Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Преимущества .математической .моде.л.и, включающей это уравнение, состоит в том, что для функции ф(х, t) удается корректно сформулировать по два граничных условия в каждой точке поверхностиограничивающей областьV(см.8.4).S,8.2. Идеальная жидкость8.2.295Идеальная жидкостьГипотетическую жидкость, полностью лишенную свойства вязкости, принято называть идеальной. Для получения уравнений, описывающих ее движение, достаточно в(8.11)положитьJ.LD =О. В итогеполучим уравненu.11 Эй.tr.ераdvилигде р-n.ttomнocmь жидкости; щ ии Ь n.ttomнocmu объе.мныхх;оординат;операторt -время;Га.ми.ttьтона,cu.ttр -= - '\1 хР + Ь,проекции векторовbi -на осир dtOxi(8.15)vскоростисистемы пространственныхдав.ttение;вычисляемый в'\1 хдифференциа.ttьный-системе пространствеиныхкоординат с радиус-вех:торо.м, х.
Для неподвижной жидкости изследуют уравнения дрjдхi =bi,или'\1 хР =(8.15)Ь, описывающие состояниегuдpocmamuчecnoгo равновесu.11.Если р зависит лишь от р, т. е. р = р(р), то жидкость называютбаратроnной и вводят фунпцuю дав.л.енu.11рР(р) =dp1р(р)'(8.16)РО·равную работе, совершаемой при движении единицы массы баратропной жидкости при изменении давления от р 0 до р. Во многих приложениях векторное поле n.ttomнocmu .массовыхcu.ttи обладает nomeнv,ua.tto.м В ( х), поэтому Ь / рне зависит от времени= - '\1 х В.
При перечисленных допущениях, учитывая (П1.21) и выражения для полной производнойdvjdt, запишем векторную форму (8.15) в виде(8.17)гдегдеW = \lxxv-вех:тор завихренности.Если из массовых сил действует только сила тяжести, то В=9h,постоянное ycnopeнue свободного nаденu.11, авы9 -h -=сота, отсчитываемая от некоторого уровня. Величины h, hpР/9 и2 /(29) называют наnоро.м соответственно гео.меmрuчеспu.м,hv= lvlnьезо.меmрuчеспu.м и споросmны.мпоров составляет nо.л.ный наnор Нобозначений вместо(8.17)дvдt[116].Сумма значений этих на= h + hp + hv.С учетом введенныхполучим+WХV=-9\lxH.(8.18)2968.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОдЕЛИ ЖИДКОСТИПоскольку 'Vж·('Vжxv)='Vж·W=O (см. П1.4), согласно теоре.меОстроградского-поверхностьюи лежащей в области определения поля скоростей,SГаусса для областиимеемjпространства, ограниченнойV(8.19)W·ndS=O,sn -г деединичный вектор внешней нормали к поверхностидынтегральное выражение вэлемент(8.19)S.Поназывают nотопом вихря черезdS поверхности, векторные линии поля W -вихревымилиниями, а поверхность, образованную вихревыми линиями, проведеиными через точки замкнутого контура,-вихревойтрубпой,которую в случае контура, охватывающего бесконечно малую площадку, называют вихревой нитью.ПустьdS 1 и dS2 -площадки соседних нормальных сечений вихревой нити, а вектор завихренпасти направлен отdS1 к dS2.
Таккак поток вихря через боковую поверхность вихревой трубки равеннулю, то, применяя(8.19)к участку вихревой нити, ограниченномуW1 dS1 = W2 dS2 , г де W1 имодули вектора W в сечениях dS1 и dS2 соответственно. Такимрассматриваемыми сечениями, получаемW2 -образом,IWI изменяется вдоль вихревой нити обратно пропорционально площади ее поперечного сечения. Вихревая нить (или трубка) неможетоканчиватьсявнутрижидкости,онаилизамкнута или оканчивается на поверхности, ограничивающей жидкость.Справедливатеорема Кельвина (Томсона) о том, что при движении идеальнойбаратропной жидкости в потенциальном поле массовых сил цирку.ttлцил вектора скорости по замкнутому контуру остается постоянной вовремени[76, 116].Следовательно, такая жидкость обладает свойствомсохранять безвиzревое движение, определяемое выполнением условияW = \7 ж х v =О в каждой точке области, занятой этой жидкостью.В этом случае векторное поле скоростей обладает потенциалом Ф ( х):v(x) = \7 жФ(х).(8.20)Отсюда для несжимаемой жидкости с учетом(3.33)получим уравнениеЛan.ttaca(8.21)т.
е. Ф( х) является гар.монической функцией.Для безвихревого движения сжимаемой жидкости изследует интеграл Лагранжа -Коши(8.17)и(8.20)[76]8Ф В р IV'жФI2 = f()at+ + + 2t,(8.22)8.2. Идеальная жддкостьf (t) -г де297одинаковая для всей области движения жидкости функциявремени,определяемая обычно или иззависимости отtлевой частиграни-ч.ных усдовий,или пов какой-либо одной точке этой(8.22)f(t) == const и (8.22) переходит в u.нmeгpa.t& Бepнy.t&.t&u. В+ Р + lvl 2 /2 == const, который в случае несжимаемой жидкости плотностью Ро имеетобласти. Еслидвижение жидкостиустановившееся, то дФ/дt= О,вид2роВ+ рPolvl+2~ = const.(8.23)Дифференциал функции давления можно представить в видеdP =2dpdPа: dp()=- р =а:- dр, где а*=-d >0, или -d = - - .
Тогда, используя 8.201dррри уравнение неразрывности(3.31),tpdtполучаем(8.24)Система уравненийзамкнута относительно неизвестных(8.22), (8.24)функций РиФ, поскольку а; можно также представить как функцию Р.В ряде прикладных задач аэродинамики и акустики течение средыможнорассматриватькаквозмущенноеотносительноизвестногодвижения или состояния покоя жидкости. Так, при малых возмущениях относительно состояния покоя, в котором р(8.22), (8.24)можно линеаризовать, если вI'V хФI 2 /2 и положить f(t) =О, а в(8.24)(8.22)= ро = const,принять а;= аб =дФг да при отсутствии массовых сил получаем -дtсистемуиренебречь слагаемым+ Р = О и 2а10То-ddp \.дР+ \7 2х Ф =Р р=ро-дt=О.
Исключая отсюда Рили Ф, приходим к волновым уравнени..11м(8.25)илиотносящимся к дифференциальным уравнениям гиперболического типа. Значение ао в(8.25)является скоростью распространения малыхвозмущений в среде и носит название спорости. звупа.При установившихся колебаниях с пекоторой частотойw функциюФ можно представить произведением зависящей только от временириодической функции видаsinwtилиcoswtt пе(или линейной комбинацииэтих функций) и функции Ф 0 ( х), зависящей лишь от пространствеиных координат и описывающей форму волны.
Тогда первое уравнение(8.25) переходит в уравнение эллиптического типа v;Фо + (w 2 /а6)Ф 0 == О,называемое уравнением Гельмгольца.2988.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОСТИПри взаимодействии идеальной жидкости с непроницаемой границей области течения,направлении векторает лишь давление,в силу того что со стороны этой границы вnнормали к ней на частицы жидкости действувозможно относительное проскальзывание частиц,т. е.
в отличие от в.нз-х:ой жид-х:ости отсутствует эффе-х:т npu.ttunaнu.нчастиц к границе.Поэтому на непроницаемых границах совпадаютпроекции векторов скорости идеальной жидкости и заданной скоростиV0границы на направление нормали, т. е.безвихревого движения жидкости) (V'Ф)v · n = V 0 • n, или (в случае· n = V 0 • n.
При построении.м.ате.м.атичес-х:ой .м.oдe.ttu (ММ) течения идеальной жидкости на ее свободной поверхности должно быть задано давление, а на проницаемыхграницах области-вектор скорости или давление.Пусть твердый шар радиусом то и массой т движется поступательно вдоль оси Охз со скоростьюв идеальной несжимаемой жидкостиv0плотностью ро. Приняв обтекание шара безвихревым и осесимметричным относительно этой оси, представим(8.21)в подвижной систе.м.есферичес-х:их -х:оординат с началом в центре шара:(8.26)гдет-радиальная координата;{) Е[0, 1r]- угол,8.1).отсчитываемый отположительного направления оси Ох3 (рис.----хзРис.---8.1= vocosfJ, что дает= R(т)cosfJ, удовлетворяющем (8.26) при условии ~ (т 2 d~~r))- 2R(т) =О. Подставляя сюдаНа поверхностиSшара (при т= то) дФjдтоснование искать решение(8.26)в виде Ф(т,fJ)R(т) = тk, находим k(k + 1)- 2 =О, т.
е. k1 = 1 и k2 = -2. Таким образом, R(т) = С1т + С2/т 2 . В случае С1 #-О при т-+ оо имеем R(т)-+ оо,8.2. Идеальнан жидкость299что противоречит физическому смыслу, поскольку вдали от движущегося шара жидкость неподвижна. ПоэтомуCtможно найти из граничного условия при r= ro:ге получим Ф(r,t?)=О, а вторую константус2= -vor3/2.вито-тз= -vo : 2 cost?. Составляющие вектора v скорости2жидкости при обтекании движущегося шара будут равныVrдФ=-8rr3r= VQ3COS'I?,(8.27)Кинетическая энергия жидкости при движении шара с учетомсоставит(8.27)[35)где т= 27rpor3/3 -половина массы жидкости, вытесненной шаром.Суммарная кинетическая энергия системы <<шаржидкость» при по-ступательном движении шара будет Kf =(т+ т)11б/2.
Изменение Kfза времяdt,согласно за.".ону сохранения энергии, равно работе, совершаемой силой Р, приложенной к шару, на перемещенииdKfvodt,т.е.= Pvodt, или ~ cm+2m)v~) =(т+ т)vо d~o = Pvo. Отсюда полу-чаем (т+ т) d~o=Р. Таким образом, ММ поступательного движенияшара массой т в идеальной несжимаемой жидкости плотностью роэквивалентна ММ поступательного движения в вакууме материальнойточки массой т+ т. В связи с этим величину т называют nрисоедикен:ной .массой шара.При поступательном движении в жидкости твердого тела, ограниченного поверхностью вращения, вводят понятия nродолькой иnоnере'Чкой nрисоединенкой .массы[76),а в случае произвольногодвижения тела произвольной формы влияние жидкости учитывают введением mекзора второго ранга позффициекmов nрисоедикеккыж.масс[13].Если на поле скоростей, определяемое соотношениямиложить поле с составляющими Vr= -vo cos t?и ViJ(8.27),= v0 sin t?навектораскорости, то получим поле скоростей с составляющими~Vr3= -vo ( 1- rr 03 ) cost?,~щ3r 3 sin t?,= vo ( 1 + 2ro)(8.28)8.300МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОСТИкоторое возникает при установившемся обтекании неподвижного шараидеальной несжимаемой жидкостью, имеющей вдали от шара скоростьvo,направленную противоположно оси Охз (см.
рис.давление жидкости при(8.28)r --t ооравным ро, из(8.22)8.1).Принявпри В= О с учетомполучим на поверхности шара9 . 2 19 ) ,- ( 1- 8sшp(ro,19) = Ро + -pov52т. е. распределение давления симметрично относительно плоскости 19 == 1Г /2. Этот результат носит название napaдonca Да.л.а.м.бера иозначает, что шар не оказывает сопротивления обтекающему его потоку жидкости или, что равносильно, шар, движущийся поступательно спостоянной скоростью, не испытывает сопротивления со стороны жидкости,чтопротиворечитвсем известным экспериментами являетсяследствием принятого допущения о безвихревом обтекании шара.Вдействительности при обтекании шара потоком жидкости с его поверхности срываются вихри, которые изменяют как поле скоростей, так ираспределение давления на этой поверхности.8.3.Неустановившееся движениеидеальной жидкости в трубопроводеПри движении жидкости (или газа) по трубопроводу могут возникать колебания давления и расхода жидкости вследствие пульсацийэтих параметров на выходе из насоса (или компрессора), нагнетающего жидкость (или газ) в трубопровод, и срабатывания регулирующейи запорной арматуры гидравлической (или пневматической) системы.Ограничимся рассмотрением неустановившегося движения жидкостив прямолинейном горизонтальном трубопроводе, считая ее идеадьной(невязкой), но сжимаемой.
Сжимаемость жидкости будем характеризовать объемным модулем упругости Хж, который входит в соотношениер-ро)(8.29)р=ро ( 1+~,связывающее пдотность р жидкости с давдение.м р (р0 - значениеплотности при давлении ро). Так, для воды Хж = 2,136 ·10 9 Па притемпературе 293К и атмосферном давлении.Выделим в трубопроводе участок длинойdx(рис.8.2).Примем, чтосреднее по поперечному сечению трубопровода давление р(х, t) жидкости зависит от координаты х этого сечения и временис(8.29)t.В соответствиидля плотности р(х, t) имеем аналогичную зависимость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
