Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Действительно, из рассмотрения элементавырезанного из стержня (см. рис.6.7),следует, что в силу париости касательных напряжений они равны т= т( s) на граняхАВВ'А', ADD'A' и т1 на гранях ВСС'В', CDD'C'. На грань АВВ'А'действует силаdF = т(s)h(s)dx, а на грань CDD'C' -силаdF1 == т(s)h(s)dx+ д(т(s);(s)dx) ds. Проектируя эти силы на продольную ось8стержня, из условия равновесия элемента АВС D получаемd(F F)~== d(т(s)h(s)) =О, т. е. т(s)h(s) = const =Со.dsс'Рис.6.1Для установления связи т( s) с действующим на тонкостенный стержень крутящим моментом Мк представим поперечное сечение в видеконтура Г, соответствующего средней линии стенки стержня (рис.6.8).dF = т(s)h(s)ds = Cods, приложеиная в точке Р8 и соответствующая элементу дуги ds, создает относительно произвольной точки Омомент dM = Cor(s)ds, где r(s) плечо этой силы, равное длинеСилаперпендикуляра, опущенного из точки О на касательную к средней линии в точкеPs.Ноr(s)dsесть удвоенная площадь заштрихованного2156.2.
Кручение прямолинейных стержнейРис.на рис.6.86.8треугольника с основаниемdsи вершиной в точке О. Обходя весь контур средней линии, находим М=2CoFo,гдеFo-площадь,ограниченная этим контуром. Отсюда с учетом равенства М= Мк получаемМкт(s) = 2h(s) Fo ·Для вычисления угла'PL{6.30)поворота сечения, в котором приложенкрутящий момент Мк, при линейной связи междуМки'PLприравняем работу Мк'РL/2 к накопленной в стержне nотенциадьной энергиидефор.м.ации. Для материала, подчиняющегося закону Гука, плотностьэтой энергии при чистом сдвиге составляет т 2 /{2р), а полная энергияс учетом(6.30)будет равнаL22тM L-ds--к_J2р- 8pF(fгJ-dsh( s).гТаким образом,МкL'PL = 4pF(fJdsh(s).гВ случае неупругого поведения материала стержня сохраняет силу(6.30),но энергетический подход для нахождения'PLтребует уточнения.Пусть крутящим моментом Мк нагружена полоса длинойнойh и ширинойЬ (рис.6.9, а),причемh«L,толщиЬ. Такую полосу можно рассматривать как тонкостенный стержень, но снезамкнутым профилемпоперечного сечения.
В соответствии с мембранной аналогией можносчитать, что в плоскости хз= О касательные напряжения равны нулю,а по толщине полосы они распределены линейно, т. е. т(хз) = 2тmах.Хз/h,г де тmax. -наибольшее касательное напряжение в поперечном сеченииполосы при хз= h/2, поскольку между ее близкими сторонами мембрана будет прогибаться практически по параболе (за исключением зоноколо углов).6.
ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ПРИКЛАдНОЙ МЕХАНИКИ216ьбаРис.6.9Качественная картина траекторий касательных напряжений в поперечном сечении полосы с учетом гидромеханической аналогии показанана рис.6.9,б. Исходя из этой картины незамкнутый профиль полосыможно условно представить как замкнутый тонкостенный толщинойh/2с разрезом по плоскости хз =О с нулевыми касательными напряжениями. Выделяя в таком замкнутом профиле тонкостенное кольцотолщиной dхз и площадьюF(x 3 ) =2Ьхз и применяя(6.30),запишемвклад этого кольцав уравновешивание приложеиного крутящего момента.Тогда послеинтегрирования, положив М= Мк, получиммк --1h/28bTmax-h-2dхзхз- bh2Tmax3.(6.31)оТакой же результат следует из решения задачи о кручении стержня спрямоугольным поперечным сечением, еслиДля установления связи междуМкиО[139].углом{}= 'PL/ L закручиванияh/b ---tполосы на единицу ее длины используем (как и выше) энергетическийподход, приравняв работу Мк'РL/2 к запасенной в полосе потенциальной энергии деформации6.2.В итоге с учетом217Кручение прямолинейных стержней(6.31)находим-д= 3 Мк =1-LbhзTmax.(6.32)1-LhВыражение !-Lbh 3 /3 характеризует жесткость полосы при кручении.Рассмотренный подход и(6.31), (6.32)в первом приближении справедливы для прямолинейного тонкостенного стержня с произвольнымнезамкнутым профилем поперечного сечения, если этот профиль разбить наnучастков постоянной толщинойhiи длинойbi, i = 1, n.Тогдасуммарная жесткость при кручении будет равна сумме жесткостей отдельных участков и вместо(6.32)получим3Мк(6.33){}= -..".n--1-L I: bih~i=lИз(6.31)-(6.33)следует, что наибольшее касательное напряжение наi-м участке будет равно Tmax,i= -д!-Lhi·Если материал стержня считать идеальным упругопластичным,то при весьма больших углах закручивания касательные напряжения практически по всей площади поперечного сечения будут равныпределу текучести тт, но их направления будут различными.
Для вычисления предельного значения крутящего момента в этом случае можноприменить(6.26),предварительно найдя распределение по сечениюфункции Ф.Для стержня с односвязным поперечным сечением рассмотрим двеблизкие траектории Г и Г' касательных напряжений, являющиеся одновременно изолиниями функции напряжений. Если вырезать из стержняобъем, заключенный между цилиндрическими поверхностями с направляющими Г и Г', то получим тонкостенный стержень с поперечнымсечением замкнутого профиля.
Тогда из условия ттдh= const,справедливого для такого стержня, следует, что расстояние дh между этимитраекториями должно быть постоянным. Это означает, что изолинииФ= constбудут эквидистантными, причем контуру поперечного сечения будет соответствовать изолиния Ф=О.
Откладывая от контура понаправлению внутренней нормали одинаковое расстояние дh, перейдемК ИЗОЛИНИИ Ф= Ттh И Т. Д.Для многоугольного поперечного сечения изолинии также будутмногоугольными, причем их вершины будут лежать на биссектрисахуглов контура. Например, для прямоугольного поперечного сечения состоронами Ь2 и Ь3< Ь2(рис.6.10)биссектрисы углов и отрезок прямоймежду точками их пересечения разбивают площадь этого сечения наб. ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ПРИКЛАдНОЙ МЕХАНИКИ218Рис.четыре части.Таким образом,6.10поверхность,задаваемая функциейФ, в данном случае представляет собой четырехскатную <<крышу>> с<<коньком>> высотой ттЬз/2.
В соответствии с(6.26) предельное значениекрутящего момента Мпред= Тт:~ (ь2- ь;) равно удвоенному объему подэтой <<крышеЙ>>.Характерной особенностью многоскатных <<крыш>>, соответствующих функции Ф для различных форм поперечного сечения стержня,является одинаковость наклона всех скатов, определяемого значениемТт. Это служит основанием для так называемой nесочной аналогии,поскольку <<крыша>> совпадает с поверхностью кучи песка, имеющейоснование, одинаковое по форме с поперечным сечением стержня.6.3.Изгиб стерЖней и балокИз рассмотренной вследует,есливравнодействующейQвэтомчтосечении,тов6.1его.мате.матичес'Х:ой .модели (ММ) стерж'Н.Нпроизвольномпоперечн.о.мсечен.иивекторперпендикулярен, а вектор момента М лежитданномсечениивозникаютлишьн.ор.мальн.ыен.апряжен.ил.
Такое н.апряжен.н.ое состоян.ие называют одноосны..м. вотличие от_ общего случая сложного наnр.яженного сосmо.яни.я.06 направить по касательной к осевой лин.ии стерж'Н.Н, а оси06 и 06 совместить с главн.ы.ми и цен.тральн.ы.ми ося.ми произвольногоЕ<:_:ш ос~сечен.ия,то тен.зор н.апряжен.ий будет иметь лишь одну отличнуюQ = Q1e1 и М= М2е2 + Мзез, где Q1 иMk, k = 2, 3, - проекции векторов Q и М на соответствующие осикоординат; ei, i = 1, 2, 3,- орты репера систе.мы 1\:оордин.ат.В случае Q 1 =О отн.осительн.ое удлин.ен.ие оси стерж'Н.Н такжеот нуля компоненту ан, аравно нулю и говорят о чисmо.м. изгибе стержня.
При этом, еслиматериал стержня подчиняется за~он.у Гу'Х:а, имеем линейную зависимость изменения напряжения от координат точки сечения (см.6.1)(6.34)6.3.гдеIk-Изгиб стержней и балок219осевой момент инерции сечения относительно оси O~k· Еслиодно из значенийMkравно нулю, а другое отлично от нуля, то такойизгиб принято называть nр.н.мы.м[145],а в случаеMk=f. О-посы.м.Множество точек поперечного сечения стержня, в которых ин= О,называют нейтра.~~ьной линией.При прямом изгибе изгибающиммоментом Mk такая линия совпадает с осью O~k, а, согласно (6.34),наибольшее по абсолютному значению напряжение lиi~) lmax = Mk/W'f",где Wl" = l~lmax/ Ik (j =f. k)- .момент соnротивленu.н сечени.н nриuз_:ибе моментом Mk, l~lmax- расстояние наиболее удаленной от осиO~k точки поперечного сечения стержня.
При косом изгибе нейтральнаялиния совпадает с направлением вектора М лишь при условии/2 == ! 3 (например, для круглого, кольцевого или квадратного поперечныхсечений), а значение lинlmax соответствует точке сечения, наиболееудаленной от нейтральной линии.Если в поперечном сечении стержня действие внешней нагрузкиприводит к возникновению лишь :е_авн,.9действующей Р= Ре1, приложенной в точке с координатами ~2, ~3, не совпадающей с центромтяжести сечения, то такой изгиб носит название внецентренпого раст.нженu.н (или сжатия) стержня.
Тогда Q1М3 = Р~2, а (6.34) примет вид= Р,М2= Р~3и(6.35)гдеF-площадь поперечного сечения. В этом случае из уравнения+ ~3 ~3 / I 2 + ~2 ~2 / I 3 = О нейтральной линии следует, что ее расстояние [50] от центра тяжести сечения r= (1/F)/V(~З/12 ) 2 +(~2/13 ) 2 и1/ Fувеличивается по мере приближения точки приложения силы Р к этому центру, т. е. нейтральная линия может как иерееекать поперечноесечение, так и находиться за его пределами[145],причем в последнем~луч~е напряжения во всех точках сечения будут одного знака. При~2 = ~3 = О напряжения в сечении распределены равномерно, что соответствует однородному раст.нжению (или сжатию) стержня.При построении ММ стержня в6.1предполагалась малость размеров его поперечного сечения по сравнению с радиусом кривизны егоосевой линии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
