Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 24
Текст из файла (страница 24)
У читывая выражение для полнойпроизводной : = ~ + v · '\1 жР. это уравнение можно записать в дивергентной фор.ме:дрдt+ "Vж · (pv) =О,илидрд(рщ)- одt + дхi -'(3.32)3.4.где '::; =121Закон сохранения массы средылокальное изменение плотности во времени; V ж•(pv) =дд(рvi) -изменение плотности за счет х:онвех:тивного переноса.XkВ случае кесжu.мае.мой сплошной среды ее плотность неизменна, но неоднородная несжимаемая среда в различных точках пространства и в различные моменты времени может иметь разную плотность,поэтому(3.32) остаются в силе.
Если же(р = Ро = const), то из (3.31) или (3.32)(3.31)однороднаяи't"7Vж'v = о'или дщдхiУравнение неразрывности в видек смесиn(3.31)=несжимаемая средаследуето.или(3.33)(3.32)применимо иразнородных веществ, заполняющих некоторый объемV.Для каждого <;-го вещества, <; = 1, n, можно ввести плотность р(<>),характеризующую его объемную концентрацию в смеси, а при помощивекторной функции v<<>)(x, t) можно задать векторное поле его скорости.Тог да для плотности смеси получимnр= L::>(<>),(3.34)c;=lpv п.аотности nomox:a смеси при конвективном переносе равен сумме векторов p<<>)v(<>) плотностей потоков отдельа из условия, что векторных веществ, найдем вектор средней скорости смеси1nv =- LP(<>)v(<>).р <;=1(3.35)Пусть в смеси не происходит превращения веществ.Тогда длякаждого <;-го вещества справедлив закон сохранения массы в видеили(3.31)(3.32)d (<>)_Р_ +p(<>)'V ··v(c;-) =Оdtж'(3.36)Ясно, что, суммируя по <; вторые равенства(3.35),(3.36)и учитываяполучим уравнение неразрывности смеси в виде(3.34)и(3.32).Если же в смеси происходит превращение веществ за счет хим:Iческих реакций или ионизации, то для каждого <;-го вещества такиепроцессы характеризует скорость m~) изменения массы этого веществав единицу времени в единице объема, причем из условия сохранениямассы смеси следует, чтоnz=т~) =О.c;=l(3.37)3.
ДВИЖЕНИЕ И РАВНОВЕСИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ122В этом случае вместо второго уравненияполучим выражение,(3.36)соответствующее закону сохранения массы ~-го вещества:(3.38)Суммируя(3.38)по ~ с учетом(3.34), (3.35)и(3.37),снова получим(3.32).Величина p(')v является вектором плотности потока ~-го веществапри конвективном переносе,а величину j(')определяемом движением= p(')(v(')- v)смеси в целом,можно рассматривать как вектор плотности потока этого вещества при диффузионном.
nереносе, вызванномотличием скорости ~-го вещества от средней скорости смеси.(3.38)Тогдаможно представить в виде(3.39)Принимая во внимание(3.34)и(3.35),петрудно установить, что суммапо~ всех векторов j(') равна нулевому вектору О.Скорости отдельных веществ в смеси обычно не известны. Но дляописания х:онцентрационной диффузии ~-го вещества в смеси можнопримелить зах:он Фих:а в виде(3.20),а в общем случае при наличииявлений тер.м.одиффузии и: барадиффузии использовать(3.21).Тогда,обозначив объемную концентрацию ~-го вещества через С,, т. е. С,== р('), с учетом (3.21) вместо (3.39) можно записать уравнение nереноса этого веществаЗдесь Т и р -[135]:температура и давдение; D~c), D~T) и D~p) -х:оэффициенты х:онцентрационной диффузии, тер.м.одиффузии и барадиффузии ~-го вещества соответственно.
Если средняя скорость смеси равнаv =О, а явления термадиффузии и барадиффузииственны и D~C) = const, то из (3.40) следует, чтонулю, т. е.не суще(3.41)3.5.123Внешние силы и тензоры напряженийДля нахождения объемной концентрации С,(х, t) в объемеченном неподвижной поверхностью.модель, включающую(3.41),ограниV,необходимо .м.ате.м.ати'Чесх:уюS,дополнить х:раевы.м.и условия.м.и. В этиусловия должны войти функция С~(х)= C,(x,to), задающая в объемеVto,распределение С, в момент временипринимаемый за начальный,т. е. на'Чальные условия, и грани'Чные условия наS.Если m~) не зависит от С, или же зависит линейно, то (3.41) является линейным уравнением параболического типа. При установившемсяпроцессе переноса и независимости m~) от С, из (3.41) следует уравнение Пуассона, которое переходит в уравнение Лапласа, если m~) =О.Подчеркнем, что все эти варианты уравнений вытекают из локальнойформы закона сохранения массы пекотарого вещества в смеси.3.5.Внешние силы и тензоры напряженийВ механике сплошной среды различают два типа внешних сил, действующих на тело: распределенные в его объеме и по ограничивающейего поверхности.П.л.оmносmь объе.мных си.л.
характеризует векторЬ(М) = d-.olim ~FV'u(3.42)где дF- вектор силы, распределенной в объеме д V среды в окрестности точки М в ах:туальной х:онфигурации (предполагается, что пределв(3.42)существует, когда окрестность диаметромке М). Часто используют также векторd стягиваетсяf(M) = р(М)Ь(М)к точ(р(М)-плотность среды в окрестности точки М), характеризующий n.л.оmносmь .массовых си.л.. Модули этих векторов измеряют в Нjм 3 и Н/кгсоответственно.Если на элементарную площадку дS поверхностищей тело объемомпроекциямиVS,ограничиваюв актуальной конфигурации, действует сила Ь..Р сD.Pi (i = 1, 2, 3)на оси системы пространственных х:оординат, то n.л.оmносmь nоверхностных си.л.
характеризуется векторомр( N) =приусловии,чтоэтотсти дS диаметромd'пределк точкеlimd1 --+0~PsсуществуетN.(3.43)L..lпристягиванииокрестноМодуль этого вектора измеряютв Па = Н/м 2 . Поверхностные силы вызывают на поверхности тела3. ДВИЖЕНИЕ И РАВНОВЕСИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ124иаnр.нжеии.н u<n) = р (верхний индекс (n) в обозначении вектора напряжения означает, что положение в пространстве площадки dS заданоединичным векторомnвнешней нормали к этой площадке).При приведении сил, действующих на элемент д V объема или дSповерхности, к пекоторой точке такого элемента, в общем случае можетвозникнуть момент дМ.
Примем, чтоmv = lim. дМдМ =О М Е V; ms = l1mлs'd'->0 ~d->O дV= О, NЕS,т. е. отсутствуют .мо.менты, расnределенные в объе.ме иверхности тела.nonоСосредоточенные внешние силы, приложеиные вотдельных точках тела, можно рассматривать как предельный случайобъемных или поверхностных сил, действующих в окрестности этихточек.Напряжения возникают не только на площадках в окрестности точек, принадлежащих поверхности тела. Если тело объемомV,находящееся в равновесии под действием заданной системы внешних сил,рассечь на две части произвольно ориентированной плоскостью, проходящей через фиксированную точку М ЕVтела и затем одну частьотбросить, то для сохранения равновесия оставшейся части в общемслучае необходимо к секущей плоскости приложить систему поверхностных сил.Эти силы заменят действие отброшенной части телана оставшуюся и вызовут в окрестности точек этой плоскости соответствующие напряжения.
Ясно, что вектор u(n)(M) напряжения вокрестности точки М будет зависеть от того, каким образом черезэту точку проведена секущая плоскость, т. е. от направления единичного вектораnвнешней нормали к этой плоскости. Для точки М ЕVсовокупность пар векторов u<n)(M) и n определяет наnр.нженное состо.нние в окрестности этой точки.Чтобы полностью описать напряженное состояние в окрестностирассматриваемой точки, нет необходимости принимать во вниманиевсе возможные пары векторов u(n) и n. Можно доказать, что для этогодостаточно задать векторы напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, содержащих рассматриваемуЮ точку.Пусть u<n 1 )-вектор напряжения, действующий на площадке сединичной внешней нормалью n1. Тогда u(ni) = ain 1 ) n 1 + a~n 1 ) n 2 ++ a~n 1 ) n 3 , где a]n 1 ), j = 1, 2, 3, - проекции вектора u(ni) на направления трех взаимно перпендикулярных единичных нормалейщих ориентацию элементарных площадок,nj,задаюсодержащих рассматриваемую точку М Е V. Очевидно, что векторы u<n 2 ) и u(nз) могут быть3.5.125'Внешние силы и тензоры напряженийпредставлены аналогично, и в итоге можно записать,..(ni) - a(ni)vj-n ]'·,;• = 1 ' 2' 3 .(3.44)Если в качестве единичных внешних нормалей в(3.44)выбратьорты ei репера пр.н.м.оуго.ttьиой систе.м.ы х;оордииат Ох1х2хз, то при эй.ttерово.м.
onucauuu движения сплошной среды девять компонентa)ei)== O'ji образуют mен.зор паnр.нжепий (mен.зор паnр.нжепий Коши) а-, являющийся теизоро.м. второго раига.пространствеинуюмерунапряженногоЭтот тензор задаетсостояниявточкеот пространствеиных координат х1, х 2 , хз и временитыeiан,а22,азз,t.изависитКомпоненсоответствующие проекциям на Н!;Шравленияортоввекторов напряжения в площадках, перпендикулярных этим ортам,называют иор.чальиы.ми паnр.нжепи.н.ми.
Компоненты O'ijсоответствующие проекциямэтих векторов напряжения,плоскостях указанных площадок,называют(i # j),лежащимпасаmельпы.мивпаnр.нжепи.н.ми.Заменив в (3.44)a]ei)накосинусы внешней нормалиO'ji и nj на njei, где щ -направляющиеn = niei произвольно ориентированнойплощадки, получим вектор напряжения в этой площадке-a--n·e·-;:;;]t J t - v ·n •(3.45)v,..(n) -Нормальное напряжение в этой площадке равно(3.46)ЕслиO'n >О, то такое напряжение называют расm.нгивающи.м паnр.нжепие.м, а если O'n <О- сжи.мающи.м.
Сидавые грапи-ч.пыеуеловин следуют изповерхностиS(3.45),если рассматривать окрестность точкиNс единичным вектором n(N) внешней нормали при заданном векторе р( N) плотности поверхностных сил с проекциями Pi ( N)на оси пространствеиных координат:&(N) · n(N) = p(N),илиO'ji(N)nj(N)= Pi(N),N ЕS.(3.47)В случае актуальной конфигурации для содержащей рассматриваемую точку (на поверхности тела или внутри его) произвольной элементарной площадкиdS,ориентацию которой задает единичный векторвнешней нормали с направляющими косинусамиdP =dSu(n) = (j . n,ИЛИnnj, имеем(3.48)3. ДВИЖЕНИЕ И РАВНОВЕСИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ126гдевектор приложенной к этой площадке элементарной силыdP -с проекциямиdPiна оси пространствеиных координат.Пусть в иа'Чальиой х:оифигурации этой площадке соответствует площадкаdSo сN внешней нормали, имеющим направляющиекосинусы NJ (J = 1, 2, 3) в системе .м.атериальиых х:оордииат.
Тогдаединичным векторомT (N)=dPdSo с проекциямиy(N)1=dPidSo(! = 1, 2, 3)будет вектором напря-жения относительно этой конфигурации, причем(3.49)илигде Т-mензор паnр.нжепuй Пuо.л,ы-Кuрхгофа с компонентами Тл, являющийся материальной мерой напряженного состояния вточке и зависящий от материальных координат а 1 , а2, аз и времениdPr и тJN)- проекции на оси материальных координат векторовt;dPи т<N) соответственно.Если переход от начальной конфигурации к актуальной вызвандеформированием тела, то и иногда называют тензором истинных напряжений, а Т- тензором условных напряжений [49]. У становим связьмежду этими тензорами.
Используя (3.48) и (3.49), можно записать8dP =и· ndS =Т· N dSo, или, учитывая, что dPr = а 1 dPi,8Xi(3.50)Для представления вектораn dSв актуальной конфигурации введемдва ортогональных ему и неколлинеарных вектора db и db', таких, чтоих векторное произведение дает ndS = db' х db, или(3.51)гдеeijk -си.м.вол Леви- Чивиты.Аналогично в случае начальнойконфигурации введем два ортогональных векторуNнеколлинеарныхвектора dbo и db~, таких, что N dSo = db~ х dbo, илиN1dSo = еикdЬоrdЬ~к'Поскольку dbi =8xi dbor8 а1и dbk =8xk8 акК= 1, 2, 3.(3.52)dЬ~к' то вместо (3.51) запишем(3.53)1273.5. Внешние силы и тензоры напряженийНепосредственным вычислением можно установить, что е 1 J к=дх· дх·1 дхkeijk - ' -д -д , где8 а1 aJ акдхj/даJ и учитываяВыражая отсюдаJ* -л-кобиан(3.52),получаемN1dSo(3.6),и подставляя впоэтому, умножая(3.50),(J* =3.53 )нанаходимчто даетилии=1 .- .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
