Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Посленахождения в (5.41) А1 и Аз из граничных условий O"rrlr=a = -ра иO"rrlr=b = -рь получаемствуРаа2(O"rr =2Ь )1 - Т2Ь2Раа2 ( 1+~) -рьЬ2 ( 1+ ~)2-2а )Рь ь ( l- Т2-а2'а'Р'Р=Ь2-а2Поскольку, согласно (5.7), напряжение в осевом направлении O"zz•== v(arr + а'Р'Р) + E€zz = 2v(paa2 - рьЬ2 )/(Ь2 - а 2 ) + E€zz, то O"zz = constпри €zz = const. В частности, если осевое перемещение торцов трубыравно нулю, то €zz =О и O"zz = 2v(paa 2 - рьЬ2 )/(Ь2 - а 2 ). В этом случаеиз (5.44) находим{1- v- 2v 2)(paa2 - рьЬ2 )r 2 + {1 + v)(pa- Рь)а 2 Ь2Ur =Е(Ь2 - a2)r05.3. Интегральная и вариационная формы моделей термаупругостиПри известном значении Р из (5.39) следует O"zz = 1r(b2(5.44) -Urр_169а 2 ), а из=и~- E1r(~!;= а 2 ). Ясно, что для трубы со свободнымиторцами Р =О, а для трубы с днищами Р = 1Г(раа 2 - рьЬ2 ).На распределение напряжений от действия давления следует наложить распределение температурных напряжений, которые при осесиметрячном температурном полешениямиT(r)- То= '!9(r)определяются соотно[26]J2rЕе/Т)8(r) = Ь2_а-д(r')r' dr',аv8(b)- Еа(Т)-д(r)1-vЕсли известно значение Р, то C:zz находят из (5.39) при о-зз = O"zz5.3.+ o-~z·Интегральная и вариационнаяформы моделей термаупругостиДля несвязанной задачи тер.м.оупругости один из вариантов интегра.л.ьной фор.м.ы .м.ате.м.атичес?Сой .м.оде.л.и (ММ) основан на обобщениипринципа воз.м.ожных пере.м.ещений на случай деформируемого тела.Пусть иапряжеииое состояние тела, занимающего объемрый ограничен поверхностьюS,V,котохарактеризуют ?Со.м.поиеиты O"ji(j, i == 1, 2, 3) теизора напряжений, определенные в пря.м.оуго.л.ьной систе.м.е?Соординат Ох 1 х2хз.
В положении равновесия тела эти компоненты удовлетворяют уравиеиия.м. равновесия средыдo-ji(M) + bi(M) =О, М Е V,(5.45)дхjкоторые следуют из уравнений движения среды(3.62),если среданеподвижна относительно выбранной системы координат. В(5.45) biOxi вектора Ь п.л.отности объе.м.иых си.л.. Умножив(5.45) на проекции 6ui(M) вектора 6u(M) возможного перемещенияточки М Е V тела и проинтегрировав по V, запишемпроекции на осидo-ji + Ьi) 6uidV = Jд(о-jiдщ) dVJ(дх·v дх·vJJ-д6и·~о- .. __Jv)t дх.JdV +Jvb·6u·dV=О~~. (5.46)5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОдЕЛИ ТЕРМОУПРУГОЙ СПЛОШНОЙ СРЕдЫ170Используя теорему Остроградсх:ог.о -Гаусса и(3.47),получаемJv д(иt~~щ) = sJUjinjбиidS = sJPiбиidS,dVгде щ(N) ипроекции на оси припятой системы координатPi(N) -единичного вектораn(N)внешней нормали к поверхностир плотиости поверхностных сил в окрестности точкивместо(5.46)NSЕи вектораТогдаS.запишем(5.47)С учетом симметрии тензора напряженийКоши(3.12)(aij = aji)и соотношенийимееми··дбщ = Uji (дбиi + дбщ) =и··бе··1зz дхjгдеeij(5.47),дхj2дхi~з(5.48)~ '-компоненты тезора малой деформации.
Подставляя(5.48)вполучаем обобщение принципа возможных перемещений в виде1 бeij 1 биidV =UijvbidV +vИнтеграл в левой части(5.49)j Pi биi dS.(5.49)sхарактеризует работу, совершаемуюнапряжениями на возможных деформациях. Если к телу в К точкахMkЕV = V U S (k = 1, К) приложены(5.49) следует добавитьправую частьбuk- возможное перемещение точкиПри использованиисосредоточенные силывозможную работуFk, то вFk · бuk, гдеMk·bi(M) (М Е V) и Pi(N)~ S поверхности S телазаданы х:ииематичесх:ие г.раиичиые условия вида (5.11), то бщ(N) =О,N Е Su, и в (5.49) S следует заменить на Sp = S \ Su.Поскольку (5.49) получено в результате иреобразования уравнений(NЕS)(5.49)зависимостиобычно известны.
Если на частиSuравновесия, то обобщением принципа возможны~ перемещений является утверждение, что для равновесия деформируемого тела необходимо,чтобы возможная работа всех внешних сил была равна работе, совершаемой напряжениями на возможных деформациях. Можно доказать идостаточность этого принципа для равновесия деформируемого тела.Действительно, если предположить наряду со справедливостью(5.49)отсутствие равновесия, то после преобразований, обратных по отношению к выполненным при получении(5.49),придем к противоречию.5.3.
Интегральная и вариационная формы моделей термаупругости171Если на деформируемое тело наложены идеальные связи, то (каки в случае абсо.л.ютно твердого те.л.а) применение принцила возможных перемещений позволяет не рассматривать реакции таких связей.Важной особенностью этого принцила является его справедливость дляпроизвольнаго закона деформирования материала тела.Если для описания деформирования использовать за ?Сон ЛюамеJtЯНеймана и выразить в(5.49) (Jijпри помощи(5.3),то получим интегральную форму ММ термаупругости для линейной анизотроnнойтермоуnругой среды. В этом случае(5.49)можно рассматривать какусловие стационарности ?Свадрати-ч.ного фун?СционалаJJVSp[36]J[щ] = Ф[щ]- biиidV- PiщdS,(5.50)где(дщ дui _ф[Ut·]=~~С··gt]mn ~ .
+ ~ .и~vЗдесьCijmn,т,и~2EtJ~'!'))(дит~иХnдиn+ иХт~_ 2 (T))dvEmn·компоненты тензора ?Соэффициентовn = 1, 2, 3, -уnругости материала тела; e~J)- компоненты тензора темnературной деформации. В случае .линейной изотроnной термоуnругой средыс учетом(5.5)первое слагаемое правой части(5.50)примет видФ(иi]= j((~+~)(eтт-3e(T)) 2 +J.teijeij)dv,(5.51)vгде Л и J.t - ?Сонстанты Ламе; еСТ) - температурная деформация;eij = Eij- Emm8ij/3 - ?Сомnоненты девиатора деформации, а dij си.м.во.л Кроне?Сера.
Подынтегральные функции в функционале Ф определяют объе.м.ную n.лотность nотекциадькой энергии деформации такой среды.В частном случае отсутствия температурной деформации[30], достигающийui(M) (М Е VUS) значения,(5.50)переходит в фукtщиокад Лагракжана истинномраспределении перемещенийсоответствующего минимуму nотенциальной энергии в положении равновесия. Приналичии температурной деформации J[щ] также достигает минимумана истинном распределенииного распределения(3.12)и(5.49)ui(M).
Действительно, для любого возможui(M) = ui(M) + бщ(М) из (5.50) и (5.51) с учетомимеем6J[8ui] = J[ui] - J[ui] = j ( х( 8eii) 2 + J.t дeij дeij) dVvгде х = Л+2J.t/3 -.модуль объе.м.ной уnругости.~ О,(5.52)172 5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОдЕЛИ ТЕРМОУПРУГОЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЫФункционалoJ[uiJв сочетании с его условием стационарности(5.50)=О составляет вариационную фор.м.у ММ термаупругости длялинейной термаупругой среды. Этот функционал допустимо рассматривать на непрерывных и кусочно дифференцируемых по пространствеиным координатам распределениях перемеrцений, удовлетворяюrцихкинематическимграничнымусловиям,выполняюrцимдлянегороль главных условий. Для анизотропной термаупругой среды из егоусловиястационарностиследуютниях как частный случай(5.8)уравненияравновесиявперемеrцепри отсутствии инерционных сил исиловые граничные условия в виде(5.12),являюrциеся для этого функционала естественны.м.и условШI.м.и.Вариационная: форма ММ термаупругости в случае областиVсложной формы позволяет провести приближенный численный анализ припомоrци метода конечных элементов128,132].как(9, 21, 25, 36,43-45,61, 100, 102, 124,При этом значение ощ(М) (М ЕлокальнуюпогрешностьVUSp) можно рассматриватьотносительноистинногораспределенияперемеrцений.
Для оценки среднех:вадраmи'Ч.ной nогрешности введемвеличинуZ(oui) =JouioщdVvи, поделив на нее левую и правую части(5.9),запишемПравая: часть этого равенства является функционалом, минимальноезначение которого равно наименьшему собственно.м.у зна'Ч.ению XI оnератора задачи для системы однородных дифференциальных уравнений~ (J.L(дoui +дощ))+~ (л дощ)+ хощ =дхjдхjдхiдхiдхjс однородными граничными условиями ощ ( N)( дощдощ )- + -( J.L дхjдхiна участкахSpповерхностиS.0= О при N Е Su и, дouk _. )_+ л--иi3· n 3· дхk0Тогда nолучим(5.53)5.3.Интегральная и вариационная формы МQЦелей термаупругости173Для достоверной оценки сверху значения Z(щ) достаточно располагать приближенными значениями Х~ ~ Х1 и дJ'[ui] ~ дJ[ui]· Значение х~ можно найти исходя из общих свойств собственных значений (см.
П2.4), а для определения значения дJ'[ui] построим фуиr;;циоиал, альтериативиый по отношению к(5.50).С этой целью, используясимметрию тензора напряжений, теорему Остроградскогосоотношения Коши-Гаусса ипреобразуем интеграл(3.12),(5.54)В предположении, что напряжения удовлетворяют уравнениям равновесия(5.45)и силовым граничным условиямстатически возможными,(3.47),т. е. являютсяа перемещения удовлетворяют кинематическим граничным условиям(5.11), из (5.54) с учетом (5.50) получимфункционалJ[щ,uij] = Ф[щ]-1O"ij€ijdVV+1O"ijn/iiidS,Suчто позволяет после представления при помощи(3.12) и (5.2) перемещений и деформаций через напряжения записать функционалI[uij] =-Фl[uij] +1O"ijn/iiidS,(5.55)Suв которомгде Sijmn -компоненты теизора r;;оэффициеитов податливости материала тела.
Для изотропной термаупругой среды с учетом(5.55)вполучаемф 1 [O"tJ··J =-/((O"mm)18х2+ SijSij+ O"mm€ (Т)) dV'4J.Lvгде Sij(5.6)= O"ij- O"mm8ij/3- компонентыдевиатора напряжений.(5.56)174 5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОдЕЛИ ТЕРМОУПРУГОЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЫФункционал(5.55)допустимо рассматривать на статически возможных распределениях напряженийUij (М),чае отсутствия температурной деформацииМ Е V U S. В частном слу(5.55) переходит в фунпцuонй./& Kacmuлuaнo[30], достигающий максимума на истинном распределении напряжений a;j(M), М Е V U S. При наличии температурной деформации J[aij] также достигает максимума на распределенииa;j(M).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
