Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 28
Текст из файла (страница 28)
х:оордината.м.о Сумма по k интегралов в левых частях этихравенств равна левой части (4032)0 Поэтому вместо (4032) получаемVkнормали коператора Га.м.и.л.ьтонаj(д(~~) +\7жo(pT®v+Ф)-nv)dV=V\S*2!1s· dS- js•s·= jL (p(k)y(k) ® (D*- v(k))- w(k)) о n(k) dSok=lЕсли направление единичного вектора п* нормали к2условия D* оп* ~О и учесть, что п( )j= -n(l),S*выбрать изто в итоге получим( 8 (~~) +\7жo(pT®v+Ф)-nv)dV=V\S*=j (n8•+ [рТ ® (D*- v)- Ф] оп*) dS,s•где [о] означает скачок соответствующей величины при переходе черезповерхностьп*= п(l),S*в выбранном направлении вектора п* (например, еслито [Ф]= ф( 2 )- ф(l))оТак как полученное интегральное равенство справедливо для произвольныхVиS*,то из него следуют локальные условия(4033)Уеловин на поверхности разрыва4.4.в любой точке областиV \ S*147и(pT®(D*-v)-Ф] ·n*=-Пs·в любой точке поверхности разрываS*.Если в.
(4.34)(4.33)для каждой субстанции конкретизировать функции Т, Ф и Пv так, как это былосделано применительно к(4.32),то придем к локальным формулировкам в дивергентной фор.м.е законов сохранения массыдвижения(3.63)и энергии(4.12),(3.32),количестваа из закона сохранения момента количества движения при отсутствии моментов, распределенных по объемуи по поверхности, получим установленное всти тензора и. Используяпо времени,(4.33)(3.32)3.6свойство симметричнои выражение для полной производнойможно представить в виде(4.35)При отсутствии на поверхности разрываS*ников массы, количества движения и энергии изповерхностных источ(4.34)следует[p(D*- v)] · п* =О,}[pv ® (v- D*)] · п* =[и]· п*,[p€*(v- D*) +q] ·n* = [vт .и] ·n*,где (·)т -(4.36)си.м.во.л. транспонирования.
Отметим, что поверхностныеисточники таких субстанций, как объемная плотность э.л.е~тричес~огозаряда, количество движения и энергия, необходимо в общем случаеучитывать при взаимодействии сплошной среды с э.л.е~тро.м.агнитны.м.по.л.е.м. (см.12.5).Первое равенствораpv(4.36)означает непрерывность проекции вектоплотности пото~а .м.ассы на направление вектораn*нормалипри переходе через поверхность разрыва, но допускает при этом скачкообразные изменения плотности и вектора скорости частицы среды. Эторавенство можно представить в виде p< 1 )v~1 ) p( 2 )v~2 ) D~(p(l)- р(2)),+=1где v~ ) =v< 1 ) ·2n*, v~ )Второе равенство= v< 2) ·n* и D~ = D* · n* ~О.(4.36)принимает вид [pvi(Vjп;-O"ji -в проекциях на координатные осиDj)]nj = [aji]nj, i, j = 1, 2, 3,проекции на эти оси векторовv,D*где щ,OxiDiии п* соответственно, а~о.м.поненты тензора и.
Умножая последнее равенство на п;и учитывая первое равенство(4.36),0"(2) - a(l) р(2) .p(l) - р(2) p(l)'где <Т=* *· VnO"jininj,= (v -D*) ·n* .получаемlv~2) 1 =а(2)_ a(l) p(l)p(l) - р(2) р(2)'1484.ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИНЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВНеравеиству К.ttаузиуса- Дюгемаза-х:ои термодииами-х:и,nлотность энтропии, а Тпри Т-=hиабсо.ttютнал температура, соответствуетусловие на nоверхности разрыва в виде4.5.(4.19), выражающему второйФ = qjT, где h массовая[ph(v- D) + qjT] · п*~О.Термодинамический подходк построению математических моделейОсновные nоложения термодинамики nозволяют оnределить общуюструктуру математи-ч.ес-х:их моде.ttей (ММ) достаточно широкого класса реальных nроцессов, характерных для современной техники и технологии. Эта структура может быть конкретизирована nрименительнок сп.ttошной среде с известными или nредnолагаемыми свойствами.В nрикладных исследованиях обычно исnользуют модели, оnисывающие структурно-неоднородную многокомnонентную сnлошную средукак макроскоnически однородную с усредненными характеристиками.Это часто не nозволяет отразить существенные особенности nоведениятакой среды, наnример, nри высокоинтенсивных термомехани-ч.ес-х:ихпроцессах с быстро изменяющимися параметрами термодинами-ч.ес-х:ого состояния[68].Математические модели таких nроцессов должныучитывать изменения микроструктуры среды, а также явления заnаздывания и nерекрестные эффекты nри аккумуляции и nереносе энергии,массы и количества движения.Обоснованный учет отмеченных особенностей возможен с nривлечением соотношений термодинамикинеобратимых nроцессов, nричемв рамках термодинамического nодхода к nостроению ММ реальныхтермамеханическихnроцессовможнобазирующихся на рассмотрении средвыделитьстриосновныхвнутреннимиnути,параметрамитермодинами-ч.ес-х:ого состояния, сред с памятью и сред с-х:оростного типа.Рассмотрим nервый nуть.Предnоложим,что состояние сnлошной среды в окрестности любой ее -ч.астицы можно оnисать четырьмятермодинамическими функциями, которые выnолЩiют роль а-х:тивныхпеременных: массовыми плотностлми свободной энергии А и энтропии h, теизором напряжений Пиалы - Кирхгофа Т с комnонентами(i, j = 1, 2, 3) и вектором Q 0 п.ttотности теплового пото-х:а с комnонентами qf.
В качестве аргументов этих функций nримем реа-х:тивныепеременные: лаграижев тензор -х:оне-ч.ной деформации L с комnонентами Lkm, k, т= 1, 2, 3; абсолютную температуру Т; .маmериаль'НыйTjiградuе'Нm me.мnepamypы с комnонентами iJk= дТ/даk, где ak -4.5.Термодинамический подход к построению моделей149.материа.ttьные ~оординаты рассматриваемой частицы среды, и внутренние nара.метры тер.модина.ми'Чес~ого состолнил х(а)' х~)' xi~(а=1, ак,f3 = 1, /Зм,'У=Физический смысл этих параметров1, 'YN ).зависит от свойств конкретной сплошной среды и особенностей реального термамеханического процесса.Введение этих параметров даетвозможность связать макроскопическое поведение сплошной среды спроцессами, протекающими на микроуровне. Например, скалярнымипараметрами х(а) могут быть температуры отдельных структурныхэлементов среды или концентрации фаз и веществ, входящих в составсреды.
Роль векторных внутренних параметров с компонентами х~)могут выполнять потоки массы, энергии и количества движения, переносимые элементами микроструктуры среды, а тензорных параметровс компонентами Xk~ -микронапряжения [40, 41]. Таким образом, вобщем случае.а(а)(jЗ)(-у))А -- A(Lkm, Т''Vk,Х'Xk 'Xkm '.аh = h(L km• т'·vk,TjiХ(а)(-у))(13)'Xk • Xkm '(4.37)= Tji(Lkm, Т, {}k, Х(а), Х~), Xk~),о_o(Lqi - qiТ .а'·vk, Хkm•(а)(jЗ). ('У))• Xk 'Xkm ·Предположим, что скорости изменения внутренних параметров зависят лишь от текущего состояния сплошной среды в окрестностирассматриваемой частицы, т. е.dx(a) =dt(jЗ)dxidtdblXij~=х(а) (Lх~fЗ) (Lt('Y)(L= Xijkm•km•km•ТТ{}k'''1JТ {}'k,Х(а) Х(fЗ) ХЫ)'k 'х(а) х(fЗ)'k, Х(а)km 'k 'xbl)km '(fЗ)(-у))(4.38)• Xk • Xkm ·Подставляя в общее диссиnативное неравенствофункцию(4.24)А= A(Lkm, Т, 1Jk, Х(а), Х~), Xk~), приходим к неравенству_(Ро оА _т ..
) dLij8LijdtJt_Ро(оА + h) dT _ Ро оАаА dx~fЗ)-ОТdtоА dx~])dx(a) _dtох(а)дАPD--тifi ~- PD-т-:J ~- Ро 81J·дхiдxijtd1Jidtатqi-да· Т ~О,tвыполнение которого является необходимым условием реализуемостирассматриваемого термамеханического процесса в сплошной среде с4.150ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИНЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВвнутренними параметрами состояния.Это неравенство линейно поотношению к скоростям изменения реактивных переменных,которыеили не являются определяющими переменными (такие, какdLij / dt,dTjdtиdiJi/dt),или же заданы при помощи(4.38).Так как второйза-х:он. тер.м.один.а.м.и-х:и справедлив для nроизвольных скоростей nроцессов, достаточным условием реализуемости рассматриваемого процессаявляются равенства(4.39)и неравенство(4.40)где бv-диссипативн.ал фун.-х:ци.н.
Отсюда следует, что конкретнаяформа уравненийИсключив из(4.38)(4.13)не должна противоречить этому неравенству.nри nомощитрен.н.ей эн.ергии и, с учетомд2 АdT8q?-- =бv - _ t +8Т dt8ai-роТ-2(4.39)(4.21).массовую плотиость вн.уполучимQv-8h dLijдh dx(a)дh dх~,в)дh dx~J))-роТ ( 8Li; dt + 8х(а) "dt + ах~,в) "dt + ax~-r) "dt ·ttJСлагаемые, заключенные в скобки в правой части этого равенства, зависят от скорости изменения внутренних параметров состояния средыи характеризуют mер.мо.м.еа:ани-чеспую свнзанносmь nротекающихв ней nроцессов.Второй nуть nостроения математических моделей термамеханических процессов основан на использовании интегральной формы соотношений, связывающих активные переменные (А,активные переменные(Lkm,Т и{)k,h, Tjiиqi)и реа в общем случае и внутренниеnараметры состояния).
Такая форма позволяет'"""учесть предысториюрассматриваемых nроцессов, т. е. построить ММ среды, обладающейсвойством памяти и называемой сnлошной средой с nа.мнmью.Если текущее состояние частицы среды в момент времениt характеризовать в материальных координатах некоторой векторной функцией,зависЯIЦей от текущих значений реактивных переменных, которые, всвою очередь, зависят отt,то ее можно представить в видеip(t).1514.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
