( 3 ) (ЕЕ - 1).сО"и(ТС учетом этого равенства и (11.33)получим eij = ~~~ ( 1- (1- 2v):~) ис:~~)= eij- ~~ = 3~ij (~с-~)·(11.35)При использовании деформационной теории термопластичности неочевщно,что условия пропорционального нагружения всегда выполняются. В частности, пропорциональное изменение внешних силовыхфакторов не обязательно приводит к пропорциональному нагружению.При фиксированном значении Т такое нагружение возможно при выполнении следующих достаточных условий (теорема Идьюшина[110]):зависимость между интенсивностями деформаций и напряжений степенная; материал несжимаем.Как правило, при решении конкретных задач эти условия не выполняются[82],однако накопленный к нас:гоящему времени опыт анализанапряженно-деформированного состояния различных конструкций, особенно при однократном нагружении, показывает, что получаемые с11.4.Деформационная теория термопластичности399использованием деформационной теории результаты дают приемлемоеприближение к реальности.
Необходимо отметить, что не все из приведеиных на рис.11.1 диаграмм деформирования можно использовать длярешения задач с применекием этой теории, поскольку зависимость а оте должна быть взаимно однозначной, а .моду.rtь Юнга Е должен иметьконечное знаqение. Поэтому диаГраммы деформирования, представленные на рис. ll.f, а, д и е, в общем случае не позволяют применять этутеорию.Рассмотренному варианту деформационной теории термапластичности соответствуетвариационная фор.ма .мате.матичес-х:ой .моде.rtи(ММ), содержащая минимизируемый фун-х:циона.rt[36,44]Ф[u;j =J(х(Ekkтурпа.нв котором1~ Зо(Т) )' + "и(Е~) dE~) dV,vгде щ -(5.50),опроекции вектора перемещений на оси Oxi; е<Т) - те.мперадефор.маци.н; V - пространствеиная область, занятая телом.
Вдвойственную вариационную фор.му ММ помимомизируемый функционал(5.55),Jv(5.50)войдет максив которомJUиФl[O'ij] = - с~~~ + O'kkE'(Т) + Еи(а~) da~2)dV,огде Еи(аи)- функция, обратная функции аи(Еи)·Наиболее характерным примерам материалов, проявляющих принеизотермическом пластическом деформировании свойство анизотропии,являются -х:о.мпозиты, нашедшие широкое применение в различных терманапряженных конструкциях.Особенности технологии изготовления композитов обусловливают высокую степень анизотропииих механических свойств, причем в большинстве случаев можно говорить об ортотропии.
Нелинейнан зависимость между напряжениямии деформациями у этих материалов особенно сильно проявляется приповышенных температурах.Для сложного напряженного состояния соотношения деформационной теории термапластичности анизотропных (ортотропных) материалов можно сформулировать в виде следующих положений, аналогичныхтем, что были приняты для изотропных материалов:-компоненты тензора полной деформации представляют собой сумму компонент упругой,т. е. справедливо(11.32),пластической и температурной деформации,причем, как и ранее, обратимы только упругая и температурная деформации;МОДЕЛИНЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ СРЕДЫ11.400-между аналогами среднего наnряжения Ua=UijO.ij и объе.м.нойдефор.м.ации Е а = f3ij ( Eij - e:~J>) существует зависимость(11.36)где f3ij = Cijklakl/(Зxa); Cijkl- компоненты тензора четвертого ранга'К:оэффициентов уnругости (при этом компоненты O.ij си.м..м.етричноготензора второго ранга нормированы соотношением aijaij= 1и могутизменяться в процессе деформирования); Ха= CijklaklO.ij/3 -аналог.м.оду.л.н объе.м.ной уnругости; переменвый коэффициент 'Ра учитывает <<псевдообъемную>> сжимаемость материала вследствие имеющихсятехнологических дефектов: пор и пустот, неидеальности контакта волокон и связующего композита и т .п.;-(а)*sij = Uij - uijмежду компонентамии(а)(Т)*eij = Eij - Eij - Eijанало-гов девнаторов напряжений и деформации соответственно существуетзависимость8где u~= /ЗijUaи e:ij(а)С(а)Uиijklekl(а)(11.37)(а)=ij3хаЕи= O.ijEa- компоненты аналоговнапряжений и деформации соответственно,шаровых тензоровсвязь между которыМиимеет вид(11.38)(а)UиS(а) (а)3ха ijklskl sij=(а)и ЕиС(а) (а)/(3 Ха ) -обобщенные инijklekl eij=тенсивности соответственно напряжений и деформации; Sijkl -компоненты тензора 'К:Оэффициентов nодатливости;-при заданной температуре Т зависимость u~a) = u~a)(E~a), Т) инвариантна к виду наnряженно-деформированного состояния.Из(11.36)-(11.38)следует(11.39)гдеs;.klзS· 'kl= ~1/Ja11 ) а· 3·a~tt+(--'-3Хаtpa1/J.-.-компоненты переменнаго mен(а)зора позффициенmов сепущей noдamAивocmu; 'Фа =ии (а)-3Ха6ианалог параметра пластичности.
Несложно проверитъ, что для изо-тропного материала зависимости(11.36)-(11.39)Действительно, в этом случае 'Ра = 1,_ ( \ s: s:Ха-ЛЩjUk[+ J.L (UikUj[s: s:s: s: )) CЖk!CЖij+ Uj[Ujk- 3O:ij= /Зij\21J=Л+- И eij3nереходят в= fщ/vГз,Ua(11.33).= ukk/-/3,1/JpBij= -236иSij = - - .2IJUи11.5.11.5.401Основные модели ползучестиОсновные модели ползучестиЯвление ползу-чести, в общем случае связанное с изменением вовремениtдефор.м,аи,ии и 11.апр.нже11.и.а даже nри nостоянных внешнейнагрузке и абсолют11.ой те.мпературе Т, nри од11.оос11.о.м 'Н.апр.нже11.11.о.м,состо.н11.ии часто называют nростой nолзу-честью (или nоследействием), если nрИ nостоянном наnряжении и изменяется деформацияg, и релапсацией, если nри g= const изменяется наnряжение и [82].Эксnериментальное исследование nолзучести обычно nроводят на растягиваемых образцах nри и, Твиде зависимости g отtа результаты nредставляют в= const,(сплошная кривая на рис.11.
7),называемойпривой nолзу-чести (иногда- кривой простого последействия). Вобщем случае на этой кривой можно выделить три характерных участI -ка:dg(c)~ ( с)стадия н.еустан.овившейс.н nолзу-чести, когда скоростьdg( )= - - = - дефор.маи,ии ползу-чести g с постепенно уменьшается;dtdtI I - стадия устан.овившейс.н nолзу-чести при практически постоянном наименьшем значении ~(с) и I I I - стадия успор.нющейс.нnолзучести, когда ~(с) непрерывно возрастает вплоть до разрушенияобразца.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
