Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 27
Текст из файла (страница 27)
,yN),... , z N).Составим функциюв которой все Yn выраженычерез Zn. Эту функцию называют преобразованием Лежандра функцииf (Yl, У2, ... , у N), причем общее число функций f* равно 2N+1 - 1 [27].Преобразование Лежандра дает возможность получить большой набор термодинамических потенциалов. Основными среди них являются:массовая плотность свободпой зиергииA=u-Thс аргументами Т и Eij -(4.21)-к:о~понента~и тензора ~алой дефор~ации(j = 1, 2, 3), а также с другими реактивными переменными - аргументами и; массовая плотность mер.модииа.Мичес~ого потенциалаГиббса G =А- O"ijEij/ р с аргументами Т и O"ij -компонентами тенHQ = G + Th,одним из аргументов которой (в отличие от G) является h.Если продифференцировать левую и правую части (4.21) по времениt и полученный результат объединить с (4.11), то за-к:он сохранениязора напряжений, а также с другими реактивными переменнымиаргументами А; массовая плотность тепловой функции4.3.Второй закон термодинамики141энергии примет видdhдqiрТ dt =- дхi +qv+бv,dhили рТ dt =-"\!ж(4.22)(dA + hdidT) -~ ~·q+qv + 8v, где 8v =и··V- р diдисси-nаmивн.а.в фун.пци.в, характеризующая рассеяние энергии в термодинамической системе при необратимых процессах.
В пространственныхх:оординатах (j ·.у= CТji ViJ, где CТji и ViJ -компоненты тензоров второго ранга напряжений Коши (j и сх:оростей У соответственно. Вматериальных координатах вместо ··У в выражение для 8v войдет~свертх:а Т·dL·di= TjidL·1d;~,где Т и~uL-тензор напряжений Пио.л.ы-Кирхгофа и .л.агранжев тензор х:оне'Чной дефор.м.ации с компонентамиTji и Lij соответственно, а значение плотностир следует заменить ееисходным значением ро.Вычитая(4.22)из(4.18),получаем общее диссиnаmивн.ое н.ера-вен.сmво(4.23)илиВ материальных координатах ak оно примет вид_ qf дТ +Т·.
dLiJ _ Ро ( dA3Т даi~ dtdt+ h dT) >- О.dt~(4.24),Согласно nрин.циnа..и Гиббса, в состоянии термодинамическогоравновесия энтропия Н изо.л.ированной тер.м.одина.м.и'Чесх:ой систе.м.ыдостигает максимального значения во всех возможных состояниях системы с заданным значением внутренней энергии И, а во всех возможных состояниях с заданным значением Н минимального значениядостигает И. Отсюда следует, что в этом состоянии абсолютная температура Т сплошной среды не меняется от точки к точке.
Действительно, для неподвижной среды массовая плотность и( h) внутреннейэнергии зависит лишь от массовой плотностиhэнтропии, поэтомуИ = j ри(h )dV.vИспользуя неопреде.л.енный .м.ножите.л.ь Лагранжа Л1 для ограниченияН= Но=const,получаем, что истинное распределениестационарной то'Чх:ой фунх:циона.л.аJ[h]=f pи(h)dV + Л1 (!vvphdV- Но),hдолжно быть4.142ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИНЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВкоторому соответствует уравнение Эй.л.ерат= лldu/dh = >ч, т. е. в силу (4.21)= const.Для действительного процесса закон сохранения энергии (nервыйзах:он тер.м.одина.м.их:и) можно записать в вИде dE* = dA(e)1Е*= p(~щvi+и)dv+ dQ,где-vполная энергия термодинамической системы; А(е)- работа действующих на систему механических сил;Q-количество теплоты, полученное термодинамической системой.
Если в этом равенстве символdприращения в действительном процессе заменить символом б произвольнойдопустимой вариации, то в общем случае оно не будет справедливым.Обозначая через М1 соответствующую невязку, получаем1дЕ*= б Р(~щщ +и )dV = бА(е) + бQ + бS1,(4.25)vучитывая при этом, что бS1=О на действительных вариациях.Если функцианалы б Е*, бА (е), бQ и Ы"! определены, то (4.25) являетсявариационной фор.м.ой первого закона термодинамики для возможныхприращений определяющих функций. При заданных значениях векторов р и Ь плотности поверхностных и объемных сил с проекциямиbiPiина оси пространствеиных координатбА(е)= lpiбuidS+ lbiбщdV,sгде бщ-(4.26)vпроекции на эти оси допустимой вариации би вектораперемещения;S-поверхность, ограничивающая область объемомВыражение для бQ вдqЗаменим в (4.22) ах: на Т(4.25)д(q ;т)a~iq·ат+ "f дхi.Тогда (4.22) примет видИнтегрированием этого равенства по областиdQ =1pTdhdV- dQ',vV.можно получить следующим путем.Vполучаем(4.27)Второй закон термодинамики4.3.143гдепричемdQ' - так называемая непо.мnенсированна.н тетмота(dQ' =О для обратимых процессов и dQ' >О для необратимых термодинамических процессов).В классических моделях сплошной среды при простых термамеханических процессахdQ' линейно зависит от приращений определяющихфункций.
Поэтому dQ в (4.27) также линейно зависит от этих приращений, так что dQ можно рассматривать как значение функцианалаj pTбhdV- бQ'бQ =(4.28)vна действительных приращениях определяющих функций. Этот функционал является вариационной формой второго закона термодинамики,и его следует рассматривать на допустимых вариациях определяющихфункций.Очевидно, что в равенствене все переменные можно задавать(4.25)независимо. Задают лишь часть из них, а остальные из него находят.Выделим явно задаваемые функции. Для этого зададим бn в видеjjvvбn =б pviщdV- :t pщбxidV,= dxi = Vi dt.dV = J*dVo и d(pJ*)/dt =О (см.
3.4), получаемпоскольку на действительных вариациях бхiравенстваdn = dj pщvidV- j pviщdtdV:tvПодставляяv= d(4.26), (4.28)JиJVoVod(pJ*)viщdVo- dtвУ читывая=J(4.29)(4.29)(4.25),(pJ*)1чщdtdVo =О.находимJб P(~viЩ- и )dV- ~ pviбxidV +vjvjjvv+ PiбщdS + biбuidV + pTбhdV- бQ' =О.s(4.30)4.144ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИНЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВПроинтегрировавмениSн =(4.30)в пекотором произвольнам интервале вреи введя обозначения(to, t1)f j р Vi;i - и) дА=- j pviбxidv\:: + jбА*= f (! pTбhdV- дQ' + f biбщdV)vvtltldttodV,(VVj PiбиidS,dttoStldt,~получим вариационное уравнение Седова[12]бSн +бА +бА*= О,справедливое для произвольных областиЭта особенность приближает(4.31)V(4.31)и интервала времени(to, t1).к локальной формулировке закона сохранения энергии и позволяет путем вычисления бА из(4.31)установить связь между реах:тивиы.м.и (аргументами) и ах:тивиы.м.и(определяющими функциями) пере.м.еииы.м.и, т.
е. получить уравнениясостояния сплошной среды.(4.31)Вторая особенность состоит в том, чтосодержит вклады, связанныеснеобратимыми процессами.Для качественного анализа важен случай, когдазанятый сплошной средой, аtoиt1 -V-весь объем,моменты времени, в которыезначения определяющих функций известны. Тогда дхi =О приt= t1.Поэтому бА можно выразить через заданную наповерхностных сил. В этом случаеSн -St = toиплотностьдействие по Га.м.и.rtътоиу длявсего объема сплошной среды.4.4.Условия на поверхности разрываПри установлении зах:оиов сохраиеиия .массы, эиергии, x:o.rtu-чecmвaдвижеиия cn.rtoшuoй среды и ее .м.о.м.еита x:o.rtu-чecmвa движеиия предполагалась непрерывность рассматриваемых функций и их производных. Однако при построении математических моделей реальных процессов нередко возникает необходимость учитывать возникновение врассматриваемой пространствеиной областиV,:гак называемыхno-вepxuocmeй разрыва, на которых разрывны искомые функции илиих производные.
Если на такой поверхности разрывны только производные искомых функций либо по координатам, либо по времени, торазрыв называют слабы.м. Если же разрывны искомые функции, торазрыв называют сильиы.м или ударпой волиой, когда сильный разрыв подвижен, т. е. движение точек М* Ево времениtS*характеризует вектор скоростиповерхности разрываD*(M*, t) [71].S*Условия на поверхности разрыва4.4.145Условия на поверхности разрыва можно получить с использованиеминтегральной формулировки законов сохранения физических субстанций (массы, энергии, количества движения и его момента), представленной в шх:туа.льной -х:онфигурации в виде:t jj 'Ф ·ndS jp1dV +V\8*8V\8*где р- п.лотность среды;п.лотность ее пото-х:а;верхностиnv -S,flvdV +=1 -n -j fl8·dS,(4.32)8*.м.ассовал п.лотность субстанции; 'Ф-единичный вектор внешней нормали к поограничивающей изменяющуюся во времени областьV;объе.м.нал п.лотность мощности внутренних источников этойсубстанции;поверхностная плотность мощности источников{18.
-субстанции на поверхностимассы и энергии,да (см.S*.а также к12.2) 1, flvи {1 8•Применительно к законам сохраненияза-х:ону-сохранепил э.ле-х:три-чес-х:ого зарлскаляры, а 'Ф -вектор, но в случаезаконов сохранения количества движения и момента количества движения1, flvиn 8• -векторы, а 'ФНесложно проверить,из(4.32)-тензор второго ранга.что при отсутствии поверхности разрываследуют рассмотренные ранее интегральные формулировкизаконов сохранения.
Действительно, примассы и ее внутренних источников1 =: 1(4.32)и отсутствии потокапереходит в интегральнуюформулировку закона сохранения массы:t- jpdV=O,V\8*равносильную (3.28). При 1 =с:*, 'Фс:*= и+jv\ 2/2-плотность внутренней энергии;ной среды;q -= q- и· v и flv = Ь · v + qv, где- массоваямассовая плотность по.лной энергии; иv-вектор скорости -частиц сп.лошвектор п.лотности теп.лового пото-х:а; инапряжений Коши;qv-тензор-объемная плотность мощности внутреннихисточников теплоты, из(4.32) при помощи фор.м.у.лы Остроградс-х:ого- Гаусса получаем (4.10).
При 1 = v, 'Ф =-и и flv = Ь, где Ьп.лотность объе.м.ных си.л, из (4.32) следует интегральная формулировка закона сохранения количества движения в виде (3.61). Наконец, nри1 = xxv, 'Ф · n = рхх- m8 и flv = mv + ххЬ, где х- радиус-ве-х:торчастицы среды, определенный в прл.м.оуго.льной систе.м.е -х:оординатОх 1 х2хз; р = и· n - вектор п.лотности nоверхностных си.л; m8 иmv - .м.о.м.енты, распреде.леиные по поверхности S и объе.м.у V соответственно, согласно (4.32) приходим к интегральной формулировке(3.64) закона сохранения момента количества движения.40146ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИНЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВПусть поверхность разрыва= 1, 2,S*делит областьVна две подобластиsk с s поверхS и поверхностью S* о Тогда непрерывность функций, входящихв (4032), и их провзводных в каждой подобласти позволит применить(3060) и формулу Остроградского- Гаусса, записавvk, kкаждая из которых ограничена участкомности~jpTdV= !д~~) dV + J(pT®v)ondS+ J(p(k)y(k)®D*)on(k)dS=vkvksks•=J(д~~)+ \7 ж о (pT®v)) dV + Jvks•p(k) (T(k) ®(D* -v(k))) on(k)dS,jwondS=jvжФdV- jw(k)on(k)ds,skvks·где®- символ операции диаднога у.м.ноженил вех:торов; верхним индексомkотмечены значения параметров на поверхности разрыва состороны подобласти Vk, причем п(k)- единичный вектор внешней поотношению кS*, а нижний индекс х у дифференциа.л.ьного\7 ж означает дифференцирование по пространственны.м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
