Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 19
Текст из файла (страница 19)
При конечном перемещении этойточки из одного положения(1)в другое(2)получим(2)Alf =J(2.22)P·dx.(1)Этот интеграл можно вычислить при известных законах движенияточки М и изменения силы.Если силу Р можно выразить через градиент некоторой скалярнойфункции Ир(х,t) радиус-вектора х ее точки приложения в инерv,иаль7-tой систе.ме -к:оординат и времениt,т. е. Р= \!Ир, где \1 -дифференциальный оператор Га.м.ильтона, то такую сu.л.у называютnоmенцuа.аьн.ой, а функцию Ир ( х, t), определяемую с точностью допостоянного слагаемого и характеризующую действующее на материальную систему сu.л.овое nоле,функция не зависит отt,-сu.л.овой. В случае, когда этасиловое поле считаютсmацuонарн.ь&.М.2.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ92Тогда с учетом(2.22)получим11(1)(1)(2)А р12 =(2)dUp=Up(2)'\!Up·dx=(1)-Ир,(2.23)т. е. работа не зависит от конкретного пути перехода точки приложениясилы из начального положенияФункцию П*(х,t)(1)= -Up(x,t)в конечное(2).называют поmен:циальпой эпергией силового поля. Если ее принять равной нулю в пекоторой точке Мо,то из(2.23)следует, что потенциальная энергия в точке М равна работе потенциальной силы Р на перемещении точки при.Jtожения этойсилы из положения М в положение Мо.Если аргументами силовой функции являются радиус-векторы точек приложения системы потенциальных сил р(<;) и, быть может, времяt, тор(<;)= (дUpjдx~'))ei, где х~')- координаты радиус-векторах<')== x~')ei (i = 1, 2, 3) точки приложения силы р(<;) в системе координатОх1х2хз с реперо.м ei. При стационарных голономных связях время tявно не входит в (2.2), и в случае стационарного силового поля можнозаписатьNdAp = Lp(<;) · dx(') =<;=1N дUрдх~')=-wei · 7f-ej dqk =<;=l дхiqkLдUр дх(')NдUрL--т-У 7/- дij dqk =д dqk =,= дхi qkqk1=dUp=-dП*,k=1,K,i,j=1,2,3,(2.24)где дij- си.мвол Кронех:ера, т.
е. элементарная работа системы потенциальных сил является полным дифференциалом, а работа не зависитот конкретного п:·ти перехода материальной системы из начальногоположения в конечное. Из(2.24)для обобщенной силы имеем(2.25)а признаком потенциальности обобщенных сил является равенстводQk/дqmП*=дQтfдqk. Если силовое поле не является стационарным, то= П* (q1, ... , qк, t)и по-прежнемуQk = -дП* / дqk, но элементарнаяработа уже не будет полным дифференциалом силовой функции, поэтому работа системы сил будет, вообще говоря, зависеть от конкретного2.5.Уравнения динамики материальной системы93пути перехода материальной системы из начального положения в конечное.Используя(2.3)и(2.21),.мощность при действительном движенииматериальной системы можно представить в видегде v<')- вектор скорости материальной точки с номером<;. Единицейизмерения мощности является ватт (Вт= Дж/с).Материальная система может двигаться в сопротивляющейся среде,влияние которой механически проявляется в том, что на каждую точкусистемы действует сила Р~), зависящая от скорости v<') этой точкии имеющая направление, противоположное направлению вектора v< r;).При малыхскоростях можно считать эту зависимость линейной, т.
е.р~) = -,_"~)v('), где,_"~)~ О- коэффициент сопротивления. МощностьNN<;=1<;=1WD =- Lp~) ·v<') = L11-~)lv<')l 2 ,расходуемую в этом случае на преодоление сопротивления, называют.мощностью диссиnации. В случае стационарных голономных связей, используя (2.3) при дх(r;) fдt =О, можно перейти к обобщеииы.мсх:оростя.м<ikи для соответствующих им обобщенных сил соnротивления получитьk,m= 1,2.5.К.(2.26)Уравнения динамики материальной системыПри мысленном освобождении .материадьиой систе.мы от наложенных на нее связей для сохранения поведения этой системы к ее.материадьиы.м точх:а.м, М, (<> = 1, N) необходимо приложить вполне определенные силы R(r;), называемые реапция.м.и связей.
Тогдакаждую материальную точку можно рассматривать как свободную иуравнение ее движения записать в виде(2.27)2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОдЕЛИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ94где w(c;) -вектор ускорения этой точки; р(с;) -приложенпая к нейзаданная внешняя сила, которую в отличие от реакции связи обычноназывают апmивной.Говорят, что при записииспользован(2.27)npuнцun освобождени.11 от связей.Воз.м.ожная работа реакций связей на воз.м.ожных nере.м.ещенияхдх(с;) материальных точек рассматриваемой системы имеет видNL R(c;)дА'р =·дж(с;).c;:lЕсли дА'р =О, то связи называют идеальньши.В систему 3N уравнений (2.27) входят 6N неизвестных wi') и Ri').В случае идеа.л.ьных го.л.оно.м.ных связей должны быть заданы ещеNc(2.1), из которых следуют Nc ограничений на вариациидх~') составляющих радиус-вектора :z:(c;) в формеуравнений вида~дfv(с;) д xt~с;)= О '~v'"'li = 1, 2, 3.дхiЭти ограничения при помощи неопределенных множителей ЛагранжаAvвведем в условие дА'р =О идеальности связей:Если выбратьNc значений Av так, чтобы обратились в нуль множители при Nc вариациях бхi'), которые будем считать зависимыми отограничений, т.
е.R i(с;)-~\ дf v - о~лv(с;)- '(2.28)дхiv=lто остальные вариации будут произвольными и для них также должнобыть справедливоняя(2.28), что позволяет найти реакции связей. Объеди(2.27) с (2.28), получаем уравнени.11 Лагранжа nервого родат ' W (c;)-р(с;)Nc дf+""''_v_e·~ лv(с;) t'v=lгдеeiдхir-1 N" -''~• -1 2 3'''(2.29)~ орты репера nря.м.оуго.л.ьной систе.м.ы ?Соординат Ох1х2хз.Эти уравнения совместно ссистемы.(2.1)описывают движение материальной2.5.Уравнения динамики материальной системы95Реакции связей можно рассматривать как равнодействующие силвзаимодействия между парами материальных точек с номерами ~ иf.L· Эти силы, согласно третьему закону Ньютона, попарно равны помодулю и противоположны по направлению, т.
е. R~') = -Щр.). Поэтомусумма всех этих сил равна нулевому вектору, т. е.(2.30)Для момента рассматриваемой пары сил, лежащих на прямой, проходящей через указанные точки с радиус-векторами х<') и х(Р.) соответственно, запишем х<') х R~') + х(Р.) х Щр.) = (х(')- х(Р.)) х R~') =О,поскольку векторы х<')- х(Р.) и R~) коллинеарные.
Суммируя это равенство по всем парам точек, получаемNI::x(') хR(') =О.(2.31)<;=1Суммируя(2.27)по ~ и учитываяN(2.30),находимNZ:::т,w<')= Lp(.;) = Р*,<;=1<;=1где Р*- г.аавный вех:тор системы активных сил. Отсюда, полагаят,= const и принимая во внимание, что w<') = v<'), получаем с учетом(2.19) запои сожракекu.а полu-чества двuжекu.а материальнойсистемы в виде(2.32)где т* иvc -масса материальной системы и вектор скорости еецентра инерции соответственно;Qv -движенил этой системы.
При Р* =О изг.аавиый вех:тор х:о.аи-ч.ества(2.32)следует, чтоvc и Qvбудут постоянными векторами.Умножим левую и правую части (2.27) векторно слева на х<') ипросуммируем результат по ~:NL(x(c;)Nх т,w<')) =L(x(c;)Nх р(с;))+ L(x(c;) х R(')).962. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОдЕЛИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИУчитывая (2.31) и равенства w(c;)= ;Z:(c;)dNиdLN"""(х(с;) х т wC')) = - """(х(с;) х т ;Е('))=____!}_~dt~<;c;=lгдеLo-dt ,с;c;=lглавный .м.о.м.ент х:оличества движения относительно началасистемы координат Ох1х2хз, приходим в итоге к запон.у сохран.ен.ин.мо.мен.та подичества движен.ин материальной системы в формеNdLodt= """(х(с;) х р(с;)).(2.33)~<;=1Умножив левую и правую части (2.27) скалярно на dx(c;) и просуммировав произведение по<;, с учетом равенства w(c;) · dx(c;) = (1/2)dlv(c;) 12получимNdK*=dL~' lv(c;) 12 =c;=lNNL р(с;) · dx(c;) + Lc;=l(2.34)R(c;) · dx(c;),c;=lт. е.
дифференциал х:инетичесх:ой энергии материальной системы равенсумме элементарных работ активных сил и реакций связей.Пусть активные силы являются потенциальны.м.и, nотенциа.льнаяэнергия П* явно не зависит от времени и на материальную системуналожены идеальные стационарные связи. Тогда dx(c;) будет одним извозможных перемещений (см.2.4),поэтому для идеальных связей вторая сумма в правой части(2.34) станет равной нулю. Согласно (2.24)(2.34) будет полным дифференциалом,(2.34) примет вид dK* + dП* = О, илипервая сумма в правой частиравным -dП*. В итогеК*+ П* = const,(2.35)что выражает запон. сохран.ен.ин .механ.ичеспой энергии, равнойсумме кинетической и потенциальной энергий.
~Ясно, что(2.35) справедливо, если наряду с потенциальными имеются и такие непотенциальные силы, которые при движении системы не совершают работу.Материальную систему, для которой имеет место(2.35),называютпон.сервативн.ой.Пусть на материальную систему наложены только идеальные голономные связи. Рассмотрим ее движение относительно инерциальнойсисте.м.ы х:оординат Ох1х2хз. Продифференцировав(2.3) по обобщен-2.5.нойУравнения динамики материальной системы97для материальной точки с номеромcx:opocmu izk,\= 1, Nпо-лучим-----,дizkС учетом(2.2)иk=1,K.дqk(2.36)также запишем(2.3)!!:_(ах<')) =~(ах<') rln +ах<')) =ах<').dtдqkдqkдqnдtдqk(2.37)Представим возможное перемещение 8х(.;) через обобщенные координаты qk в виде (дх(.;) jдqk) 8qk (см.
2.4), умножимскалярнона него(2.27)и, просуммировав результат по\,с учетом(2.20)получим(2.38)гдеQk-обобщенная сила, отнесенная к обобщенной координатеПриняв во вниманиеиие вех:торов в левой части(2.37), иреобразуем(2.38) к видуи после nодстановки вс учетом(2.36)и(2.38)(2.16)qk.сх:а.л..нрное произведезапишем(2.39)Вариации8qkобобщенных координат независимы между собой,поэтому равенство(2.39)будет выполнено при условии равенстванулю множителей при каждой вариации8qk,т. е.
приходим к системедифференциальных уравненийd дК*dt () -дizkдК*дqk= Qk,(2.40)называемых уравн.ени.н.м.и Лагранжа второго рода. Если выразить К* иQkчерезqkиizk,то(2.40)станет системой обыкновенныхдифференциальных уравнений второго порядка относительно К функцийqk(t).2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ98Если обобщенные силыQkпотенциальны, то с учетом(2.25)и в силу независимости потенциальной энергии П* от обобщенных скоростейQk (2.40)можно представить в видеd ( дL)dt дqkгдеL=К*-П*-дL _О- дqk -(2.41)'пикетичеспий nотекциадмеханике часто дляL[77](в аналитическойиспользуют термины фукпци.11 Лагракжаили J&агракжиак, которые в математической литературе имеют инойсмысл).В(2.40)и(2.41)не входят наперед неизвестные реакции связей,а число К уравнений в этих системах не зависит от количества материальных точек материальной системы и равно чис.л.у ееcmeneueuсвободы, что является важным преимуществом по сравнению с уравнениями движения(2.27)в прямоугольной системе координат.
Реакциисвязей можно найти, подставив полученные из решения (2.40) илиqk в (2.2) и использовав (2.27) в виде р(.;) = m,x(c;) - R(c;).(2.41)В положении равновесия системы примем потенциальную энергиюП* стациоиариого си.л.ового nо.л.я равной нулю иложенииQk =-дП* jдqk =О (см.2.6),qk= О.В этом попоэтому представление в егоокрестности потенциальной энергии рядом Тейлора будет начинатьсяс квадратичных слагаемых:П*(qt, ... ,qк)=~Ckmqkqm+ ... ,где Ckm=д 2 П* j(дqkдqm) -k,m=1,K,(2.42)постоянные коэффициенты, посколькуqk = О.форма в (2.42)производвые вычислены приЕсли квадратичнаяприqk = Оположительно-определенная, тофункция П* имеет строгий локальный минимум и в силу теоремы Лаграижа положение равновесия устойчиво, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
