Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 35
Текст из файла (страница 35)
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОЛЕЛИ ТЕРМОУПРУГОЙ СПЛОШНОЙ СРЕдЫгде то-известное в начальный момент времени t =О значениескорости изменения абсолютной температуры, а остальные функциисовпадают с введенными вус.л.ови.н(5.11),а для(5.74)Для(5.10).(5.75)справедливы граничныевместо граничных условий(5.21)имеемtл<1) (N) (дТ(N, t) - /ехр(- t- t') д2Т(N, t') dt') ni(N) =дх.JtJt*qодх ·дt'J= a(N,t)(Tc(N,t) -T(N,t)),гдеni -N Е S,направляющие косинусы внешней нормали к поверхностиограничивающей рассматриваемую областьV;а и Те-S,коэффициенттеплообмена и температура окружающей среды.В данном случае справедливы условияности разрыва, а из(5.72)(5.27)и(5.28)на nоверхпри дv =О и постоянных коэффициентахследует равенство рсе([Т] + [Ф] +ToCijktйk~)[eij])D~ = [qj]nj, из (5.70) ивторого равенства(5. 73)получим(5.77)и [qi] = 'Pij[Xj], из (5.67) с учетом второго равенства (5.73)- tТ[Ф]D~ ==О и t~[ю]D~ = Zij[T]nj, где [·]-скачок соответствующего параметрапри переходе через поверхность разрыва в направлении векторамали с направляющими косинусамиnj(см.4.4),n * нора D~- нормальнаясоставляющая скорости поверхности разрыва.Последовательно исключая в(5.77) [сщ], [eij], [ю] и [qi], а такжеучитывая непрерывность термодинамической температуры ( [Ф] =О приtт=f.
О иD~=f. 0),получаем систему линейных однородных алгебраических уравненийВнХ +В12[Т] =О,где В нВ21Х+Вт[Т] =О,матрица третьего порядка с элементами Bнik= Cijktnjnj - p(D~) fJik; В 1 2 -матрица-столбец размера 3 х 1 с элементами B12i =-2= (Cijkl- Dijkt)ak~)njD~; В21- матрица-строn размера 1 х 3 с элемен2- ГТ'.LQ Сijklakl(Т) nj,*· Вт-- -рее (D*)+,(Т)* *ft*·q• Х -вектортами в21inлij njniзначений скачков[iti]·Так как в общем случае Х =/:-О и [Т]=/:- О одновременно, то скорости распространения скачков[iti]и [Т] следуютиз условия равенства нулю определителя этой системы, что приводитв общем случае к четырем различным значениям D~. По аналогии стерминологией, припятой для ММ классической термоупругости, зна-5.6.Термаупруган среда с фазовыми переходами187чения D~ можно назвать скоростями распространения квазиупругойтермаупругой волны и скоростью квазитемпературной волны.Скорости распространения упругих возмущений и теплоты можно получить из условий det(Bн) =О и Вт= О соответственно.
Дляизотропной среды nервое условие приводит кусловия следует D~от(5.18)=(5.31), а из второгоJл(т)j(pc€t~). Отметим, что (5.74) в отличиеописывает процесс теплопроводности с конечной скоростью распространения теплоты, для анизотропной среды равной D~=л~Гninjf(pc€t~). Кроме того, (5.74) учитывает неравновесностьпроцесса аккумуляции теплоты и эффекты связанности полей температуры и деформации. Ясно, что D~ --+ оо при t~ --+ О, что присуще ММкласической термоуnругости.5.6.Термоупругая среда с фазовыми переходамиПри изменении фазы вещества (при фазовом, переходе) происходиткачественное изменение свойств вещества.
Рассмотрим фазовые переходы в -х:ристалли-ч.ес-х:о.м твердом теле (сплаве), т. е. превращениеисходной высокотемпературной фазы, часто называемой аустенитом,в низкотемпературную, называемую мартенситом, а также обратныйпереход низкотемпературной фазы в высокотемпературную.Превращения такого типа называют фазовыми переходами второго рода (вотличие от фазовых переходов первого рода, когда вещество изменяетсвое агрегатное состо.ание), характерным признаком которых является изменение типа -х:ристалли-ч.ес-х:ой решет-х:и.
Такой фазовый переходможет быть инициирован не только охлаждением или нагревом тела,но и приложеиными к нему напряжениями.Характер фазовых переходов при нагреве и охлаждении в общемслучае различен. Полагают, что фазовый переход аустенита в мартенсит начинается при температуре М8 и заканчивается при температуреМ1. Обратный переход(мартенситав аустенит) начинается при температуреAs и заканчивается при температуре А 1.At > Ms > As > Mt и Ms- Mt i= At- А 8 • В связи сВ общем случаетрудностями приопределении последних небольших количеств остаточного мартенситатемпературу А 1 принимают соответствующей объемной доле мартенсита в сплаве, равнойнита в сплаве,0,01, аравной 0,01.температураMt-объемной доле аустеПри построении .мате.мати-ч.ес-х:ой .модели (ММ) термамеханических пропессов с фазовыми переходами используем соотношения длясплошной среды с внутренни.ми пара.м.етра.м.и состо.ани.а.
Как и в4.5,188 5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОдЕЛИ ТЕРМОУПРУГОЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЫсостояние среды в окрестности любой точки М ЕVв объемеды определим четырьмя термодинамическими функциямипере.менны.ми:пииV сре( ах:тивны.ми.массовой пдотностью свободной энергии А и энтроh, тензоро.м напрлжений с х:о.мпонента.ми C7ij= C7jiи вектором пдотности тепдового потох:а с проекциями(i, j = 1, 2, 3)qi на оси Oxiсистемы пространственных х:оординат).
Аргументами этих функцийбудут реах:тивные пере.менные: тензор .мадой деформации с компонентами gij=gji, абсодютнал температура Т, ее градиент с проекциями{)i = дТ/дхi и внутренний параметр состояниях Е[0, 1],равный объемной доле мартенсита в сплаве. Тогда вместо (4.3~) запишемА= A(c=kt,T,rJk,X), h = h(c=kt,T,rJk,X), }C7ji: C7ji(c=kt, т, rJk, х),qi = qi(c=kt, т, rJk, х),k,l-1,2,3.Использовав преобразование Лежандра и= А+ Th, где ивая плотность внутренней энергии, с учетом(5. 78)(5.78)-массоприведем уравнение(4.11) зах:она сохраненuл энергии к виду(5.79)где р-пдотность среды, припятая неизменной в процесе фазовыхпереходов; qv- объе.мнал ыотность мощности внутренних источников теплоты, () = д(·)/дt.
Вычитая (5.79) из локальной формы (4.19)неравенства Кдаузиуса - Дюге.ма, получаемдА -(7i· ) ii·-p (дА·дА ·дА . --~о.qi дТ- ( р-- + h ) T-p-rJi-p-x33дgijдТдrJiдхТ дхiВ силу произвольпасти значений Ёij, Т иiJi отсюда следуют достаточные условияC7ijдА=р-дgij,дАдrJi =О.,.(5.80)реализации фазового перехода как простого тер.мо.механичесх:ого процесса.Примем, что малы как полная деформация (Jgijl« 1), так и температурная и фазовая деформации, определенные тензорами с компонентами/~')= i~')и g~x)= g(.~)соответственно. Отметим, что /~"')=О приtJ}tt}}tt}температуре То естественного состолнил, а &~J) / дt = О при х = О.Термоупругая среда с фазовыми переходами5.6.189В линейном приближении €~J) = а&х)х, где а~])- компоненты тензоракоэффициентов фазовой деформации.Представим первое равенство(5.78)в виде(5.81)где CiJkl=CJikl=CiJlkуnругости; В(Т, х)=CktiJ- компоненты тензора коэффициентовчасть свободной энергии единицы массы тела,-зависящая: от Т и х, причем В(То,О) =О.
Отметим, что при E"ij =Оиз(5.81)следует А= В,т. е. при отсутствии полной деформациисвободная: энергия тела зависит лишь от Т и х.Из(5.81)и первого равенства(5.80)дифференцированием получим_ S(Т)(х)Sijklakl + E"ij + E"ij , где ijkl0 тсюда E"ijaij = скопоненты тензора коэффициентов nодат.ливости. В случае изотроп(Т)(х))ijkl E"kt- € kl - € kl ·(ного материала в этих равенствах следует использоватьПодставив(5.80)в(5.79)(5.5)и(5.6).и отбросив слагаемые, содержащие линейную и квадратичную зависимости h иh отE"ij, €;]')и €~) и имеющиеболее высокий порядок малости, получимгде 8v = -р~~Х - диссиnативнал футщи.н. Если принять, что qi == -л~J) ::,где л~?= л~J)(Т,х)- компоненты тензора теn.лоnроводности, придем к уравнению теnлоnроводности в виде·..
О€~гд ( \j(Т) дхjдТ ) + qv + 8v,реЕТ- pmEx + TCijktE"kt дТ = дхiд2Вгде сЕ= -Т дТ 2-ной дефор.м.ации; тЕ(5.82)удельная: массовая: теn.л.ое.м.кость nри nостолн-=д2ВТ дТдх -удельная: массовая: конфигурационнаятеплоемкость при постоянной деформации (количество энергии, затрачиваемой на фазовый переход единицы массы в единицу времени припостоянной деформации)[118].Отметим, что в(5.82)второе слагаемоев левой части и последнее слагаемое в правой части отличны от нуляпри t Е[ts, t1],где t 8 и t1- моменты времени соответственно начала иокончания фазового перехода.190 5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОдЕЛИ ТЕРМОУПРУГОЙ СПЛОШНОЙ СРЕдЫКак следует из(5.82),характер изменения внутреннего параметрасостояния х может существенным образом влиять на процесс теплоnроводности в зоне фазового перехода.
Для определенности рассмотрим переход мартенсита в аустенит, происходящий при Т Е [А 8 ,Кинетическое уравнение для определения х запишем в виде t~ хгде t~ -вре.м.л релах:сации параметра х, ах= Х!= 0,01=At]·х- х,-его установившееся значение, равное объемной доле мартенсита в сплаве кмоменту окончания фазового перехода при Т=А 1. Из этого уравненияследует, чтоt-t )x(t) = х 1 - (х 1 - xs)exp ( -ТхгдеXs = 0,99 -,объемная доля мартенсита при(5.83)t = t8 •Влияние абсолютной температуры и скорости ее изменения наразвитие фазового перехода можно учесть в явном виде, если принять1х(М, t) =Т(~,~ ~ А 1 , М Е V, t Е [t8 , ttJ· Тогда вместо (5.83) получим_ 1(tt-t')ax(M,t')ехр -тx(M,t) = x(M,t)-дt',dt.(5.84)хt.Более сложным вариантом кинетического уравнения, используемымпри построении ММ в синергетике и механике разрушения, являетсяуравнение t~x = х(х- х), решением которого при х = Х! будет(5.85)-(М, t)А, , М- T(M,t)ААа при х.-1ЕV, tx(M,t)=(~+ exp(-~(M,t)) lexp(f(M,t~)dt')Xstxt.гдеf(M,t) =t~t1х t.x(M,t')dt'.-l,(5.86)5.6.191Термаупругая срма с фазовыми переходамиДля описания фазового перехода аустенита в мартенсит при Т ЕЕ [М,,Ms]необходимо в(5.83) и (5.85) принять Xt = 0,99 и Xs = 0,01,а в (5.84) и (5.86) положить x(M,t) = (Ms- T(M,t))j(Ms- Mt) и Xs == 0,01.Влияние напряженно-деформированного состояния на процессфазового перехода в первом Приближении можно учесть, если считатьтемпературыMf, М8 , At и А 8 зависящими от ~ij·(5.83)-(5.86) можно провести анализ кинетики фазовыхПри помощипереходов в сплавах с эффектом памяти формы и оценить влияниеэтого явления на процесс теплопроводности притело с однородной по объемуVt[t 8 , tt]·ЕРассмотримтемпературой Т и положим бv =О иqv =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
