Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Допустимые для (7.60)распределенияусловиями Т8 должны удовлетворять дополнительнымTn, qnV·qn=q~) в Vn,q}n)ni =- !sп и !sm + !sпгдеV-Sn,}qin)ni =- fn на= Qs на(7.61)Ss,дифференциальный оnератор Га.м.UJI.ьтона.На истинных распределениях т; и q~ функционалмаксимума при выполнении условий(7.59).(7.60)достигаетЕсли эти условия выполняются не только в стационарной точке, но и для любых допустимыхзначений температуры в различных точках неоднородного тела,этот максимум единственный.
Для функцианаловведлива аналогичная(7.51)(7.55)и(7.60)цепочка неравенствls [Т] ~ ls [Т*] = Is [Т*, q*] ~ Is [Т, q].Разность(7.58)и(7.60)N~Js [Т,qJ = ~2~~j(qt~n) +Л~~) 8Tn) rtJ~~) ( ~n) +Л~~) 8Тп) dVn=1 VntJ8х·JqзtJ8х·tтоспра7. 7.281Двусторонние оценки интегральных параметровне зависит от выбора значения Т* и по аналогии с нелинейной задачей для однородного тела (см.характеризует степень близости7.5)рассматриваемых допустимых распределенийющих дополнительным условиям(7.55)иTn, Т8(7.61),иqn,удовлетворяк истинному решениюсопряженной задачи.
Обобщение на случай неустановившегося процесса теплопроводности по отношению к7.4аналогично выполненному в7. 7.и(7.58) и (7.60) можно провести7.5.Двусторонние оценки интегральных параметровОдним из преимуществ двойственной вариационной фор.м.ы .м.ате.м.ати-ч.ес-х:ой .м.одели (ММ) процесса теплопроводности является возможностьполучениядвустороннихоценокнекоторыхинтегральныхпараметров, характеризующих этот процесс. Пусть в теле, занимающем областьстьюS,V,ограниченную поверхнодействуют внутренние источникитеплоты, мощность которых имеет объе.м.ную плотностьqv(M),зависящую от про8странственных -х:оординат точки М Е V(рис. 7.11).
Материал тела примем в об-тщем случае анизотропным с -х:о.м.понента-.м.и л~Г (М) (i, j = 1, 2, 3) тензора теплопроводности в пр.н.м.оугольной систе.м.е -х:оРис.ординат Ох1х2хз. Тогда установившееся7.11распределение температуры Т(М) будет удовлетворять дифференциальному уравнению вида(7.53)дд (л~31_')(М) дТ(М)) +qv(M) =О,М Е V.дхjXi(7.62)Если материал тела изотропен и имеет теплопроводность )..(Т)(М), тов (7.62) .л~J) =)..(Т) бij, где бij-си.м.вол Кроне-х:ера.Грани-чные условия на участкахSq~Sи Sт= S \ Sq поверхноститела примем в видеЛ~J) (Р) д~~~) ni(P) + а(Р)Т(Р) = f2(P), РЕ Sq,(7.63)JТ(Р)r де ni -= fl(P),РЕ Sт,направляющие косинусы единичного векторамали к поверхности тела; а-(7.64)nвнешней нор-х:оэффициент теплооб.м.ена с окружающей средой, а !1(Р) и !2(Р)- заданные функции.2827.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИДифференциа.л.ьной форме(7.62)-(7.64)ММ установившегася процесса теплопроводности соответствует двойственная вариационнаяформа ММ (аргументы функций опущены), которая следует изи(7.60)(7.58)в частном случае идеального теплового контакта и отсутствияпрослоек между частяминеоднородного тела (см.(Т)J[T] =ат ->чj- дхjат - qvT) dV +!( дхi2Vj(a2 т27.6):- /2Т)(7.65)dS,Sq(Т)I[T,q]=- jq/i~ qjdV-vJftq·ndS-~j~T2 dS,(7.66)~гдеqi(M), М Е V = VUS,- проекции вектора q пдотности теnдового потох:а на оси Oxi; r;J') -элементы матрицы, обратной матрице сэлементами >..~J).
Фунх:ционад (7.65) допустимо рассматривать на распределениях температуры Т(М), непрерывных в замкнутой области V,удовлетворяющих (7 .64) и имеющих кусочно непрерывные производнывв открытой области V, а функционал (7.66)- на непрерывно дифференцируемых в V функциях q(M), удовлетворяющих доподнитмьнымусдовиям У' q = qv в V и q · n = о:Т- /2 на Sq, где У' - дифференциадьный оператор Га.м.идьтона.Справедлива цепочка неравенств видаI[T,q]~(7.51)J[T*] ~ J[T],(7.67)где Т*(М), М ЕV,- истинное распределение температуры,J[T] достигает своего наименьшего значения.учетом (7.62)-(7.64) имеемна которомфункционалзначения с2J[T*] =-JJft>..~J):;v~qvT*dV +nidS-J/2T*dS.Для этого(7.68)~Выделим несколько характерных случаев оценки интегральныхпараметров.1.В областиVдействуют внутренние истО'lНИКИ теплоты, мощность которых имеет постоянную объемную плотностьностьSqv,а поверхсостоит из участков Sт с Заданным постоянным значениемтемпературы, которое можно принять за нуль отсчета, т.
е.РЕ Sт, и участковSq,частном случае участкина которых !2(Р) =О, РЕSqft (Р) =О,Sq (рис. 7.12). Вмогут быть идеально теплоизолированы итеплообмен на них будет отсутствовать (а(Р) =О, РЕслучай, когдаS=Sт либоS = Sq.Sq)·Возможен7. 7.Рис.Двусторонние оценки интегральных параметровРис.7.122837.13При указанных условиях второй и третий интегралы в правой части(7.68)равны нулю, и для температуры, усредненной по объемуVобласти, получаемТ= 2_ fт*dV =VИспользуя соотношения-2J[T*].vи(7.67)температуры, усредненной по(7.69)qvVнаходим двустороннюю оценкуобъему V области, в виде - 2J[T] ~(7.69),qvV "'~Т~_ 2/[T,q]"'"'qv V ·2. Пусть в области V отсутствуют внутренние источники теплоты(qv(A1) =О, М Е V), участки Sq поверхности S идеально теплоизолированы (J2 (P) =О и а(Р) =О, РЕ Sq), а на остальной части поверхностиS имеются два не граничащих между собой изотермических участкаS~ и S~ с заданными значениями температур Т{ и Т{' соответственно(рис.7.13).В этом случае вместо(7.68)получаем2J[T*] = T~Q~ +T~'Q~,(7.70)где Q~ и Q~- суммарные тепловые потоки, поступающие в областьVчерез участки s~ и s~ ее поверхности соответственно, причемQ '1 =J'(Т) ВТ*лijBxj nidS'Q" =1strJ'~~) ВТ*л:1.
dSBxj n:·s!j.Согласно условию сохранения пшловой энергии при установившемся процессе теплопроводности, Q~получаем Q~ = -Q~ =+ Q~ =О.2J[T*]/(T{- Т{').Поэтому, учитывая(7.70),Отсюда находим тер.ми'Чесх;оесопротив.леиие телаRт--Т'1 -Т"1 Q~-2- Т")12J[T*](Т'1(7.71)7.284МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИмежду изотермическими участкамииS!r и S!f. поверхности S. Из (7.67)(7.71) следует двусторонняя оценка значения термического сопроти-вления:(Т'122- Т")1s::vs:: (Т'1 - Т")1""~~.т""2J[T]В области3.(qv (М)= О,ческимиМ Е(!I (Р)VV),2I[T,q]отсутствуют внутренние источники теплотыучастки Sт поверхности= Т1 = const,Sявляются изотермиР Е Sт), а на участкахSqпроисходиттеплообмен с окружающей средой, температуру которой примем зануль отсчета, т. е.
!2(Р) =О, РЕSqот участков Sт через участкик окружающей среде проходит, согласно(7.68),Sq(рис.7.14).При таких условияхтепловой поток(7.72)а термическое сопротивление теплопередаче между участками Sт стемпературой Т1 и окружающей средой с нулевой температурой равноRт = Т1/Qт =Т[ /(2J[T*]). Отсюда, используя (7.67) и (7.72), получаемдвусторонние оценкии4.Пусть по-прежнему в областиVотсутствуют внутренние источники теплотыповерхности(qv(M) =О, М Е V), но отсутствует также и участок SтS, а участок Sq, на котором, согласно (7.63), происходиттеплообмен с коэффициентом теплообмена а(Р), состоит из двух частей (рис.7.15).На части S~ теплообмен происходит с окружающейj 2 (P) =О,РЕ S~; на остальной части S~ = Sq \ S~ имеем f 2 (P) = q~ = const.
Тогдасредой, температуру которой примем за нуль отсчета, т. е.Рис.7.14Рис.7.157. 7.изДВусторонние оценки интегральных параметров285найдем среднюю температуру участка S~:(7.68)т'=_!_jт*dS= -2J[T*]2S'qqИзи(7.67)(7.73)(7.73)q2S' .q S'следует двусторонняя оценка_ 2J[T] ~ Гf'. ~ _ 2/[Т, q]S' .S ' "' 2 "'Q2qQ2qЕсли на участке S~ происходит теплообмен со средой, имеющейтемпературу Т~, т.
е. q~ = а.'Т~, где а'- постоянный на этом участкекоэффициент теплообмена, то, используя(7.73),можно найти передаваемый через s~ тепловой потокQ'2а'(Т'т'2 )S'q = а 'Т'с S'q + 2 J[T*]сТ'=си термическое сопротивление теплопередачиR'=T~=тОтсюда,учитываяТ~a'T~S~ + 2J[T*]/T{Q~получаем двусторонние оценки среднего(7.67),теплового потока, передаваемого через поверхность S~, и среднеготермического сопротивления теплопередачи2/[Т, q]Т'Q''T'S'+а с q :::;;2 :::;;с2J[T]'T'S'----т! +а сQ'ст~a'T~S~ + 2J[T]/T~~т/~'<: ..т~"т'<: a'T~S~ + 2/[Т, q]/T{Примеры применения двусторонних оценок можно найти вЦепочка неравенств(7.67)[34, 37].позволяет также получить двусторонниеоценки эффективной теплопроводности л<Т) поликристаллического материала,состоящегоизхаотическиориентированныханизотропныхзерен, теплопроводность которых определяет тензорс компонентами Лk~) (k, l =1, 2, 3)фи-чес-к:их осях Ох~.
Пусть такой материал занимаетобластьусомRVв виде прямого кругового цилиндра радии высотой Н (рис.7.16)с идеально теплоизолированной боковой поверхностью и изотермическими основаниями, имеющими температуры То прих1 =О и Тн при х1 =Н. Истинному распределениютемпературы Т*(М) (М Егласно(7.71),V)xlв -к:риста.л..л.ограбудет отвечать, сотермическое сопротивление цилиндра:::::~i~~н>~~~о>оРис.7.16н7.286МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОдНОСТИRг =(Тн- То) 2 /(2J[T*]) между его основаниями, что соответствует эффективной теплопроводности:).(Т)=Н1Г R 2 Rг=2J[T*]H(7.74)1Г R 2 (Тн- То) 2 .В данном случае допустимым для функцианала(7.65)будет линейное по высоте цилиндра распределение температуры Т( х1)+ (Тн- То)х 1 / Н,щая=То+которому соответствует единственная составляю= (Тн -То)/Н градиента температуры.
Тогда, учитывая8Tj8x1(П1.6) и преобразование компонент тензора второго р~тга в соответствии с (Пl.ll), находимJ[TJ=~~ ат л(~) ат dV = ~jл<т)( ат )2 dV =112= ~2axj ~) axiv2ах1v22(ТнТо) Jл(Т)dV = ~ (Тн- То) Jл(Т)(З (З dV =н112нklk1 11v1Г Rv2= 2Н(Т)2(Тн- То) Лkl fЗklfЗll=1Г R622(Т)Н (Тн- То) Лkl бkl,(7.75)где fЗkl и fЗа -элементы .матрицы поворота репера при переходе откристаллографических осей Ох~ к осямДля функцианалавектораплотностисоставляющие,(7.66)тепловогопотока,длякроме Ql вдоль оси Ох1,выкладок, аналогичных проведеиным пои из условиядl[Тq]- -·- =8 QIбkt- си.м.вол Кроне~ера.Oxi;допустимым будет такое распределениеuО наидемq1 =которогоравныпричем Ql(7.75),З(То- Тн)<т>Hrkl бktвсеПослеполучим, что в итоге даетI[T ] = 31Г R (Тн- То),q2 Н(Т)2нулю= const.2(7.76)rkl бkt·Из (7.67) и (7.74)-(7.76) следует.
3/(rkГбkt) ~;.<Т) ~ лki)бkl/3. Вслучаеизотропныхпоотношениюктеплопроводностикристаллических зерен (например, с кубической кристаллической решеткой) имеемшаровой тензор теплопроводности, поэтому нижняя и верхняя оценкиз~ачения ;.<Т) совпадают. Для поликристаллического материала, состо-7. 7.Двусторонние оценки интегральных параметров287ящего из зерен с гексагональной плотноупакованной (ГПУ) решеткойтензор теплопроводности в кристаллографических осях соответствуетдиагональной матрице третьего порядка с элементами лi'f) = л~~).../..Л (Т) причем r(T) - r(T) - 1/. Л (Т) и r(T) - 1/Л (Т)т-33 '11-22-1133-#В этом случае по-33 .лучаем32/Л(Т)+ 1/Л(Т)~1133>..(Т)(Т)(Т)+ Л 332Л 11~3Для поликристаллического материала типа сплава-смеси, состоящего из разнородных кристаллических зерен, или для композиционногоматериала двусторонние оценки теплопроводности также следуютиз(7.67):N~~(Т)n=1 (rklгде индексом n( (Т))N31Jn)nбklI<~ ).(Т) ~ ~Лkl nUkl"""" ~ 1Jn3'n=1= 1, N отмечены параметры компонента материала,составляющего в нем объемную долю 1Jn· В предположении статистически усредненной сферической формы хаотически ориентированных вполикристаллическом материале зерен оценку );(Т) для >..(Т), находящуюся между верхней и нижней оценками, можно найти из условия[36]NL (2X(T)бkj + (Л~~))n)-l(>."CT)бjl- (лj'[))n)бkl =О.n=1Отсюда для материала, состоящего из однородных зерен с ГПУ-решеткой, следует(Т):ХСТ) = Л~1(1+~(Т))1 +8 ~~) .~33При количественном анализе ММ приближенными методами однимиз важных интегральных параметров является средне-к:вадрати-ч.налпогрешностьLi 2 (T)=J~ (Т(М)- Т*(М)) 2 dVvполученного распределения температуры Т(М), М ЕV.Рассмотримразность значений функцианаловдJ* [Т] =J[TJ _ J[T*] =J(л~J) ( ат ат _ат• ат•) _) J(аv28Xi 8Xj8xi 8Xjт2- (Т*)2-qv(T-T*) dV+2Sч-f2(T-T*))dS.2887.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОдНОСТИОтсюда, учитывая, что Т* удовлетворяет(7.62)и(7.63),а в силу(7.64)Т= Т* на Sт, используя nервую фор.м.у.л.у Грина и обозначая ()=Т- Т*,получаем(7.77)Правая часть(7.77)представляет собой функционал, минимальноезначение которого равногде31-наименьшее собственное зншч.ение зада~ для однородногодифференциального уравнения~(..\~1~)(М) д~(М)) +3()(М) =0, М Е V,дхi~Xjс однородными граничными условиямиЛ~J) (Р) д~~) ni(P) + а(Р)О(Р) =О, РЕ Sq и О(Р) =О, РЕ Sт.JИз (7.77) следует, что К 2 (Т) = 2дJ*(Т]/(В 1 V).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
