Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 29
Текст из файла (страница 29)
5. Термодинамический подход к построению моделейТогда влияние состояния этой частицы в момент временистояние в момент времениtr<tна сос учетом npuн:цuna затухающей nа.м.нтиможно учесть при помощи функции<p(t, r) = т(t- r). <;>(r),где т(s)векторная функция, координатные функции которой ограничены приs = t- r>О, положительны и монотонно убывают по мере увеличения <<срока давности», выполняя роль весовых коэффициентов влиянияпредшествующих значений реактивных переменных и внутренних параметров состояния.
Влияние всей предыстории изменения состоянийбудет отражать функцияФ(t)=1t1t<p(t,r)dr=-001 (t-r)·<;>(r)dr.(4.41)-00Применительно к свободной энергии, зависящей от совокупностизначений реактивных переменных в текущий и предшествующие моменты времени, можно записать А= А(Ф(t)), а для ее полной производной по времени -ddA =t---dФtdФd~ ddФ = d~(т(O)·<;>(t)+1дт(~-r)tt·<;>(r)dr).(4.42)-ооТогда вместо(4.24)получимнеравенствовыполнение которого является необходимым условием реализуемостирассматриваемого термамеханического процесса в сплошной среде спамятью.Отличие третьего пути Применепия термодинамического подходак построению ММ термамеханических процессов от первого пути состоит лишь в том,что в качестве аргументов активных персменныхдополнительно используютных (например,скорости изменения реактивных персменdLkm/dt, dT/dtи т.д.).
В этом случае говорят о ММпроцессов, протекающих в сnлошной среде споросmного тиnа.Три рассмотренных пути построения ММ представляют большоеразнообразие возможностей при моделировании реальных термамеханических процессов, протекающих в сплошной среде. Наиболее широкие возможности обеспечивает использование втьрого пути, однако егонедостаток состоит в том, что за математическим формализмом не всег да ясно видно физическое содержание моделируемых явлений.1524.ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИНЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВФормально можно показать, что первый и третий пути являютсяболее простыми вариантами второго пути, т.
е. среды с внутреннимипараметрами состояния и скоростного типа можно рассматривать какчастные случаи среды с памятью. Действительно, если в(4.41)функцию т(t- т) заменить функцией тоб(t- т), где вектор то образованпостоянными весовыми коэффициентами влияния реактивных переменных и внутренних параметров состояния, а б(t- т)- фу'Н:к:цшс Диршк:а,то получим Ф(t)::: т· '{)(t), что соответствует <<нулевой памяти». Тогда аргументом массовой плотности свободной энергии будет функциято· '{)(t), явно зависящая лишь от текущих значений этих переменных ипараметров. Если же принять координатные функции векторной функции т(s) достаточно быстро убывающими при 8 >о, то в линейномприближении получим [67] т(s) = тоб(s) +т 1 d~~s), что отвечает <<бесконечно короткой памяти>>.
Тогда, согласно(4.41),аргументом массовойплотности свободной энергии будет то· t.p(t) + т 1 · d~~t), что соответствует математической модели среды скоростного типа.5.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИТЕРМОУПРУГОЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЫСплошн.ую среду, в которой при внешних механических воздействияхвсостояниипокоянарядусн.ор.малън.ъшин.апряжен.ия.мимогутвозникать и -х:асателън.ые н.апряжен.ия, в механике принято называтьтвердым телом. Если эти воздействия не приводят к возникновениюдеформации, то говорят об абсолютн.о твердом теле, а в противномслучае- о деформируемом твердо.м. теле. Среда обладает свойством уnругости, если она после снятия механического воздействиявозвраuцается в первоначальное состояние (твердое тело полностьювосстанавливает свои размеры и форму).Помимо механического воздействия среда может испытывать и тепловое воздействие, которое приводит к Измен~нию ее температуры,что вследствие теплового расширения вызывает появление темnературпой деформации.
В этом случае при сохранении средой свойстваупругости принято говорить о тер.м.оуnругой сnлошной среде. Мате.мати-чес-х:ие .модели такой среды широко используют в инженерныхприложениях,поскольку большое количество реальных техническихустройств в процессе изготовления, испытаний и эксплуатации подвергается совместным механическим и тепловым воздействиям.
Приизменении температуры среды во времени процесс ее дефор.мирован.ияназывают пеuзотер.м.ичеспим.5.1.Классическая термоупругостьРассмотрим деформируемое твердое тело- тер.моупругую сплошн.ую среду, имеющую хотя бы одно естествен.н.ое состоян.ие, в которомотсутствуют напряжения и деформации, а температура во всех точкахV, ограниченныйV тела задает радиXi(M) (i = 1, 2, 3) в пря.моуголън.ойодинакова.
В этом состоянии тело занимает объемповерхностьюS,а положение любой точки М Еус-ве-х:тор х(М) с координатамисистеме -к;оордин.ат Ох1х2хз.Пусть в начальный момент времениt=Осреда в естественном состоянии имеет абсолютн.ую температуру То=const.При отклонениитемпературы Т(х, t) от значения То в теле возникают те.мпературн.ыедефор.мации, определяемые тепзором темnературпой деформации -е<ТJ с -к;о.мпон.ен.та.ми е~?, i, j= 1, 2, 3.Будем полагать, что связь154 5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОЛЕЛИ ТЕРМОУПРУГОЙ СПЛОШНОЙ СРЕЛЫмежду этими компонентами и приращением дТ= Т(х, t)- Толинейнаи имеет вид(5.1)где a~J) -компоненты тенэора а(Т) второго ранга, называемоготен.зором поэффициен.тов темnературкой деформации. Также линейной будем считать связь между компонентаминаnряжений и компонентамирую с учетом(5.1)C:ijтенэораUijuтенэора е .м.алой дефор.м.ации, котои nравила су.м..м.ировани.н по одинах:овы.м.
индех:са.м.представим в видеC:ijили е== Sijklakl + a~J) дТ,S · ·u + а(Т) дТ,k, l= 1, 2, 3,(5.2)где Sijkl -компоненты тенэораS четвертого ранга, называемого тен.эором поэффициен.тов nодатливости. При таких предположениях сплошную среду называют лин.ейн.ойтермоуnругой. В изотермических условиях, когда в(5.2) дТ =О,сплошную среду считают лин.ейн.о-уnругой.
При этом c:~j)-компоненты тен.зора е(е) уnругой деформации. Совокупность значенийaijиC:ijхарактеризует н.аnр.llжен.н.о-деформирован.н.ое состо.llн.иетакой среды.Использование тензора малой деформации предполагает, что эйлерово и лагранжево оnисани.н движени.н сплошной среды эквивалентны (см.3.2).При этом считают, что положения частиц сnлошнойсреды в начальной и ах:туа.л.ьн.ой х;онфигураци.нх совпадают, т. е. Xi= ai,гдеai -=.материальные х:оординаты частицы.
В этом случаеполная производнаяd( ·) / dt по времени t совпадает с частной производной д(·)/дt, а плотность р не зависит отt.Эти допущения, иногдаобъединяемые термином nрин.циn н.а-чальн.ыz размеров[145],лежатв основе построения .м.ате.м.атичесх:их .моделей (ММ) так называемойпласси-чеспой термоуnругости.Если при изменении температуры среды в ней не возникает напряжений, то из (5.2) следует, что Eij = a~J) дТ, т. е. в силу симметриитензора е тензор а(Т) также симметричен. Тензор а четвертого рангас компонентами Cijkl, удовлетворяющими (1.13), наЗывают тен.зоромпоэффициен.тов уnругости. Умножая обе части (5.2) на компоненты этого тензора, получаем соотношениявыражающие запон.
Дюа.м.еЛJl- Нейман.а.5.1.155Классическая термаупругостьТензоры §и С можно соnоставить с симметрическими матрицамиS и С шестого nорядка (см. 1.6), имеющими в _.?бще~ случае по21 независимому элементу. Поэтому и тензоры S и С имеют неболее 21 независимой комnоненты и характеризуют общий случайаиuзотроnиой лииейиой тер.м.оуnругой сnлошной среды.Еслиnри этом темnературная деформация отсутствует, то среду называютаиuзотроnиой лииейио-1Jnругой.Значения комnонент тензора С (и элементов матрицы С) зависятот ориентации осей выбранной системы координат.Если nоворотомсистемы координат симметрическую матрицу С удается nривести квидуС1зС2зСззооос12С1зс12с22С2зоооооооооС44ооооооCssоооооосббСпС=(5.4)т.
е. число иенулевых независимых элементов этой матрицы равно9,то в этом случае среду называют линейной термауnругой ортотроnиой, а соответствующие координатные оси- главиы.м.и ос.н.м.и ортотроnии.с44= Css =В частном случае Сп= С22с66 =(Сп-CI2)/2=Сзз, С12=С1з=С2з иимеем линейно-уnругую uзотроnиуюсреду, уnругие свойства которой зависят всего от двух независимыхnараметров, обозначаемых Л= С12 и 1-l =(Сп- С12)/2 и называем~поистаита.м.и Ла.м.е. В этих обозначениях комnоненты тензора Сдля изотроnной среды nринимают вид(5.5)где Iijkl =12 (бik бjl + бil бjk)- комnонентытого ранга; бij -едини'Ч:nого тензора 'Четвер-си.м.во.л. Кроне-к:ера. При отсутствии темnературнойдеформации говорят о лииейио-1Jnругой uзотроnиой среде.В случае изотроnной линейной термауnругой среды(5.6)В инженерных nриложениях148]1-l отождествляют с .м.одуле.м.
сдвига [113,[145]): G = р, а в качестве(.м.одуле.м. уnругости второго родадругого независимого nараметра часто исnользуют .м.одуль nродольной уnругости[113, 148](модуль уnругости nервого рода[145],или156 5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОдЕЛИ ТЕРМОУПРУГОЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ.моду.л.ь Юнга) Е. Эти модули и константы Ламе связаны соотношением Е= 2G(1 +v) = J.LC~:~), где v - поэффициент Пуассоиа.В некоторых случаях в качестве двух независимых параметров удобно использоватьGимодуль объе.мной уnругостивсестороннего сжатшr) х =3>.;шение всестороннего давления р к[113, 148](модуль= 3 ( 1 ~ 2v), вводимый как отнообъе.мной деформации ~v = ~ii•21J.взятое с обратным знаком.Вместо(5.1)для изотропной линейной термаупругой среды получим~~J) = а(Т) D.Tбij, где а(Т)- те.м.пературный коэффициент .л,инейногорасширения.
Тогда с учетом температурной деформации обобщенныйэапон Гупа примет виде··=~зUij(1 + v ) ЕV-Ukkб··+аЕ~з(Т)D.Тб·~з.·(5.7)Если подставить(5.3) в уравненuя движения (3.62), то с учетом (3.12)и симметрии тензора С получим уравнения движения среды вnере.мещениях(5.8)где щ ипроекции вектора и пере.м.ещенuя и вектора Ь п.л,отностиbi -объе.м.ных си.л, на оси координатсреды из(5.8)Oxi.Для изотропной, нонеоднороднойследуют уравнениякоторые в случае однородности изотропной среды переходят в уравнения Ла.ме(5.9)В качестве ншча.л,ьных ус.л,овий для уравнений в перемещениях обычно задают в теле векторные поля перемещений U 0v 0 (M)(М ЕV)в начальный момент времениui(M,O)ПоверхностьS= ui(M),i.ч(М,О)t =О,= v'j(M),тела может иметь участкиSu~(M)М ЕS,и скоростейпоэтомуV.(5.10)на которых могутбыть заданы так называемые пине.матичеспие граничные ус.л.овия(5.11)5.1.где иiКлассическая термаупругость157проекции на оси координат заданной векторной функцииu(N, t) персмещения точек поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
