Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. - Математические модели механики и электромеханики сплошной среды (1050334), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Конфигурацию назы­вают иачальиой, если она определена в начальный момент времени.Конфигурацию, определенную в последующие моменты времени, назы­вают аптуальиой.Модель абсо.ttютио твердого тe.tta- это совокупность матери­альных точек, остающихся на неизменных расстояниях друг от друга.Мысленно эту ситуацию можно обеспечить с помощью лишенных мас­сы нерастяжимых стержней, соединяющих эти точки.

В общем случаематериальная система может включать как абсолютно твердые тела,так и совокупность материальных точек с изменяющимися между нимирасстояниями.2.1. Основные понятия и определения81Устройства в виде стержней, нитей, шарниров и других тел, накла­дывающие ограничения на положения и/или скорости материальныхточек, называют свнзн.ми. Положение в пространстве в момент вре­мени t материальной точки М, (с;=1, N)материальной системы, состо­ящей из N материальных точек, можно задать радиус-ве",.торо.м. x<')(t)с проекциями xi')(t) ('i = 1, 2, 3) на оси пр.а.м.оуго.л.ьной систе.м.ы ",.оор­динат Ох1х2хз. Основной единицей измерения модуля радиус-вектора,расстояниямеждуматериальными точками,ихкоординати переме­щений является метр (м), а основной единицей измерения времени-секунда (с).При отсутствии связей в материальной системе число стеnенейсвободы материальной точки совпадает с числом ее координат x~')(t),однозначно определяющих ее положение в пространстве. Поэтому длятакой системы в целом это число будет равно ЗN.Если при наличии связей накладываемые ими ограничивающиеусловия на положения материальных точек системы можно привестик видуfv(x(l), ...

, x(r;), ... , x(N),то говорят оголоно.мных связях,t) =О,1J= 1, Nc,(2.1)называемых также позиционнымиили геометрическими. Если равенстваметром, не зависят друг от друга, тосистемы n=ЗN- Nc.СлучаюNc =(2.1), в которых t считают пара­Nc ~ ЗN и число степеней свободыЗN соответствует движение систе­мы во времени по заранее заданному закону. Неголоно.мные (кине­матические) связи, не сводящиеся интегрированием по времени к виду(2.1),выражают зависимости не только между координатами матери­альных точек системы, но и между их скоростями v<') = dx(r;) /dt = ±<').При наличии N~ неголономных связей n = ЗN - Nc - N~. Голономвыесвязи называютtне входит встационарными или сплероно.мны.ми, если время(2.1).Зависящие от времени связи называют несmацио­нарны.ми или реоно.мны.ми.При наличииголономных связей положение в пространствеNcматериальной системы, состоящей изNматериальных точек, можнооднозначно определить набором из К= ЗN - Nc любых независимых(k = 1, К), называемых обобщенными поординаmа.ми.Ими могут быть К из ЗN координат xi') материальных точек, еслиотносительно этих К координат удается разрешить систему (2.1),величин qkоднако такой способ обычно мало пригоден[84].Более эффективентакой выбор обобщенных координат, который позволяет упроститьпостроение зависимостей видах(r;) --х (r;)( q1, ...

,qk, ...,qк,t) .(2.2)822. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОдЕЛИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИПодстановка(2.2)в(2.1)должна обращать последние в тождества, ипри построении математической модели материальной системы отпа­дает необходимость использовать(2.1).При движении материальной системы ее обобщенные координаты22изменяются во времени. Величины Qk= dqk/dtи iik= d qkfdtназы­вают обобщенньмси споросm.нми и обобщенными успоренuJiмисоответственно. Далее полагаем функции(2.2)дважды непрерывнодифференцируемыми по всем своим аргументам.

Тогда с учетом прави­.л.а су.м..м.ированил по одина?Совы.м. латинским инде?Сса.м., используемогодалее без дополнительного упоминания, можно записать(2.3)а для вектора ускорения материальной точки М,-Ясно, что в случае стационарных связей в (2.3) дх(') jдt =О, а в (2.4)д 2 х(') /дt 2 =О и д 2 х(е;) /(дqkдt) =О.Единицами измерения модулей векторов скорости и ускорения явля­ются м/с и мjс 2 соответственно.Так как в качестве обобщенныхкоординат могут быть выбраны величины, имеющие различный гео­метрический смысл (расстояния, длины дуг, углы, площади, объемы),а в некоторых случаях и не имеющие непосредственного геометрическо­го толкования, то различны и единицы их измерения, а также единицыизмерения обобщенных скоростей и ускорений.Для материальной системы с голономными связями обобщенныескорости независимы и произвольны, поэтому задание значений обоб­щенных координат не позволяет предсказать поведение системы в по­следующие моменты времени.

Одновременное задание всех обобщенныхкоординат и обобщенных скоростей системы дает возможность пред­сказать ее дальнейшее движение.2.2. Кинематика абсолютно твердоГо телаПоведение многих технических устройств можно описать при по­мощи математических моделей абсо.л.ютно твердого те.л.а или системэтих тел. При изучении движения такого тела в пространстве нарядус инерцuаАьной nря.м.оуго.л.ьной систе.м.ой ?Соординат Ох1х2хз (не­подвижной или движущейся прямолинейно с постоянной скоростью)2.2.с репером ei(iКинематика абсолютно твердого тела= 1, 2, 3)83используют и подвижную систему коорди­нат О'х~х2х~ (в общем случае неинерциальную), жестко связаннуюс данным телом, в которой координаты любой точки тела остаютсянеизменными.~r'(t) = 00Положение последней системы задают радиус-в ех:тори элементы сщ .м.атрицы А поворота репера, определя-ющей ориентацию репера е~= aijej(i, j= 1, 2, 3)системы координатО'х~х2х~ относительно репера системы координат Ох1Х2Хз (см.

Пl.l).В начальном положении тела эти системы координат обычно при­нимают совпадающими, а переход к текущему положению системы ко­ординат О'х~ х2х~ осуществляют тремя последовательными поворотамиее осей, определяемыми тремя эй.л.еровы.м.и уг.л.а.м.и, и затем переносомточки О' в соответствии с векторомr'(см. Пl.l). В текущем поло­жении тела введем еще систему координат О'хtХ2Хз, полученную изсистемы Ох1х2хз ее параллельным переносом в точку О' и поэтомуимеющую тот же репер ei (рис.2.1).Рис.2.1Положение произвольной точки М тела можно задать либо соста­вляющими Xi радиус-вектора ж в системе координат Ох 1 х2х 3 , либосоставляющими х~ радиус-вектора ж' в системе О'х~х2х~, либо соста­вляющими ri радиус-вектора r в системе О'х 1 х2хз, причем, согласно(П1.4), ж'= Ar.

Связь между этими радиус-векторами определяет со­отношениеж= r' + r = r' +А - 1 ж' = r' +А т ж',(2.5)поскольку А - 1 =А т (см. Пl.l).Дифференцируя по времениtлевую и правую части(2.5)и учиты­вая, что радиус-вектор ж' произвольной точки тела не зависит отвектора скоростиv*dжt,дляэтой точки получаемо--;Jj=ж=v* =rо 1 + л· т ж 1 =v 1 + л· ТАr,(2.6)2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ84гдеr'- вектор скорости точки О' относительно точки О. Так какv' =А т А= А - l А= Е, где Е- единичная матрица третьего порядка, то·тт··тА А= -А А.

Поскольку (А А)тт··т=А А, заключаем, что матрица А Акососимметрическая и для нее можно ввести обозначение-wзо·тТогда АAr =(А)хrи вместо(2.6)запишемv* = v' +(А)где (А)-рованиемхr,(2.7)вектор угловой спорости вращения тела.(2.5)по временисопоставления с(2. 7)tможно также получитьДифференци­v* = v' + rи иззаписать(2.8)Вектор ускорения произвольной точки тела находим, дифференцируя(2.7) по t и учитывая (2.8): w* = v =х r +(.А) х ((.А) х r), г де w' = v' - векторвектор угловогоv' + w х rr = w' + € хускорения точки О', € = w+(.А) х00ycпopeп'UJl.Если материальное тело не является абсолютно твердым, а предста­вляет собой систему .м.атериа.п.ьных mо'Чех: с заданными уравнениямисвязей, то при движении такой системы радиус-вектор х', определя­ющий положение пекоторой материальной точки в системе координатО'х~х~х~, в общем случае будет зависеть от времени(2.8)гдезапишемVr= А т х't.Теперь с учетом. А·т'Ат.,r=х +х =(A)Xr+vr,-(2.9)вектор отпосительпой спорости материальнойточки относительно системы координат О'х~х~х~, но с компонентами,определенными в системе координат Ох 1 х2 х3 .

Тогда вместо(2.7)длявектора Va абсолютпой спорости этой точки получим(2.10)где Ve= v' +(.А) х r - векторее nерепоепой спорости.Относительную скорость Vr в(2.9)можно рассматривать как ло­кальную производную радиус-вектора 3; 1 по времени при условии, чтоориентация ортов системы координат О'х~х~х~ остается неизменной в·тпространстве, т. е. матрица АVr,является нулевой. Заменив в(2.9) rназапишем(2.11)2.3.где WrОсновные динамические величины материальной системы-= А т х'85локальная производпая вектора Vr по времени, явля­ющаяся вектором относительного ycnopeни.ll материальной точкиотносительно системы координат О'х~х~х~, но с компонентами, опре­деленными в системе координат Ох1х2хз.

Дифференцируяучитывая(2.9)и(2.11),(2.11)поtинаходим вектор Wa абсолютного успорени.llэтой точки:Wa= Va = v' + ~+(А) Хгде We = w* = w'r + Vr = w' + € х r +((А) Х Т+ Vr) +(А) Х Vr + Wr = We + Wr + Wc,х r +(А) х+€00х r +(А) х ((А) х r) -(2.12)вектор nереносног о ycno-peни.ll этой точки; Wc = 2(А) х V r - вектор пориолисова (или поворот­ного) ycnopeни.ll этой точки.Равенства(2.10)и(2.12)выражают теоремы сложения скоростей иускорений материальной точки.2.3.Основные динамические величиныматериальной системыПри изучении движения .м.атериадьной системы важное значениеимеют понятияи величины,характеризующие распределение масс вэтой системе.

Простейшее из таких понятий- центр инерции (илицентр .масс)- геометрическая точка, положение которой определяетрадиус-вектор(2.13)Nгде т*=2: т,- масса системы,<;=1'Чек; т, -состоящей изNматериадьных то-масса материальной точки с номером ( = 1, N; :z:(r;) -радиус-вектор материальной точки в прямоугодьной системе коорди­нат Ох 1 х 2 х 3 . При движении системы материальных точек положениецентра инерции изменяется не только по отношению к этой системекоординат, но и по отношению к материальным точкам этой системы.Для абсодютно твердоготеда массой т*1 Nхс = r' +х~ = r' + -* l:т,х'('),т <;=1где r' - радиус-вектор начала системы координат О'х~х~х~, жесткосвязанной с телом; х~,- радиус-вектор центра инерции в этой системе2.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ86координат, остающийся в ней неизменным; х'(с;)- заданный в системекоординат О'х~х~х~ радиус-вектор принадлежащей телу материальнойточки массой те;.Пусть Оначало инерциальной прямоугольной системы коорди­-нат Ох1х2хз. Мо.м.ен.m uн.epцuu материальной системы относительнооси О А, направленной по орту е, определяют соотношениемNJол=NL т.,h~ = L т, (lx(c;)c;=lгде21 -(е· х<">) 2 ),(2.14)c;=lh.,- расстояние материальнойточки с номером'"=1, Nдо оси ОА.Единицей измерения момента инерции является кг · м 2 .Учитывая свойства операций умножения векторов (см. Пl.l) ит т....· 12 ·е= 1, где (·) - симвод транспонированш, l2 -равенство еедини-чный тензор второго ранга, можно записатьlx(c;)\ 2 - (е· х(с;)) 2 =е т ·lx(c;)I 2I2 ·е- (е· ж('))( е· х(~")) ==е т· (lx(c;) I2I2- х(с;) 0 х<">) ·е.Тогда(2.14)примет вид квадратичной формы Jол =ет~·Jo ·е,образо-ванной тензоро.м.

Характеристики

Список файлов книги