Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 21
Текст из файла (страница 21)
ДВИЖЕНИЕ И РАВНОВЕСИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ106iзРис.3.1В деформированном состоянии эта частица займет по.тюжение Р, определяемое радиус-вектором х с проекциямиXk (k = 1, 2, 3) на оси O'xk вобщем случае иной прямоугольной системы координат О'х1х2хз. Координатыxk,задающие положение частицы в а-ктуа.л.ьной -конфигурации,называют nрострапствеппы.ми.Ориентацию осей Оа1 относительно осейделяют направляющие косинусы а 1kпроизведениям ортов jсистем.
-координат.O'xk= аы = j 1 · ek,8km-3.1) опреравные скалярным1 и ek, входящих в реперы {j 1} и {ek} принятыхУслови.н ортогопадьпости осей этих системкоординат имеют вид Щkаkм = 81м, аыщm =81м,(см. рис.8km•М, т=1, 2, 3, гдеси.м.во.л.ы Кроне-кера (здесь и далее, как и ранее, при записиформул использовано прави.л.о су.м..м.ирования по одина-ковым. инде-кса.м.).Вектор и(а1,а2,аз, t), соединяющий на рис.3.1точкиРои Р, называют вепторо.м nере.мещепи.н. Проекции и1(а 1 ,а2,аз,t) этого векторав системе координат Оа 1 а2аз являются функциями материальных координат и времени, причем(3.1)Этот же вектор в системе координат О'х1х2хз имеет компонентыUk(xl,x2,xз,t).
Обозначив его в этой системе U(xl,X2,Xз,t), запишем(3.2)Если вектор Ь (см. рис. 3.1) определяет положени; начала координатО' относительно точки О, то и = Ь + х - а. В дальнейшем (безпотери общности изложения) будем полагать Ь =О и j к= ek при К== k = 1, 2, 3, т. е. будем полагать, что системы координат Оа1а2аз иО'х1х2хз совмещены с общим началом в точке О. Тогда(3.3)3.1. Способы описания движения среды и деформация107Движение частиц сплошной среды в пространстве можно описать спомощью уравнений видаxi=xi(a1,a2,aз,t),i=1,2,3,илиx=x(a,t),которые задают в пространстве положение частицы,(3.4)занимавшей вначальной конфигурации положение с материальными координатамиai.Если в системе пространствеиных координат задано векторное полеv(x, t) скорости частиц среды с проекциями щ(х, t), то (3.4) будетрешением нормальной системы дифференциальных уравненийилипри начальном условии хУчитывая(3.3),dxdt = v(x, t)(3.5)= x(a,to).при заданной функции(3.1)находим вектор ско-рост иdxdt =v=так как а не зависит отd(a+u(a,t))du(a,t)диdt=dt= дt't,а при заданной функцииdx d(a+U(x,t))dU(x,t)дUv = dt =dt=dt= дt(3.2) дUdxi+ дхidt 'т.
е. это равенство задает скоростьвнеявном виде.В процессе движения частица среды следует по линии, называемой mpaenmopueй. В фиксированный момент времени .t&uкueй топаназывают кривую, касательная к которой в любой точке этой кривойсовпадает по направлению с вектором скорости в этой точке. Движениесплошной среды считают усmаковивши.мс.ll (или сmациокаркы.м),если поле вектора скорости не зависит от времени.
При установившемся движении линии тока совпадают с траекториями частиц.Для функцийXi =xi(a1,a2,aз,t), непрерывно дифференцируемыхпо материальным координатам, соответствие между векторами х и абудет в каждый момент времени взаимно однозначным тогда и толькотогда, когда отличен от нуля .11nобиакJ*= det ( дхi ) =даkдх1 дх2 дхз _ дх1 дхз дх2да1 да2 дазда1 да2 даз+ дхздх1 дх2 _да1 да2 даздх2 дх1 дхздх2 дхз дх1дхз дх2 дх1да1 да2 дазда1 да2 дазда1 да2 даз----+-------=дхi дхk дхт=eikm да1 да2 даз(3.6)3.
ДВИЖЕНИЕ И РАВНОВЕСИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ108системыЗдесь(3.4).eikm -си.м.вод Леви- Чивиты. ПриJ* =fО(3.4)можно однозначно разрешить относительно материальных координат:(3.7)Оnисание движени.sс или деформирования сплошной среды припомощиназывают лагранжевым, а при помощи(3.4)эй(3.7) -леровым. При этом материальные и пространствеиные координатычасто называют лагранжевыми и эйлеровыми соответственно. Лагранжево описание позволяет изучить движение любой фиксированнойчастицы среды, а эйлерово-поведение среды в любой фиксированнойточке пространствеиной области, занятой этой средой[111].Эйлерово описание дает возможность найти начальное положение частицы,находящейся в момент времениtв заданной точке пространства.Если в начальной конфигурации две бесконечно близкие частицысреды имеют материальные координатыконфигурации, согласносоответственно(3.4),aiиai + ai,то в актуальнойих пространствеиные координаты будутXi(a, t) и Xi(a +а, t), где а-вектор с проекциямищ, имеющий бесконечно малую длину.
Тогда для проекций вектора~'соединяющего эти частицы в актуальной конфигурации, получим~i =Xi(a +а, t)- Xi(a, t) =~Xiak + O(lal 2 ).uakОтсюда следует, что при конечных значениях OXi/дak расстояниеlalмежду двумя частицами, будучи бесконечно малым в начальной конфигурации, остается бесконечно малым и в актуальной конфигурации.Продифференцировав первую группу уравнений изальным координатамнента.м.иFiJ=aj,8xi/8aj, j(3.4) .!_10 материF с -к:о.м.nополучим тензор второго ранга= 1, 2, 3,называемый материальным градиентом деформации. Если продифференцировать первую группууравнений из(3.7) по пространствеиным координатам Xj, то получимтензор второго ранга Н с компонентами Hij = 8ai/8xj, называемыйnространственным градиентом деформации.
Компоненты тензоров=F~ин~~дх· даkсвязаны между собои соотношениями -д' -д~~ak х;8ij, причем F- 1 =Н.да· дхk= -д' -д =Xkа;Рассмотрим изменение положений двух бес:коiечно близких частиц,находящихся в начадъной конфигурации в точках Ро иQo(рис.3.2).Эти частицы в пекоторой актуальной конфигурации будут заниматьположенияРиQ соответственно.между точками Ро и2Q0Используя(3.7),квадрат расстоянияможно представить в впдедаkjdal = dakdak = -OXiдаkdxi- dxjOXj= Cij dxi dxj,(3.8)3.1. Способы описания движения среды и деформацияРис.т1093.2-.......-т-или jdaj 2 = dx ·С· dx. Тензор второго ранга С= Н ·Н с компонентамиCij= ~~~ ~:; называют mензором деформации Коши.
Здесь и далееодна точка междутензорами означаетиндексу (см. П1.3).операциюАналогично при помощирасстояния между точками Р и(3.4)одномунайдем квадратQ:дхk2сверт"..и подхkjdxl = dxkdXk =-д dщ -д dщ = Gijdщdaj,aiщт(3.9)= F-т · F- с компонентамиGij = ~:: ~:; называют mен.зором деформации Грина.--или jdxj 2 = da · G · da. Тензор второго ранга GЕсли сплошная среда совершает перемещение как абсодютио твердое тедо, то разность jdxj 2 - ldal 2 =О.
В общем случае эта разностьслужит мерой деформации окрестности двух бесконечно близких частиц среды. Используя2ldxl -ldal2(3.8)= (дхkдаiи(3.9),дхkполучаем)даi - Oij dai daj= 2Lij dai daj,(3.10)или ldxl 2 -ldal 2 = dат · (G- l2) · da = dат · 2L · da, где l2едиии-ч-иыu теизор второго раига с компонентами дij. Тензор второго ранга~L=G~-~l2 с компонентами Lij= 21 ( дхkдаiдхkдаj -J:Uij)называют mензо-ром поне'Чной деформации Грина или лагранжевым mензоромпоне'Чной деформации. Ту же разность при помощи(3.8)и(3.9)представим в виде22dxl -idai =1г д~J:Еij~= 21 ( Uij-= l2-(даk даk)дij- дхi дхi dxidXjдаk даk )дх; дхj-= 2EijdxidXj,~компоненты тензора второго ранга Е=С, называемого mен.зором деформации Альманзи или зйлеровым mензором поне'Чной деформации.3. ДВИЖЕНИЕ И РАВНОВЕСИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ110Ясно, что теизоры е, G, Е и Е являются си.м.метричиы.ми.
Учитывая (3.1) и (3. 2), компоненты те изоров Е и Е можно выразить черезвех:торы u(a1,a2, аз, t) и И(х1,х2,хз, t) nере.мещеиия:и.ди·дU;а;х;Тензоры с компонентами -д' и -д называют соответственно .материальпы.м и npocmpancmв еппы.м градиепmа.ми nере.мещепия.В фиксированный момент времени составляющие пространствеиного градиента поля вектора скоростиv = v(x, t)с проекциями щ на осиnря.моугольиой систе.мы х:оордииат Ох1х2хз можно представить в виде(3.11)гдеViJдv;= 21 ( дх;pocmeй V;дv·) -компоненты симметричного mеюора cno-+ах:Wij =~ ( :~;-~~:)__- компоненты аитиси.м.метричиого menэopa завихреппосmизавихреппосmиW=У' ж хявляется безвихревым, еслиW, которому соответствует вenmopv = 2eijkWkjei. Поле вектора скоростиW =О во всех точках рассматриваемойобласти.3.2.Тензор малой деформацииЕсли в процессе перехода некоторого объема сплошной среды отиачальиой х:оифигураv,ии в момент временивремениtoк ах:туальиой в моментt компоненты .материальиого и nростраиствеииого градиеи« 1и1, i, j = 1, 2, 3, то описание дефор.мироваиия сплошной сретов nере.мещеиия малы по q>авнению с единицей, т.
е. lдuifдaJIlдИi/ дхj 1«ды может быть проведено с использованием теории малой деформации.В этом случае вместо лаграижева теизора х:оиечиой дефор.маv,ии используют лаграпжев mеюор .малой дефор.мацuи Т с компонентами1 (ди·lij = 2да;+ ди·)да: , а вместо теизора д ефор.маv,ии Аль.маизи- эйлеровmеюор .малой деформации е с компонентами IЩ = ~ ( ~~; + ~~: ) .Для широкого класса задач механики сплошной среды, а именно длязадач механики деформируемого твердого тела, характерна малость нетолько градиентов перемещения, но и модулянию с характерным размером тела.lul(илиiИI) по сравнеВ этом случае различие между3.2.111Тензор малой деформацииnростра-н.стве'Н.'Н.Ы.М.U И .м.атерuа.n.Ъ'Н.Ы.М.U 'Х:ООрдu-н.ата.м.u мало И лагранжев и эйлеров тензоры малой деформации можно полагать равными,т. е.1=е,или lij = C:ij· Далее отождествим эти координаты, а си.м..м.етрU'Ч'Н.Ый теизор второго раига е с компонентами= !(дщ + дUj)Eij2 дхj(3.12)дхiбудем называть mен.эоро.м.
.малой деформации.Сооmн.ошен.u.н Коши(3.12)связывают три составляющие ве-ктора пере.м.ещеиия и с шестью (вследствие симметрии) компонентамитензора деформации е. Следовательно, для определения составляющихвектора nеремещения необходимо проинтегрировать шесть уравнений(3.12),считая Eij заданными функциями nространствеиных координат.Так как число уравнений больше числа неизвестных, то эта задача может иметь решение только nри наложении некоторых дополнительныхусловий на ЭТИ функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
