Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Отсюда следует, что наряду с сохранением прямолинейного положения равновесия (С1 =О) возможны положения равновесия, соответствующие значениям knL = n1r, что отвечает значениямсилы Pn n 2 1r 2 EI3/ L 2 . Наименьшее значение Р1 = Ркр = 1r2 Е/3/ L 2 , для=которого существует отличное от прямолинейного nоложение равновесия стержня, называют nервой npumu'Чecnoй силой или эй.l&еровойси.л.ой= 1, осевая линия принимает форму полуволныnomep.11 ycmoй'Чuвocmu прямолинейного положения равновесия стержня. В случае РЕ [Pn, Рnн)[145].При этом nсинусоиды и говорят, что произошлавозмоЖно равновесие, когда осевая линия принимает формуnполуволнсинусоиды.Рас смотренное решение линейного уравнения(6.
9)не nозволяет приnотере устойчивости стержня найти наибольшее отклонение осевой204б. ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ----р----......u2-0~------------L-----------~~~--LРис.6.2линии от исходного положения. Найти зависимость этого отклоненияот значения силы Р можно из решения нелинейнаго уравненияEId2U23 d:J;2---------=12__3_/,....2( 1 + (:::)+ Pu2 =О,)учитывающего отличие от единицы знаменателя в выражении для кривизны ~ 3 . Решение этого уравнения при различных условиях закрепления и нагружения стержня (в том числе, плоского криволинейного)удается выразить через эллиптические интегралы первого рода6.2.[117].Кручение прямолинейных стержнейПусть прл.м.о.л,инейный стержень в виде тонкостенной круглой трубки, которая имеет толщинуh,средний радиусRи длинуL,на одномиз торцов нагружен ,.рутлщи.м.
.м.о.м.енто.м. Мк, а его противоположный торец жестко закреплен (рис.6.3).При деформировании трубкабудет закручиваться. Тогда каждое ее поперечное сечение (исключаязакрепленный торец), оставаясь, согласно гипотезе Берну.л,.л,и, плоскими перпендикулярным оси трубки, повернетсянанекоторый угол относительно этой оси. Естественно предположить, что угол tp поворотаhРис.6.36.2.205Кручение прямолинейных стержнейлюбого поперечного сечения пропорционален расстоянию х1 от закрепленного торца, т. е.(6.10)где<f!L- угол поворота торца,к которому приложен крутящий момент.При деформировании в элементе трубки, заключенном между двумябесконечно близкими поперечными и продольными сечениями, возникнет дефор.м.ацил сдвига, характеризуемая углом т (рис.согласно6.4),равным,(6.10),(6.11)а на гранях элемента появятся касательные напjшжени.н т.
В этомслучае напряженное состояние принято называть 'Чисmьш сдвuго.м.Для тонкостенной трубки приh/ R « 1 эти напряжения можно считать однородными по еетолщине. Из(6.11)следует, что возможнаядеформация сдвига бт= (R/L)б<f!L·Поэтомувоз.м.ожна.н работа, совершаемая напряжением т на этой деформации, составитLJбАт = 21ГRh тб1dх1 = 21ГR2 hтб<f!L·Рис.6.4оПриравнивая в соответствии с принципо.м.
воз.м.ожных пере.м.ещенийбАт возможной работе бА0= Мкб<f!L приложеиного к трубке крутящегомомента, при произвольной вариации б<рL получаем(6.12)Ясно, что(6.12)сразу следует из условия равновесия элемента трубки между ее произвольным поперечным сечением и торцом, к которомуприложен крутящий момент.Следует отметить, что при принятыхпредположениях касательные напряжения во всех поперечных сечениях трубки оказались одинаковыми, не зависящими от расстояния х1от закрепленного торца.
Однако это справедливо при условии, что наторце при х 1=Lкрутящий момент М создан за счет равномерно распределенных по нему касательных напряжений, в точности равных т.В противном случае в поперечных сеЧениях трубки, близких к этомуторцу, распределение касательных напряжений будет зависеть от особенностей, связанных с приложением этого момента. В соответствии с6. ОСНОВНЫЕ МОЛЕЛИ ПРИКЛАЛНОЙ МЕХАНИКИ206принципо.м. Сен-Венана эти особенности будут сказываться на расстоянии порядка характерного размера поперечного сечения трубки.Если материал трубки подчиняется за~ону Гу~а и имеет .модульсдвигаf.L,тот=Тогда из(6.11)и(6.13)f.L"Y·следует(6.12)МкL(6.14)'PL = f.Llp 'г де lp = 27Г R 3 h -f.Llpполярный .м.о.м.ент инерции се-чения трубки. Величинаопределяет жестпость nри пручении трубки.Благодаря однородности распределения касательного напряженияв поперечном сечении тонкостенной трубки ее удобно использовать вкачестве образца материала при экспериментальном определении модуляf.Lсдвига и зависимости т от 'У за пределами линейно-упругогодеформирования материала.
Однако при больших значениях т возможно искажение формы поперечного сечения трубки вследствие потериустойчивости. Дело в том, что напряженное состояние чистого сдвигаэквивалентно плос~о.м.у напряженно.м.у состоянию растяжения-сжатияв направлениях, составляющих угол 7Г /4 с осью трубки. При потереустойчивости на поверхности трубки возникают складки, расположенные под таким углом к оси.При кручении прямолинейного стержня в виде толстостенной кругR2, внутренним радиусом R 1 и длинойпри тех же условиях нагружения и закрепления, что и в случаелой трубы внешним радиусомLтонкостенной трубки, каждый кольцевой слой такой трубы, имеющейсредний радиусrЕ(R 1, R2)и толщинуdr, можно рассматривать(6.11) запишемкактонкостенную трубку, для которой вместоdcpr"f(r) = r dx = L'PL·Тогда при б"f(r)= (r/L)бcpLбА;= 27ГL(6.13)RнайдемJ Jт(r)б"Y(r)rdr =dx1Ог де 1; = ~ ( R~ - Rf) -с учетом(6.15)f.L];"-7; бсрL,R1полярный момент инерции сечения трубы.Приравнивая бА; и бА0= Мкб'РL,получаемМкL'PL=f.LJ; '(6.16)6.2.
Кручение прямолинейных стержнейа с учетом(6.13) и (6.15)- т(r)= Mкr/J;.207Значение(6.17)гдеw; = J;/ R2 -nолJiрный момент conpomuвлeнuJI ceчeнuJIтрубы, определяет наибольшее касательное напряжение в трубе приr = R2.Для сплошного круглого стержня, у которого(6.15)-(6.17) остаются в силе, но= 1r R~/2и w;= 1r R~/2J; и w;R1=О, уравненияследует заменить насоответственно.При увеличении Мк значение Tmax увеличивается и, согласнопри Мксдвиге.= ттw;J; =(6.17),достигает nредеда me'I'Oyчecmu Тт материала трубы приПри дальнейшем увеличении Мк область nдастичес'I'Оой дефор.м.ации будет расти в направлении оси трубы, причем ее граница,согласно(6.13) и (6.15), будет окружностью радиусом rт = TтL/(J..I/.PL)·Если материал соответствует идеадьной уnругоnдастичес'I'Оой сnдошной среде, то из равенства бАс учетом0= бАтпри произвольной вариации б<рL(6.13) и (6.15) найдемМк~21r ll'i'PLT dr+21r jTт'PLr2 dr~2rтR1Полученная зависимость Мк отI.{)Lсправедлива при измененииTтL/(R2p,) до TтL/(Rll.t).
При достижении значениясоответствующего значению rт= R1,'PL ='PLотTтL/(RIJ.L),труба воспринимает наибольший крутящий момент Mmax = 27rтт(R~- R~)/3. В случае сплошногокруглого стержня (R1 =О) Mmax стремится к значению 27rтт~/3 при'PL--tоо. Отметим, что началу пластического деформирования круглого стержня, согласномента Мк= Тт w; =(6.17),соответствует значение крутящего моТт1Т ~/2, т. е. для исчерпания несущей способностикруглого стержня из рассматриваемого материала достаточно приложить крутящий момент, на треть больший по сравнению с моментом,вызывающим начало пластического деформирования.Рассмотренные случаи распределения касательных напряжений впоперечномсеченииприкручениистержнякачественноможноуподобить распределению скорости вращательного движения идеадьнойнесжи.м.ае.м.ой жид'/'Оости в замкнутом цилиндрическом сосуде, непроницаемые стенки которого соответствуют контуру поперечного сечениястержня.При этом вектор касательного напряжения соответствуетб. ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ПРИКЛАдНОЙ МЕХАНИКИ208вектору скорости жидкости.
На таком качественном уровне можно говорить о гидро.меzаничеспой аналогии между течением жидкостии расnределением касательных наnряжений nри кручении.Если боковая nоверхность стержня с nроизвольным nоnеречным сечением свободна от касательных усилий, наnравленных вдоль его оси,то в любой точке на участках гладкого контура касательное наnряжение nри кручении стержня вокруг этой оси наnравлено по касательнойк контуру, а в точке контура, являющейся вершиной выстуnающегоугла, равно нулю. Это неnосредственно следует из условия nариости касательных наnряжений и согласуется с гидромеханической аналогией.Строгое обоснование этой аналогии оnирается на идентичность уравнений, входящих в .мате.маmи'Чес11:ие .модели (ММ) указанных процессов.Предnоложение о том, что nоnеречные сечения стержня nри кручении остаются nлоскими, для nроизвольной формы сечения несnраведливо[145].Искажение nервоначально nлоского nоnеречного сеченияназывают деnланацией.Рассмотрим цилиндрический стержень длинойnоnеречным сечением nлощадьюдиuam Ох1х2хз с реперо.м{ei},FLс произвольнымв прн.моуго.л.ьuой систе.меобразованным орта.миei, i'll:oop-= 1, 2, 3,nричем оси Ох2 и Охз являются г.л.авuы.ми ц.еuтра.л.ьuы.ми осн.ми этогосе'Чеuин.
К одному из торцов стержня nриложен крутящий момент Мк,а другой торец закреnлен так, что он не может nоворачиваться относительно nродольной оси Ох1, но его точки могут перемещаться вдольэтой оси.Угол ер поворота любого поперечного сечения зависит отрасстояния Xl этого сечения от закрепленного торца. При малой деформации примем, что(6.18)где{)- угол закручивания стержня на единицу длины, аepL-уголповорота торца, к которому приложен момент Мк.Выделим в поперечном сечении с координатой х 1 точку Р(х1,х2,хз).В результате деформирования эта точка переместится в новое положение P'(xl +щ,х2+и2,хз+из) (на рис. 6.5 показаны точкаРиточкаР{, являющаяся nроекцией точки Р' на плоскость сечения с координатой х1). Если считать угол ер малым, то О1Р{ ~ О1Р =sinep ~ер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
