Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Рассмотрим установившийся процесс теплопроводности в твердом теле объемомПри _\(Т)= constV,ограниченном поверхностьюS.распределение Т(М) (М Е V) температуры удовлетворяет уравнению Пуассона(7.20)7.3.где \7 2 -Линейные модели теплопроводностидиффереи:циадьный оператор Лапдаса;261qv -объе.мнаяпдотность мощности внутренних источников теплоты.Грани-чноеусдовие запишем в виде, аналогичном_х(Т) д~~) ni =где пi -ностиS(5.21):a(N)(Tc(N)- T(N)),NЕ S,(7.21)проекции единичного вектора внешней нормали к поверхна осиOxiсистемы пространственных координат;а-коэффициент тепдооб.мена тела с окружающей средой, имеющей температуру Те.Функция1w(M, Мо) =· ,Х(Т) r(M, Мо),гдеr(M,Mo)-(7.22)расстояние между точками М и Мо, описывает установившееся распределение температуры в пространстве, когда в фиксированной точке Мо действует источник теплоты мощностьюДеЙСТВИТеЛЬНО, На ПОВерХНОСТИ сферы81471'Вт.ПрОИЗВОЛЬНОГО радиуса Т}== r(N1,Mo) >О с центром в точке Мо пдотность тепдового потокаqr = -_x(Т)дw(NI,Mo)/дr = 1/r 2(NI,Mo), N1 Е 81, и суммарный тепловой поток Q = 411'r~qr = 471' равен мощности точечного источника.
Следовательно,удовлетворяет уравнению(7.22)(7.23)где 83 (М, Мо)- дедьта-функи,ия, обладающая свойствомУмножимна функциюw(M,M0 )(М Е(5.60).и с учетом теоре.мыОстроградского- Гаусса и известного равенства w\7 2T = \7 · ( w\i'T) - ('Vw) · \i'T \7 · (w\i'T)- \7 · (T\i'w) T\7 2 w, где \7- дифферени,иадь(7.20)V)+=ный оператор Га.мидьтона, проинтегрируем по объему телаV:Jw(Л(T)\7 T+qv)dV = _х(Т) J2T\7 2 wdV +vv+jwqvdV +Л(Т) j(w дТvОтсюда, учитывая(5.60)иs(7.23),дхi-Tдw)nidS =О.дхiполучаем грани-чное интеградьноеуравнение (ГИУ)J+ _х(Т) J(П(Мо)Т(Мо) =qv(M)w(M,Mo)dV(M) +vw(N,Mo) д~~)- T(N) дw(~iMo))nidS(N),s(7.24)2627.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИгде М ЕМоЕМо ~V, N Е S и МоЕ V; П(Мо) = 47r приV = V U S; П(Мо) = 21r, если точка Мопринадлежит гладкомуучастку поверхностиS;V;П(Мо) =О призначение П(Мо) равно значению внутреннеготелесного угла с вершиной в точке Мо, если точка Мо совпадаетс угловой точкой на поверхности5.3).
Из (7.24) с учетом(7.21) методом граничных элементов [11, 16, 17, 21, 34, 43] можно найтизначения Т(Мо) в граничных точкахМоЕ S, а затем и значение Т(Мо)в любой внутренней точкеМоЕV.В случае двумерной областиограниченной контуром Г, вместоF,можно использовать функцию(7.22)w(M, Мо) = где(см.S1Л(Т) lnr(M,Mo)ro(7.25),ro = const- некоторый характерный размер области.описываетустановившеесяраспределениетемпературыЭта функциявплоскости,которое вызвано действием линейного источника теплоты мощностью21rВт/м, приходящейся на единицу длины этого источника, пересекающего плоскость в точке Мо.
Действительно, через поверхность S~прямого кругового цилиндра единичной высоты и произвольнога радиусаr1= r(Nl,Mo),описанную вокруг линейного источника, проходиттеnловой nоток Q = -21Гrl>.(T) дw(~~,Мо)= 27r.Следовательно, эта фун-кция удовлетворяет уравнению >,(T)V' 2w(M,Mo)+ 21r82(M,M0 ) =Онаплоскости, где 82(М, Мо)- дельта-функция, обладающая в случае функцииf (М),МЕF = F U Г,непрерывной на замыканииFобласти F,следующим свойством:Jj(M)82(M, Мо) dF(M) =Fгде П(Мо)_!_n(Mo) J(Mo),{МоЕ F;21rО,Мо ~ F,= 27r nриМоЕ V; П(Мо) =О nри Мо ~ V = V U S; П(Мо) =если точкаМопринадлежит гладкому участку поверхности1r,S; значениеП(Мо) равно значению внутреннего угла (в радианах) с вершиной вточке Мо в плоскости двумерной области, если точка Мо совпадает сугловой точкой на поверхностипроведеиным при полученииП(Мо)Т(Мо) =S.
Тогда после выкнадок,(7.24), nридем к ГИУаналогичныхJqv(M)w(M,Mo)dF(!yf) +F+Л(Т) j(w(N,M0 )д~~~) -T(N)дw(~iMo))nidГ(N).г(7.26)2637.3. Линейные модели теплопроводностиДля анизотропного тела в трехмерном случаенить(7.22)[21, 37} следует замеуравнениемw(M,Mo) =(Т)тijа в двумерном случае[36]- (7.25)det ( тkl(Т))w(M,Mo) = -.t::.xj(M, Mo)t::.xi(M, Мо)2(Т)lnтij'k, l = 1, 2, 3,уравнениемt::.xj(M,Mo)t::.xi ( М,Мо)то det(r[J),m,n= 1, 2,где т~J> -элементы матрицы, обратной матрице с элементами >.~J>;t::.xi(M,Mo)- проекции т(М,Мо) на координатные оси Oxi· При этомвместо(7.24)получимЩМо)Т(Мо) =1qv(M) w(M, Мо) dV(M) +v(N М )дТ(N) -T(N)дw(N,Mo)) ·dS(N)+ л_(Т)(tJw ' о д Xjдnt,Xj/sа вместо(7.26) -П(Мо)Т(Мо) =1qv(M)w(M, Mo)dF(M) +F+ fл~J) (w(N,Mo)~~)-T(N) дw(:;Мо))щdГ(N).JгJЕсли в точку МоЕ V00 , принадлежащую неограниченной областиV00 , поместить мгновенный источник, выделяющий в момент времениt = t' количество теплоты, численно равное объе.м.ной теnлое.м.х:остиcv среды, то изменение температуры в точке М Е V00 при t > t' будетописывать функция_[21, 54]11(т(М, Мо) ))ехр - 4 (T)(t') '8 1ra( t - t') 312а- rw(M,Mo;t,t)= (где а(Т) = л_(Т) fcv -(7.27)те.м.nературоnроводность среды.
Используя этуфункцию, ММ процесса неустановившейся теплопроводности, дифференциальная форма которой содержит уравнениедТС:, t)t=a(T)\l2T(M, t) + qv(M, t)'cvМ Е V,7.264МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИс 1шчадьны.м. усдовие.м. Т(М,О)вида= Т0 (М) (М Е V) и граничным условием(7.21)Л(Т) дТ(N, t)дхini= a(N, t) (Tc(N, t)- T(N, t) ) , NES,можно также свести к ГИУП(Мо)Т(Мо,t) =J[34]T (M)w(M,Mo; t,t')dV(M) +0vt+ajdt'f ( w(M,Mo;t,t') дТ~:.,t) -T(N,t) aw(M~л;.o;t,t'))nidS(N)+sоJJt+J Jqv~~,t)dt'vоДля двумерной областиF,w(M,M0 ; t,t')dV(M).ограниченной контуром Г, вместо(7.27)следует испольЗовать функцию_(,1( r(M,Mo))w М, М0 ; t, t ) = 41ra (t - t ') ехр - 4а (t- r ') ·Тог да получим ГИУП(Мо)Т(Мо,t) =JT 0 (M)w(M,Mo; t,t')dF(M) +Ft+ajdt'f ( w(M,Mo;t,t') дТ~:.,t) -T(N,t) aw(M~л;.o;t,t') )nidГ(N)+огJJt+ jdt'f qv(M,t) w(M,M0 ; t,t')dF(M).cvО.,.FТаким образом, представление ММ процесса теплопроводности ввиде ГИУ в сочетании с граничным условием позволяет понизить размерность задачи: в случае пространствеиной области искать неизвестные на ограничивающей поверхности, а в случае двумерной областина ограничивающем ее контуре.-7.4.7 .4.Нелинейныв мQЦели теплопроводности265Нелинейвые модели теплопроводностиНеобходимость построения нелинейных .мате.мати-чес-х;их .мoдeJteu(ММ) теплопроводности применительно к процессам, в которых те.мпература Т может меняться в достаточно широких пределах, обусловлена зависимостью объе.миоu menJtoe.м-x;ocmucvи menJtonpoвoдиocmuматериала тела от температуры и нелинейной зависимостью от Тобъе.миоu nJtomиocmuqvмощности внутренних источников теплоты.Кроме того, нелинейные эффекты должны быть отражены в граии-чиыхycJtoвuяx в силу нелинейной зависимости nJtomиocmu menJtoвoгo-x;anomo-на поверхности тела от ее температуры.
Причиной такой зависимости может быть существенное влияние на температурное состояниетела собственного теплового излучения или же изменение -х;оэффициеита menJtooб.мeиa с окружающей средой при изменении температурыповерхности.Рассмотрим тело, занимающее областьченную кусочно гладкой поверхностьюSVпространства, ограни(рис.7.9).Материал теласчитаем в общем случае неоднородным и анизотропным, т. е. его теплофизические характеристики зависят не только от температуры, нои от координат точки М ЕV,а теплопроводность-еще и от направления осей выбранной прямоугольной системы координат. Тогда в силуза-х;оиа сохраиеиия эиергии, опустив в уравиеиии menJtonpoвoдиocmu(5.18)cvпервое слагаемое в правой части, запишем( М ' Т) дТ(М,t)дt=~(л~т)(М Т) дТ(М,t))дхi tJ'дхj++ qv(M, t, Т),где t -время; л~J)-i, j= 1, 2, 3, (7.28)-х;о.мпоиеиты си.м.метри-чиого теизора menJto-npoвoдиocmu в пря.моугоJtьиоu систе.ме -х;оордииат Ох1х2хз.Рис.7.97.266МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИПомимов ММ войдут 1-шча.л,ьиые ус.л,овия в виде(7.28)(5.20),задающие распределение температуры Т (М) в теле в момент времени0t= О,принимаемый за начальный, и граии-чиые ус.л,овил(Т)\jдТ(Р, t)(Р,Т)~дх·ni(P)=J2(P,t,T),PESqc;S,(7.29)t>O,JT(P,t) = ft(P,t),гдеРЕ Sт =S\Sq,t >О,(7.30)n(P) внеш7.9); !1(P,t) иР, t, Т) - заданные функции своих аргументов.
Если х;раевые ус.л,овия (5.20), (7.29) и (7.30) являются согдасованны.ми, т. е. fi (Р, О) =ni(P)-направляющие косинусы единичного вектораней нормали к поверхности тела в точке РЕh(Sq(см. рис.(= то Р) при Р Е Sт и\j(Т) ( Р,Т о (Р) ) дТдх·(Р) щ(Р) =0~(о)!2 Р,О,Т (Р) ,Jто искомое решение Т(М, t) должно удовлетворятьпротивном случае-приt>(7.28)приt~О, а вО.Диффереициа.л,ьиой фор.м.е ММ (7.28)-(7.30),(5.20)процесса теыопроводиости можно поставить в соответствие иитегра.л,ьиую фор.м.умм[34, 36, 44]J(vдw(М) Л(Т)(М Т) дТ(М, t)- (М) ( (М t Т)'д Xjwqv''д Xi ~з- cv(M, Т) дТ~,t))) dV(M)- Jw(P) ];(Р, t, Т) dS(P) =О,(7.31)Sqгдеw(M)V = V US-функция, непрерывная в замкнутой областиимеющая вVикусочно непрерывные производные по пространствеинымкоординатам, а в точках РЕ Sт равная нулю, т.
е.w(P)=О, Р Е Sт.Такая форма ММ позволяет искать приближенное решение нелинейнойзадачи теплопроводности в видеN.T(M,t)= h(M,t) + Laп(t)wп(M),t >О,М Е V,(7.32)n=lгде h (М, t) =Л (М, t) при М Е Sт; an(t) -искомые функции времени;Wn (М) - система N* линейно независимых в V U Sт функций, причемWп(М) =О при М Е Sт. Функциирывны в областиVft(M,t) и wп(М) должны быть непреи дифференцируемы в ней по пространствеиным7.4.Нелинейвые модели теплопроводности267координатам всюду, кроме, может быть, множества точек, образующихлинии или поверхности.Подставляяв(7.32)= wп(М), n = 1, N*,(7.31)и последовательно полагаяw(M) =после интегрирования получаем системуN* нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) относительноan(t).Для решения такой системы в общем случае необходимопривлечь численные методы. Аппроксимация искомого решения способом, характерным для метода конечных элементов[9, 25, 34, 45, 128],впростейшем варианте этого метода также приведет к системе нелинейных ОДУ относительно изменяющихся во времени значений температур в узлах сетки конечных элементов, аппроксимирующей замкнутуюобластьV.Если материал тела изотролен и имеет теплопроводность Л (Т) (М, Т),то в (7.28), (7.29) и (7.31) следует заменить л~р(М,Т) на Л(Т)(М,Т)бij,М Е V U Sq, i, j = 1, 2, 3, где бij - си.м.во.11.
Кронех:ера. В случае установившегася процесса теплопроводности в анизотропном теле распределение температуры Т(М), функции qv в (7.28), fi в (7.30) ине зависят от времени t, а левая часть (7.28) обращается вэтом вместоj(7.31)h в (7.29)нуль. Приследует использовать уравнение(д~~) л~р(м,т)д~~) -w(M)qv(M,т))dv-v-Jw(P)f;.(P, Т) dS =О,(7.33)Sqаискомоераспределениетемпературыаппроксимироватьсоотноше-ни емN.Т(М)=f;.(M)+ Lапwп(М), М Е V,(7.34)n=1где f;.(M) = !1(М) при М Е Sт; an- искомые коэффициенты. Еслиматериал изотропный, то (7.33) приобретает следующий вид:J(д~~~) Л(Т)(М,Т)д~~~)v-w(M)qv(M,T)) dV--Jw(P)f;.(P,T)dS=O.
(7.35)SqПусть материал тела изотропный и однородный, т. е. его теплопроводность Л(Т)(Т) не зависит явно от положения точки М ЕVUSq, но7.268МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИявляется функцией температуры. Введем функциюТ(М)1/J(M) =J>..(T)(T)dT,(7.36)т.где Т* -нижняя грань множества ожидаемых значений температуры втеле. Тогда, опуская обозначения аргументов, полагая w = бф =>..(Т) бТи учитывая что дw =б дф >..(Т) дТ = дф и дw >..(Т) дТ'=2дх;~ (>..(Т)~~) , вместо=2дх;дх;\7 -дх;=~ ( дф )2дх;2=получим равенство бJ[Т,бТ] =О, гдетт.J JhЛ(Т)тqv>..(T) dT) dV-VЗдесь(7.35)дх;J((>..т :Т) - J( )J[T]дх; 'dSSqdT.(7.37)Т.диффере'Н:циальный оператор Га.мильтона.Фунх:ционал(7.37)допустимо рассматривать на распределенияхтемпературы Т(М), непрерывных в областиV и дифференцируемыхв ней по пространствеиным координатам всюду, кроме, может быть,множества точек, образующих линии или поверхности.Нелинейпаястационарная задача теплопроводности может не иметь решения, а приналичии решения оно может быть не единственным, но любое решениеТ*(М) должно удовлетворять условию стационарности бJ[Т*,бТ] =Офунх:ционалаJ[T],т.
е. Т*(М) является стационарной точх:ой этогофунх:ционала.Функционал(7.37)в сочетании с его условием стационарности составляет вариационную фор.му ММ процесса стационарной теплопроводности. Для выяснения экстремальных свойств этого функцианалаисследуем его на выпуклость, преобразовав(7.37)с учетом(7.36)к виду(7.38)где qv(M,1/J) = qv(M,T(1/J)); J2 (P,1/J) = h(P,T(1/J)); T(1/J)- функция,обратная функции 1/J(T). Отметим, что функция T(1/J) однозначная,поскольку при >..(Т) >О (7.36) определяет строго монотонную функцию1/J(T).Согласно(7.36) истинному распределению Т*(М) соответствует1/J*(M), удовлетворяющее условию бJ*[1/J* ,б1/J] =О стационарности функцианала 1*[1/J].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
