Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Через эти параметры можно выразить все остальные при помощи некоторых определяющих уравнений.Выбор базисных параметров не является однозначным. Среди параметров состояния можно выделить реаптивные nере.менные, характеризующие реакцию среды на внешние воздействия, и аптивные, характеризующие процессы, порожденные этими воздействиями[58, 108].Каждое активное переменвое связано с реактивными при помощи определяющего уравнения. При этом также существует и обратная связь,т. е. каждое реактивное переменвое зависит от активных переменных.4.134ОСНОВЫ ТЕРМОдИНАМИКИНЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВВ соответствии с npuнцunoм nрuчuнностu любое активное переменвое может зависеть от настоящих и прошлых значений реактивныхпеременных, но не от их значений в будущем.Согласно npuнцuny равноnрuсутствu.н, если какая-либо величина входит в одно из определяющих уравнений в качестве везависимогопеременного,тоона можетприсутствоватьи в остальныхопределяющих уравнениях.
Прuнцun объептuвностu требует сохранения вида определяющих уравнений при произвольных вращении итрансляции в пространстве и во времени тела, рассматриваемого какабсолютно твердое. Смысл npuнцuna .лопа.~&ьностu заключается втом,что значения активных переменных и эволюционные уравнениядля внутренних параметров состояния системы в окрестности рассматриваемой точки зависят лишь от значений реактивных переменных вокрестности этой точки. Отказ от принципа локальности приводит кболее сложным, нелокальным моделям сплошной среды.Прuнцun затужающей nам.нтu гласит:более отдаленные впрошлом состояния термодинамической системы слабее влияют на значения активных и реактивных переменных в данный момент времени.
Согласно npuнцuny доnустимости все допущения, связанныес определяющими уравнениями и уравнениями эволюции внутреннихпараметров состояния, должны удовлетворять законам сохраненШI физических субстанций и ограничениям, следующим из второго закона тер.модина.мики. Любая изолированная термодинамическая системаимеет по крайней мере одно естественное состо.ннuе, в которомможет находиться неограниченно долго, что составляет суть так называемого нулевого запона термодuнамuпu.4.2.Закон сохранения энергииПрименительно к произвольному объемуVсn.л.ошной среды в актуа.л.ьной конфигурации запон сожраненu..ll энергuu (или nервыйзапон термодuнамuпu) гласит:скорость изменения во времениtполной энергии Е* тер.моди11.а.мической системы равна сумме .мощностиQo:Wрдействующих на эту систему механических сил и скоростейизменения всех других видов энергии, т.
е.(4.1)В общем случае скоростиQо:представляют собой мощности тепловой,электромагнитной, химической и других видов энергии, поступающейв данную термодинамическую систему.1354.2. Закон сохраненИ.Il энергииВ прикладных исследованиях часто приходится рассматривать взаимные превращения механической энергии и теплоты, что характернодля так называемого тер.мо.меzанuчеспого nроцесса. Поэтому безпотери общности среди всех величинQавыделим лишь мощностьтепловой энергии, приобретаемой системой. Тогда(4.1)Qпримет вид(4.2)гдеQ= jqvdV- Jq·ndS= jqvdV- jqinidS,vЗдесьsqv -vnото".а с проекциями Qi на осиni -(4.3)объемная плотность мощности внутренних источников(или стоков) теплоты, Втfм 3 ; q проекции на осиповерхностиi=1,2,3.sOxiвектор nлотности теnловогоnр.н.моугольной системы ".оординат;Oxiединичного вектораограничивающей объемS,nвнешней нормали кV.Полная энергия термодинамической системы помимо ".инетичес".ойэнергииК* = ~j pv · v dV,или К*=~PVjVjdV, j= 1, 2, 3,(4.4)vvгде росиJ- nлотность среды; v Oxj, включает зависящуювектор скорости с проекциями Vj наот nараметров тер.модина.мичес".огососто.нни.н системы внутреннюю энергиюИ=J(4.5)pudV,vгдеи-массовал nлотность внутренней энергии, Дж/кг.
При записи(4.4)не учтен возможный вклад в кинетическую энергию энергиивращения частиц среды, поскольку предполагаем, что .моменты, расnределенныеnoобъему иnonоверхности, отсутствуют.Для мощности механических сил запишемW? = J b·vdV + J p·vdS = Jvгде Ь и р проекциямиsbiщdV + JvPiVidS,(4.6)sвекторы nлотности объемных и nоверхностных сил сbiиPiсоответственно. Тогда(4.2)с учетом(4.3)-(4.6)4.136ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИНЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВможно представить в виде~~ ~щщdV + :t1 pudV=vv= 1biщdV + 1 PiщdS+ 1vУчитывая(3.60),sqvdV- 1 qinidS.vsиреобразуем слагаемые в левой части(4.7):d 1 pudV = 1 р dudt dV.dtvВторое слагаемое в правой части(3.47)и фор.м.улы Остроградского(4.7)-(4.7)(4.8)vиреобразуем с учетом(3.11),Гаусса к виду(4.9)поскольку свертка си.м..м.етричного тензоратензоро.м.W равна нулю(см.
П1.2).uсантиси.м..м.етричны.м.Применив формулу Остроградского-Гаусса к четвертому слагаемому в правой части(4.7)и подставивОтсюда, учитывая уравнения(3.62)(4.8)и(4.9)в(4.7),запишемдвижения среды, получаем интегральную формулировку закона сохранения энергииJ(dudtр-- ( 7 .. \f;·J~ ~Jдqi -qv )+дхidV =О'(4.10)vа в силу принципа локальности-локальную формулировку этогозакона в виде уравнен.и.н nереноса эн.ергииили(4.11)4.3.где\1 х =аах;ei; ei -Второй закон термодинамики137орты репера системы пространственных х:оор-динат.
К дивергентной фор.м.е представления этого закона(4.12)или а;;+ 'Vx · (€*v-u · v + q)- Ь · v- qv =О,где€* -объемнаяплотность nо.л.н.ой энергии, можно перейти, если использоватьи(3.32)(3.63).В .м.атериальиых х;оординатах щ закон сохранения энергии приметвидdudLij дqfоРо dt = Tjidt- даi +qv,или РоdudtdL t"7оо= т~ · ·dtv а· q + qv,иой х:онфигураи,ии; Т иL-где Ро -плотность среды в ишч.аль-тензор Пиолы -тензор х:оие'Чной дефор.м.аи,ии с компонентамино;t7vа=а-аа;.
.J i; J i -~тq 0 = J* q ·Н -(4.13)Кирхгофа и лагранжевTji и Lij соответствен-орты репера системы материальных координат;вектор плотности теплового потока с компонентамив начальной конфигурации,ный градиент дефор.м.аи,ии;4.3.J*- лх;обиаи (3.6),qv = J*qv."ТН-qfпространствен-Второй закон термодинамикиСтепень охлаждения или нагрева тер.м.одина.м.и'Чесх:ой систе.м.ы характеризуют те.м.nературой. В классической термодинамике понятие температуры вводят для состояния тер.м.одина.м.и'Чесх:ого равновесил системы, постулируя, что две системы, каждая из которых находится в равновесии с третьей системой, находятся в равновесии и междусобой.
Любая из этих трех систем может играть роль термометра, который определяет температуру в пекоторой удобной, но, вообще говоря,произвольной шкале. Все имеющиеся экспериментальные данные свидетельствуют о том, что при любом масштабе шкалы используемоготермометра существует температура, ниже которой никакая термодинамическая система не может быть охлаждена,т.
е. температураограничена снизу. Если точная нижняя грань припята за нуль, то температуру Т называют абсо.л.ютн.ой. Шкала абсолютной температурыне зависит от свойств материи, причем для любого масштаба этойшкалы Т> О.Основной единицей измерения абсолютной температурыявляется кельвин (К).1384.ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИНЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВНаряду с абсолютной температурой фундаментальным параметромлюбой термодинамической системы считают энтроnию Н-термодинамическую функцию состояния системы, характеризующую мерудиссипации энергии, ДжjК. В классической термостатике приращение энтропииdH= дQ /Тполагают полным дифференциалом( дQ -бесконечно малое количество теплоты, получаемое термодинамическойсистемой при абсолютной температуре Т). Тогда для системы, совершающей бесконечно медленно циклический обратим.ый терм.одинам.ичес~ий процесс, справедливо равенствоfд~ =0.Понятие энтропии обобщено на необратим.ый терм.одинам.ичес~ий процесс, для которого[108]вНв-Нл>/дQТ'(4.14)Апричем интегрирование ведется вдоль любого пути, связывающего состояния А и В.
Но введенное таким образом понятие энтропии применимо к исследованию ограниченного класса термодинамических явлений,поскольку(4.14)справедливо лишь для квазистатических процессов,т. е. процессов, протекающих бесконечно медленно. Оно дает возможность оценить меру необратимости этих процессов, но не позволяетполучить ограничения на определяющие уравнения, описывающие изменения парам.етров терм.одинам.ичес~ого состолнШI.При использовании понятия энтропии применительно к термодинамической системе полагают, что Н-аддитивная функция, присущаялюбому количеству материи, т.
е. энтропия любого тела равна суммеэнтропий его частей. Для сп.л.ошной среды, занимающей область V иимеющей п.л.отность р,Н=1(4.15)phdV,vгдеh -м.ассовал п.л.отность энтропии. Изменение энтропии происходит как вследствие изменений внутри системы, так и в результатевзаимодействия системы с окружающей средой. Тогда полное производство энтропии в теле в единицу времениГ н = dd~ -tбудет/ ps dV +/11 ·n dS,vs(4.16)4.3.г деВторой закон термодинамики139s + qv / (рТ) -поступление энтропии за единицу времени на едиs=ницу массы от внутренних источников;энтропии;qv -"1=т;+qjT-вектор потокаобъемная nлотность мощности внутренних источников теплоты;q -вектор nлотности теnлового nото-х:а;sи-т;производство и приток энтропии, обусловленные всеми прочими эффектами);единичный вектор внешней нормали к ограничивающейn -тело поверхностиS.Второй закоп тер.модuпа.мuкu в форме перавепства К.л.аузuуса-Дюге.ма постулирует:общее производство энтропии втермодинамической системе всегда неотрицательно (Гн ~гласно (4.16), можно записать в видеdd~ ~JИспользуя(4.17)sи формулу(3.60), (4.15)что, со-(4.17)psdV- !·11·ndS.vвместо0),'Остроградс-х:огоГаусса,-получаемdHddt = dtJph dV =JJvvр dhdt dV ~(ps - 'l ж • "1) dV,откуда в силу nринциnа ло-х:альности следует локальная форма нepa-венства Клаузиусаs=-dhДюгема р dt ~ -'l ж • "1 + ps.Процесс, в которомО и т;= О, называют nростым тер.мо.меzаnu'Ческu.м, и последнеенеравенство принимает вид(4.18)или в декартовой прямоугольной системе координат Ох1х2хзdhdtдqiрТ-+--дхiгде Qi- проекции вектора(4.18)qQi дТ- - -qv~0,на осиВ дивергентной фор.м.е вместоТ8 XiOxi.i= 1, 2,3,(4.19)запишем(4.20)или а~:)+ д~i (рhщ +~)-~·~О, где щвектораv-проекции на осиOxiскорости ч.астиц сnлошной среды.В .материальных -х:оординатахaiвместо(4.18)dhимеем роТ dt ~>-дqf + q~ дТ + q0 где в нач.альной -х:онфигурации Ро 7даiт даiv'плотностьОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИНЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВ4.140~тсреды;q'f - проекции на оси Oai вектора q 0 = J* q · Н плотности теплового потока; J*- я-к:обиан (3.6); Н- пространственный градиентдефор~ации; qy=J*qv.Для последующего изложения необходимо отметить, что массоваяплотность внутренней энергии и, используемая в соотношенияхи(4.13)(4.11)за-к:она сохранения энергии, является потенциальной функцией (потенциалом) массовой плотности энтропии h -к:о~понент тензора-к:оне'Чной или ~алой дефор~ации и, возможно, еще некоторого известного количества параметров термодинамического состояния.
Естественностремление иметь в качестве аргументов такие реа-к:тивныепере~енные, которые могут быть определены экспериментально, но h этимсвойством не обладает. Поэтому вместо и целесообразно использоватьиную термодинамическую функцию, но также потенциальную.Перейти от и к такой функции можно при помощизоваишr Лежаидра, состоящего в следующем[12].преобраРассмотрим вN-мерном пространстве JRN дважды непрерывно дифференцируемуюфункцию f(y1, У2, ... , у N) и систему N нелинейных уравнений 88 f = Zn,Ynn = 1, N,где Z n - заданные числа.
Если для некоторых значений Znрешение этой системы есть Yn и в точке пространства JRN с координа-тами Yn определитель det( 8Yn8 ~Ym ) #О,. т= 1, N, то, согласно теоремео неявной функции[52],существует окрестность этой точки, в котороймежду Yn и Zn имеет место взаимно однозначное и непрерывно дифференцируемое соответствие Yn = Yn ( z1, z2,j*(z1,z2, ... ,zN) =ZnYn-j(y1,y2, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
