Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Модулиэтих векторов измеряют в Вт/м 2 и А/м2 соответственно (А -ампер является основной единицей измерения силы элептри'Чеспоготопа).Диффузионный перенос физических субстанций может происходитьи при отсутствии направленного движения среды (например, при хаотическоммолекулярномдвижениивжидкости,газеилиплазметепловом движении ионов, атомов и молекул в твердом теле).иПринеравномерном пространствеином распределении И"Среде пекоторой физической субстанции объемной плотностью С хаотическое движениемикрочастиц среды постепенно приводитк выравниванию этого распределения.
В изотропной среде, свойства которой одинаковы во всехнаправлениях, диффузионный перенос физической субстанции, вызванный неравномерным пространствеиным распределением скалярной величины С, происходит в направлении убывания объемной плотности,т. е. в направлении, противоположном направлению градиента\7 жС3. 3. Плотность и перенос физических субстанций сплошной среды117сr.а.лярного по.ля, задаваемого в пространстве в текущий момент времениtфункцией С(х, t).При построении .м.ате.м.ати-ч.есr.их .м.оде.лей (ММ) широко используют эмпирический закон диффузионного переноса(3.20)где j(C) -вектор плотности потока физической субстанции при диффузионном переносе; К(С) -эмпирический коэффициент диффузионного переноса этой субстанции. Функцию С(х, t) обычно предполагаютнепрерывно дифференцируемой необходимое число раз по всем ее аргументам. Она выполняет роль nотенциальной фунпции по отношению к векторному полю плотности потока этоЙ субстанции при еедиффузионном переносе.Например, функция С(х, t) может задавать распределение в средеобъемной плотности некоторого вещества (примеси в жидкости или газе, ионов в плазме, легирующего элемента в сплаве).
В этом случаеС, к<с) и j(C) называют соответственно объемной попцентрациейвещества, измеряемой в кг jм 3 , поэффициенто.м попцентрационной диффузии [81], измеряемым в м2 jc, и вектором nлотностиnотопа данного, '?ещества в этой среде, модуль которого измеряют в кг/(м 2 ·с), а (3.20) выражает эапок Фипа, описывающий явлениепонцентрационной диффузии. При неоднородном пространствеином распределении температуры Т(х, t) и дав.ления р(х, t) возникаютявления тер.модиффуэии и бародиффуэии, в связи с этим(3.20)следует заменить уравнениемj(C) =-К(С)'\1 жС- К(Т) ~ '\1 ж Т- К(Р) ~ '\1 жР,(3.21)где К(Т) И К(Р) - поэффициенты термадиффузии И барадиффузии [135], измеряемые в м 2 /с.Интенсивность диффузионного переноса физической субстанции невсегда связывают с градиентом скалярного поля объемной плотностиэтой субстанции.
Так, в ММ nроцесса теnлоnроводности-процесса диффузионного переноса в среде теплоты как одной из формэнергии-в качестве потенциальной функции вместо с:* используютфункцию Т= Т(х, t) распределения в пространстве в текущий моментвремениt абсо.лютной те.м.пературы, характеризующей при определенных условиях объемную плотность тепловой энергии среды. Этоприводит к эмпирическому закону теплопроводности( запонуБио-Фурье)(3.22)3. дВИЖЕНИЕ И РАВНОВЕСИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ118гдеq-векторnлоткоститеn.~&овогоnотопа, модуль которогоизмеряют в Втjм 2 ; л<т)- теn.~&оnроводкость среды, Вт/(м·К).Линейную связь вектора плотности потока физической субстанциис градиентом пекоторой потенциальной функции используют и в техслучаях, когда перенос этой субстанции происходит путем движениямикрочастиц под действием внешнего поля.Так,элептричеспоеnоле, сила действия которого на электрические заряды не зависит отих скорости, вызывает в электропроводящей среде электрический ток,вектор плотности которого равен(3.23)где а<е) -эдех:три'Чесх:а.н nроводи.м.ость среды; Ие = Ие(х, t) -тричеспийnотенциал этого поля,В.элепЕсли ввести вектор Е== - 'V жИе каnряженкости элептричеспого noJ&Я, то из (3.23) получим уравнение(3.24)обобщающее запои О.ма на случай сплошной среды (модули векторовj(e) и Е измеряют в Аjм 2 и В/м соответственно).При неравномерном распределении давдени.н, заданном функциейр = р( х, t) и измеряемом в Па = Н/ м 2= кг/ (м · с 2 ),через пористую средуможет просачиваться жидкость или газ.
Тогда вектор скорости частицжидкости или газа подчиняется запоку Дарси(3.25)где хр- позффициект фUJ&ьтрации, м 2 /(с·Па).Потенциальная функция в(3.20)может зависеть от пространствеиных распределений нескольких физических величин. Например, в случае многокомпонентной смеси химически реагирующих веществ диффузионный перенос физических субстанций связан с выравниваниемнеравномерного пространствеиного распределения так называемого химического потенциала,ществ,который зависит от концентраций этих ветемпературы и давления.В этом случае вектор плотностипотока конкретной субстанции можно представить линейной комбина-.,.цией векторов, коллинеарных градиентам концентрации, температурыи давления соответственно.
Тогда говорят о концентрационной диффузии, терма- и барадиффузии субстанции.Не затрагивая особенностей различных процессов диффузионногопереноса, ограничимся лишь констатацией того, что в большинствеслучаев при построении математических моделей вектор j(C) плотности потока конкретной физической субстанции можно считать линейно3.4.Закон сохранения массы ср~Щы119зависящим от градиентанекоторой потенциальной функции Ф(х, t), котораяневсегда совпадает с объемной плотностью С этой субстанции.Эту зависимость можно записать в общей форме(3.26)где к(Ф) -коэффициент пропорциональности. Если среда анизотропна, т.
е. ее свойства различны в разных направлениях, то в (3.26) К(Ф)будет теизоро.м второго ранга коэффициентов переноса конкретнойсубстанции.Представленные соотношения характерны для диффузионного переноса субстанций, объемная плотность которых является скалярнойвеличиной. Объемные плотности количества движения и момента количества движения являются векторными величинами, что усложняетвыражения для плотностей потоков этих субстанций при диффузионном переносе.3.4.Закон сохранения массы средыПусть в ишча.л.ьиой х:оифигурации рассматриваемое тело занимаетобъемVoи ограничено поверхностьюSo.Тогда при переходе к ах:туа.л.ьиой х:оифигурации оно будет занимать объемповерхностьюS.V,ограниченныйПримем, что в начальной конфигурации объемявляется прямоугольным параллелепипедом с ребрамиda1, da2,dVodаз,параллельными осям системы Оа1а2аз .материа.л.ьиых х:оордииат, т.
е.dVo= da1da2daз.При переходе к актуальной конфигурации элементарный объемсп.л.ошиой среды не разрушается и в общем случае может быть представлен косоугольным параллелепипедом, проекции ребер которого на осисистемы простраиствеииых х:оордииат Ох1х2хз будут dx?), dx~ 2 ) иdxp>, i = 1, 2, 3 (ребро da1 элементарного параллелепипеда в начальнойконфигурации соответствует ребруной конфигурации и т. п.).
Тогда сdV=(dx(l) х dx( 2)) · dх(З)с проекциями dx?) в актуальучетом (3.4) и (3.6) получимd:z:{I)= eijkdx?>dx)2>dxi3 ) =axi= eijk -а da1а1гдеaxjaxkа2аз-а da2 -а dаз=J*dVo,(3.27)eijk (j, k = 1, 2, 3) - си.мво.л. Леви- Чивиты; J* - .нх:обиаи, опре(3.6) и характеризующий изменение элементарного объемаделенный в3. ДВИЖЕНИЕ И РАВНОВЕСИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ120сплошной среды при переходе от начальной конфигурации к актуальной. При таком переходе nлотность среды в рассматриваемом элементарном объеме непрерывно изменяется во времениtот р0 (а1,а2,а 3 ) == dтjdVo до р(х 1 ,х2,хз, t) = dт/dV, где при отсутствии обмена массоймежду телом и окружающей средой масса телат= jpodVoj pdV = const.=VoОтсюда следует, что dтуравнение(3.28)V= p0 dVo = pdV.
Тогда с учетом (3.27) получимнеразрывностиРо =(3.29)pJ*в материальных координатах, выражающее в этих координатах запонсоzран.ени.Jl .массы.Учитывая(3.5)изводную якобианаи правила дифференцирования определителя, про(3.6)по времениdJ* = eijk ( дщ дхj дхkdtда1 да2 даз+ дхiдщ дхkOxm1, 2, 3) -+ дхiдхj дvk) =да1 да2 дазе•з·k дхi дхj дхk дvm·где Vm (т=можно записать в видеда1 да2 даз=на осиtда1 да2 даз дхтпроекции вектора=J*'\lж. v,3 30)( .v скорости частиц средысистемы пространствеиных координат, а нижний индексх у дифференциального оnератора Гамильтона'\1 жозначает дифференцирование по пространствеиным координатам.
Таким образом, дивергенция'\1 ж • vвектора скорости, вычисленная в пространствеиныхкоординатах, является локальной скоростью относительного измененияэлементарного объема среды.В силу независимости р0 от времени из (3.29) с учетом (3.30) следуетd ( J*) = J*.J!..ddJ* = J* ( .J!..dсоотношение _Р_рр'\1 · v ) =О где v ж'dtdtdtdt+вектор скорости.Отсюда при+J* =fО получаем уравнение неразрыв-ностиdpdt+ р'\1 ж • v = о,(3.31)илив системе пространствеиных координат, выражающее в этой системе закон сохранения массы среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
