Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Тогда спроекции первого уравнения(6.63)на направленияможно представить в видеМ дН2д(Н12Н)_) 2 к2 Н дН()( д(МнН2)д/31- 22 дf31 + 2дf32+ К1 12 д/32 ++д(QнН2) _д/31Q22дН2д/31+д(S12Н1)д/32+S дН} _12 д/32 -=-Н! Н2(Р1+ к1m1),(6.66)6.4. Математические модеЛи оболочкигде Н12ортов=ej.12 (Mt2 + М21);Pj -233проекции вектора р на направленияДля замыкания ММ оболочки необходимо установить связь между величинами, определяющими деформации срединной поверхностиоболочки, и усилиями и моментами. Считая материал оболочки линейной изотропной термаупругой средой, для определения объе~нойnдотности nотенциадьной энергии дефор~ации оболочки воспользуемся подынтегральной функцией в(6.57)(5.51).В данном случае с учетомэта энергия, приходящаяся на единицу площади срединной поверхности, составляетW = (€1[112]+ €2)2- 2(1- v)(€1€2- 1~2 /4) Eh +2(1- v 2 )+ (д"; 1 + Д";2)2- 2(1- v)(д";1Д";2- (д";t2) 2 ) Еhз _24(1- v 2 )- (€t + €2)81где Е иv -(д";l+ Д";2)82,(6.69)~одудь nрододьной уnругости и "'оэффициент Пуассонаматериала оболочки;Еа(Т)81 = - -1-vJh/2дТ(/Зз) d/Зз,Еа(Т)82 =_ v1-h/2а(Т) -Jh/2дТ(/Зз)/Зз d/Зз,(6.70)-h/2те~nературный "'оэффициент динейного расширения материала оболочки; дТ(fЗз) =Т- То-функция, задающая при фиксированных значениях fЗi распределение по толщине оболочки отклонения6.
ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ПРИКЛАдНОЙ МЕХАНИКИ234температуры Т от температуры То естественного состолни.а, при которой в оболочке отсутствовали деформации и напряжения. Из(6.69)дифференцированием получим(6.71)Соотношения(6.71)можно свести к трем дифференциальным уравнениям (ДУ) относительно проекцийпри помощи(6.56)-(6.58)в(6.71)ujвектора U 0,если через нихвыразить деформации и изменениякривизны, а затем полученные выражения для усилий и моментов подставить в(6.66)-(6.68).
Другой путь связан с возможностью разрешить(6.71) относительно деформаций и изменений кривизны и подставить в(6.59)-(6.61). Тогда (6.59)-(6.61) и (6.66)-(6.68) составят систему шести ДУ относительно усилий и моментов. Выбор того или иного путизависит от заданных грани-чных ус.л.овий.Рассмотрим оболочку, срединная поверхность которой ограничена кусочно гладким замкнутым контуром Г, к которому пряложеныусилияQ'[ = Q'[jej+ М21 е2.и моментыM'l = - М}2 е1 + М}1 е2 и М 2 = - М22 е1 +Воз.м.ожную работу этих силовых факторов можно представить в виде[112]f ((М2 8д=f(+8Ао =·Q2 · 8u)H} dfЗ1-(М!· 8д- Q~· би)Н2 dfЗ2) =г(M:X281'J2M:X181'J1- Q'228u'2- Q'218u'1- Q'2зби3)Н1 dfЗ1-г- (M}181'J1+ M}281'J2- Q'1 1 8и'1- Q'1 2 8и'2 -Q'1 3 8u3)H2 dfЗ2).
(6. 72)6.4.235Математи'lеские модели оболо'lкиЕсли вектор внешней нормали к контуру Г, лежащий в плоскости ортовei,составляет с ортом е 1 угол О, то из рис.и!= и(n) cosO- и(s) sinO,6.15следует= и(n) sinO + и(s) cosO,}'191 = -a(n) cosO- -a<s) sinO, '192 = -a(n) sinO + -a(s) cosO,Н2 df32 =HJ. df31 =- sinOds,г деds -и2cosOds,дифференциал длины дуги контура Г;и(n), и<s) и 19(n), 19(s) -tJции векторов и и(6.73)nпроек-соответственно нанаправления внешней нормали и касательной к г.Подставляя соотношения(6.73)в(6.72)Рис.6.15и вводя обозначенияQ(n) = Q1 1cos20 + Q22sin20 + (Ql2 + Q2I) sinO cosO,Q~n) = Q13 cos0+Q2 3 sin0,= (Q2 2 - Q1 1) sinO cosO + Q1 2cos2 О- Q2 1sin 2О,м<п) = М11 cos2 О+ М22 sin2 О+ (М1'2 + М21) sinO cosO,м<s) = (М22 - M11)sin0 cosO + M12cos 20- М21 sin2 О,s<s)находимдА о=(6.74)f (Q(п)ди(п) + Q~п)ди3 + s<s)ди(s)- м<пJд-а(п))ds- дА~,ггде с учетомдА~=(6.56)и(6.73)f м<sJд-a(s) = f м<s\,..1- к,2)ди(п)f (к,I О+ О)ди(s) f м<s) д~:'ЗdssinO cosOds +ггsin 2+,..2 cos2ds +гds.гПосле вычисления последнего интеграла по частям в предположениинепрерывности и однозначности м<sJ и иЗ на г находимдА 0 =f(Q(n)- M(s)(к,I-г+f(s<s) +г+к,2) sinO cosO )ди(n) ds +м<s) (к,I sin 2 О+ ,..2 cos2 О)) д·u(s) ds +f (Q~n) + д~s(s))ди3ds- f м<п)д-а(n)ds.гг(6.75)6.
ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ236Полагая наложенные по Г связи идеадьны.ми, т. е. бА0=О, на свободных участках контура Г, не нагруженных усилиями и моментами,из(6.75)получаем четыре сидовых грани'Чных усдовияQ(n)- м(s)(~ 1 - ~ 2 )sin0cosO =О,2s(s) +M(s)(~1sin 0+~2cos 2 0) =О,Q3(n)анаучасткахсдм(s)-+~-0,жесткимм(п)закреплением=о,-четырех:ине.маmи'Чесх:ихграни'Чных усдовия и(п) = и(s) = иЗ =О и 19(п) = О. В общем случае вокрестности любой точки М Е Г из каждой пары связанных междусобой величин(Q(n)- м(s)(~l- ~2)sinOcosO, и(п)),(s(s) +M(s)(~1sin 2 0+~2cos 2 0), и(s)),(n)(Qз(6.76))дМ(s)0+~,из'(м(п),-a(n)),имеющих смысл соответственно обобщенных сиди обобщенных пере.мещений, может быть задана лишь одна.
При совпадении участка контураГ с координатной линией fЗ1(6.76)с учетом(6.73)и= const имеем О= О. Тогда пары величин(6.74)принимаютвид(Qн, и~), (Q12+~2M12, и2), ( Q1з+ ~'2 а:;~ 2 , иЗ), (Мн, '!91),а при совпадении с координатной линией(6.77)fJ2 = const -Если контур Г является замкнутой координатной линией (например,в случае сферического купола), то на таком контуре должны выполняться условия периодичности,т. е.вдоль этой ... линии обобщенныеперемещения должны быть непрерывны и однозначны.Вариационная фор.ма ММ оболочки может быть получена из условияравенства нулю в положении равновесия вариации дW- дАр полнойэнергии оболочки, где бАр- возможная работа на допустимых обобщенных перемещениях внешних силовых факторов, в том числе заданных на контуре Г усилий и моментов. При выполнении этого условия на6.4.Математические модели оболочкиистинном распределенииJ[uj]=uj (М)(М ЕS)237перемещенийujфynx:цuona.rtj (w- pjuj- mi19i) dSs-j(Qin)-м<s) (к.
1 - к.2) sinO cosO) и(п) ds-г- j ((s(s) + м(s) (к.1 sin е+ к.2 cos О)22)u(s)+гдостигает минимума,соответствующего минимуму nomenцua.rtьnoйэnергии Qболочки в положении равновесия.Этот функционал допустимо рассматривать на непрерывных и кусочно дифференцируемыхраспределенияхтическимпомощиuj (М)граничнымперемещений, удовлетворяющих на Г кинемаусловиям,причемчерезэтиперемещенияпри(6.56) и (6.73) следует представить обобщенные перемещения'!9i и 19(n), 19(s) и с использованием (6.58) выразить Ei, 112, t:lк.iявляющиеся, согласно (6.69), аргументами W. При вычислеu(n), u(s),и Ь.к. 1 2,нии интегралов по Г на тех участках контура, г де заданы какие-либокинематические граничные условия, должны быть опущены соответствующие слагаемые.В результате преобразования функцианалаJ[uj]можно получить-*функционал J[F], который на истинном распределении F (М) (М Е S)векторной фуnх:ции nапр.нжеnий F достигает максимума, значение которого совпадает с минимальным значением J[uj] [1].
A.rtьmepnamuв-nыe фynx:цuona.rtы J[uj] и J[F] входят в двойствеnnую вариациоnnуюфор.м.у ММ оболочки.С точки зрения рационального использования материала оболочкинаиболее целесообразным является ее безмоментпае состояния, когданапряжения по ее толщине распределены равномерно. В этом случаеприMi =О и m =О имеем Q12 = Q21 = S12, Н12 =О и из (6.64), (6.65)= Q2з =О, а из (6.66)-(6.68)- три уравненияследует Q1зд(QнН2) _ Q8{31дН222д(Q22HJ.) _ Q8(32к.1 Qнд/3 1дНJ.118{32+ к.2Q22 = Рз++д(S12HJ.)дfЗ'J.д(S12Н2)8{31+S дНJ. _-Но но12 д/3 1 2 Р1,2+S дН2 _-Но но12 д{3 1 2Р2,1(6.79)6.
ОСНОВНЫЕ МОдЕЛИ ПРИКЛАдНОЙ МЕХАНИКИ238относительно трех неизвестных Qн,Q22 и 812· Теперь вместо (6.75)получим пары обобщенных сил и перемещений в виде (Qin), и(n))и (8(s), и<sJ), а вместо (6.77) и (6.78) - соответственно (Qн, и]'),(812, и2) и (Q22, и2), (812, и]'). После решения (6.79) из первых трехравенств (6.71) можно найти €1, €2 и 1'12, а затем перейти к решениюотносительно иj системы первых двух уравнений (6.58) и уравненияполученного nочленным сложением пятого и шестого равенств(6. 58).Для достаточно длинных цилиндрических и конических оболочекиренебрежение всеми моментами не всегда оправдано.В некоторыхслучаях можно иренебречь лишь частью моментов и воспользоватьсятак называемой полубезмоментной теорией оболочек. В качестве примера рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку радиусомтолщинойh.Орт е1 направим по образующей, а орт е2-roипо касательной к срединной поверхности в окружном наnравлении.
Тогда вчи.л.ипдричесх:ой систе.м.е х;оордипат fЗ1= z, /З2 =ер, а радиус-векторr = /З1 е 1 + rofЗ2 е2 + ro ез, попроизвольной точки срединной поверхностиэтому Н!=1и Н2= ro = const.m = О и Н12 == О. Так как д Н!/ дfЗ1 ::: О, то из(6.64) следует Q1з =О, а из (6.65)- roQ2з = дМ22/дер. Тогда уравнения(6.66)-(6.68) nримутвидПоложим М 1 = О,дQн1 д812-дz- + - - = -р1,ro дердQ22д812-1 - +- +Q2з-=roQ22дердzro-р2,(6.80)1 дQ2з-----=рз.roroдерПри однородной по толщине оболочки температуреМн =О из четвертого равенства(6.71)nолучим дк1=82=О и приvдк2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
